2020高中物理 第十一章 機械振動 實驗：用單擺測定重力加速度學案 新人教版選修3-4

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1、實驗：用單擺測定重力加速度 1．學會用單擺測定當?shù)氐闹亓铀俣取? 2．能正確熟練地使用游標卡尺和秒表。 一、實驗原理 單擺在擺角很小(不大于5°)時的運動，可看成簡諧運動。根據(jù)單擺周期公式T＝2π，有g(shù)＝，通過實驗方法測出擺長l和周期T，即可計算得到當?shù)刂亓铀俣萭的值。 二、實驗器材 帶小孔的小金屬球；長1 m左右的細尼龍線；鐵夾；鐵架臺；游標卡尺；毫米刻度尺；秒表。 三、實驗步驟 (1)讓細線穿過球上的小孔，在細線的穿出端打一個比孔稍大一些的線結(jié)。 (2)把細線上端固定在鐵架臺上，使擺球自由下垂，制成一個單擺。 (3)用刻度尺測量單擺的擺長(擺線靜止時從懸點

2、到球心間的距離)。 (4)把此單擺從平衡位置拉開一個角度，并使這個角小于等于5°，再釋放小球。當擺球擺動穩(wěn)定以后，過最低點位置時，用秒表開始計時，測量單擺全振動30次(或50次)的時間，求出一次全振動的時間，即單擺的振動周期。 (5)改變擺長，反復(fù)測量幾次，將數(shù)據(jù)填入表格。 課堂任務(wù)　測量過程·獲取數(shù)據(jù) 仔細觀察下列圖片，認真參與“師生互動”。 活動1：本實驗的研究對象是誰？要得到什么數(shù)據(jù)？ 提示：本實驗的研究對象是單擺，通過測量其周期與擺長從而得到當?shù)氐闹亓铀俣取? 活動2：如何制做如圖甲所示的單擺？ 提示：取約1 m長的細線穿過帶孔的小鋼球，并打一個比小孔大一些

3、的結(jié)，然后把線的另一端用鐵夾固定在鐵架臺上，并把鐵架臺放在實驗桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂。 活動3：怎樣測量擺長？ 提示：從懸點到球心的距離是擺長。用米尺量出擺線長L(精確到毫米)，用游標卡尺測出小球直徑D，則單擺的擺長l＝L＋。 活動4：怎樣測量周期？ 提示：將單擺從平衡位置拉開一個角度(小于等于5°)，然后釋放小球，記下單擺全振動30次或50次的總時間，算出全振動一次的時間，即為單擺的振動周期。反復(fù)測量三次，再算出測得周期數(shù)值的平均值。 活動5：秒表怎么讀數(shù)？圖丙的讀數(shù)是多少？ 提示：所測時間超過半分鐘時，半分鐘的整數(shù)倍部分由分針讀出，不足半分鐘的部分由秒針讀出，

4、總時間為兩針示數(shù)之和。如圖乙所示，小圓刻度盤上分針所指示的刻度數(shù)值超過了1.5 min，指針在1.5 min和2 min之間，其分針指示時間數(shù)可記為t1＝1.5 min，而大圓刻度盤上秒針所指示的刻度線為21.4，故秒針所測得的數(shù)值為t2＝21.4 s，所測時間讀數(shù)為：t＝t1＋t2＝1 min 30 s＋21.4 s＝1 min 51.4 s。圖丙的讀數(shù)是2 min 7.6 s。 活動6：本實驗中有哪些注意事項？ 提示：(1)選擇擺線時要選用細、輕又不易伸長的線，長度一般在1 m左右；小球應(yīng)選用密度較大、直徑較小(最好不超過2 cm)的金屬球； (2)懸點要固定，單擺懸線的上端不可隨意

5、卷在鐵架臺的桿上，應(yīng)夾緊在鐵夾中； (3)小球擺動時控制擺線偏離豎直方向的擺角不超過5°； (4)擺球擺動時，要使之保持在同一豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺； (5)擺長l為懸點到球心的距離； (6)測單擺周期時，應(yīng)從擺球通過平衡位置開始計時，并且采用倒數(shù)到0開始計時計數(shù)的方法，即4、3、2、1、0、1、2……，在數(shù)“0”的同時按下表開始計時計數(shù)。 課堂任務(wù)　分析數(shù)據(jù)·得出結(jié)論 活動1：分析數(shù)據(jù)有哪些方法？ 提示：(1)平均值法：根據(jù)公式g＝，將每次實驗的l、n、t數(shù)值代入，計算重力加速度g，然后取平均值。 (2)圖象法：作出T2-l圖象，由T2＝可知T2-l圖線是一條過原點的

6、直線，其斜率k＝，求出k，可得g＝。 活動2：圖象法分析有什么優(yōu)點？ 提示： 圖象法的優(yōu)點：除了簡化計算外，還可以修正擺長測量引起的誤差。 如果l記錄錯誤，比如說把它記為了擺線長(少加小球半徑)或記為了擺線長加球的直徑(即多加半徑)，若此時還以l作橫坐標的話直線將不通過原點。 比如若漏加小球半徑r，T2＝的公式應(yīng)修正為T2＝，即圖中的①，若多加半徑r，則為圖中的②。由數(shù)學知識可知將圖象左右平移，k不變，故g不變。 通過作圖象來計算g，實驗誤差主要來自于時間(周期T)的測量。 活動3：實驗中有哪些誤差？分別來源于哪里？怎么減小這些實驗誤差？ 提示：(1)本實驗的系統(tǒng)誤差主要

7、來源于單擺模型本身是否符合要求，即懸點是否固定；球、線是否符合要求；振動是圓錐擺還是同一豎直平面內(nèi)的振動以及測量哪段長度作為擺長等。 (2)本實驗的偶然誤差主要來自于時間(即單擺周期)和擺長的測量。要從擺球通過平衡位置開始計時，并采用倒數(shù)計時計數(shù)的方法，不能多記或漏記振動次數(shù)。本實驗中在長度(擺線長、擺球的直徑)的測量時，讀數(shù)讀到毫米即可(即使用游標卡尺測擺球直徑也只需讀到毫米)；在時間的測量中，秒表讀數(shù)的有效數(shù)字的末位在秒的十分位即可。為了減小偶數(shù)誤差，需進行多次測量后取平均值。 課堂任務(wù)　典例探究·提升能力 例　一位同學用單擺做測量重力加速度的實驗，他將擺掛起后，進行了如下步

8、驟： A．測擺長l：用米尺量出擺線的長度。 B．測周期T：將擺球拉起，然后放開，在擺球某次通過最低點時，按下秒表開始計時，同時將此次通過最低點作為第一次，接著一直數(shù)到擺球第60次通過最低點時，按秒表停止計時，讀出這段時間t，算出單擺的周期T＝。 C．將所測得的l和T代入單擺的周期公式T＝2π ，算出g，將它作為實驗的最后結(jié)果寫入報告中。 指出上面步驟中遺漏或錯誤的地方，寫出該步驟的字母，并加以改正。 ____________________________________________________________； ______________________________

9、______________________________； ____________________________________________________________。 [規(guī)范解答]　該實驗的原理為當單擺擺角很小(≤5°)時，可把其振動看成是簡諧運動，其固有周期T＝2π，因此g＝，所以只要測出l和單擺的周期T，即可得到g值。該題步驟中遺漏或錯誤的地方為：A.要用游標卡尺測擺球的直徑d，擺長l應(yīng)等于擺線長加上；B.T＝；C.應(yīng)改變擺長，重做幾次實驗，得出多個g值，然后取g的平均值作為實驗的最后結(jié)果。 [完美答案]　見規(guī)范解答 用單擺測重力加速度的實驗操作中的注意事項

10、 (1)小球擺動時，擺角應(yīng)小于等于5°，且應(yīng)在同一豎直面內(nèi)擺動； (2)計算單擺的全振動次數(shù)時，應(yīng)以擺球通過平衡位置開始計時，擺球從同一側(cè)通過平衡位置時記為一次全振動； (3)測擺長應(yīng)測出擺球重心到懸點的距離，要用游標卡尺測擺球直徑d，擺長l等于懸線長加； (4)應(yīng)改變擺長，重做幾次實驗，取多次測出的重力加速度的平均值作為最終結(jié)果。 　某同學利用單擺測定當?shù)刂亓铀俣?，發(fā)現(xiàn)單擺靜止時擺球重心在球心的正下方，他仍將從懸點到球心的距離當作擺長L，通過改變擺線的長度，測得6組L和對應(yīng)的周期T，畫出L-T2圖線，然后在圖線上選取A、B兩個點，坐標如圖所示。他采用恰當?shù)臄?shù)據(jù)處理方法，則計算

11、重力加速度的表達式應(yīng)為g＝________。請你判斷該同學得到的實驗結(jié)果與擺球重心就在球心處的情況相比，將________(填“偏大”“偏小”或“相同”)。 答案　　相同 解析　設(shè)A、B點所測擺長分別為LA和LB，球心到重心的距離為L′，所以A、B兩處的實際擺長分別為LA＋L′和LB＋L′。 根據(jù)周期公式T＝2π得l＝ 則LA＋L′＝① LB＋L′＝② ②－①得LB－LA＝－＝ 所以g＝。 從上式可以看出，最終的結(jié)果與重心的位置無關(guān)，所以該同學得到的實驗結(jié)果與擺球重心在球心處的情況相比，將相同。 1．在“用單擺測定重力加速度”時，某同學用同一套實驗裝置，用同樣的步驟進

12、行實驗，但所測得的重力加速度總是偏大，其原因可能是(　　) A．測定周期時，振動次數(shù)少數(shù)了一次 B．測定周期時，振動次數(shù)多數(shù)了一次 C．擺球的質(zhì)量過大 D．計算擺長時，只考慮懸線的長度，沒有加上小球的半徑 答案　B 解析　由計算g的公式g＝可知，如果振動次數(shù)多數(shù)了一次，則T偏小，g就會偏大，A錯誤，B正確；擺球的質(zhì)量過大，不影響單擺的周期與擺長，所以不影響測得的重力加速度，C錯誤；計算擺長時，沒有加上小球的半徑，則l偏小，求得的g偏小，D錯誤。 2．(多選)在做“用單擺測定重力加速度”的實驗中，以下幾點建議中對提高測量結(jié)果精確度有利的是(　　) A．適當加長擺線 B．質(zhì)量相同

13、、體積不同的擺球，應(yīng)選用體積較大的 C．單擺偏離平衡位置的角度不能太大 D．當單擺經(jīng)過平衡位置時開始計時，經(jīng)過一次全振動后停止計時，用此時間間隔作為單擺振動的周期 答案　AC 解析　適當加長擺線有利于擺長的測量，使相對誤差減小，另外有利于控制擺角不過大，A正確；質(zhì)量相同、體積不同的擺球，應(yīng)選用體積較小的，以減小擺動過程中空氣阻力的影響，B錯誤；單擺偏離平衡位置的角度不能太大，若偏角太大，單擺的運動就不能看做簡諧運動，C正確；經(jīng)過一次全振動后停止計時，所測時間偶然誤差過大，應(yīng)測量多次全振動的時間再求平均值，以減小偶然誤差，D錯誤。 3．在“用單擺測定重力加速度”的實驗中，實際上要改變擺

14、長，重做幾次實驗，進行多次測量，再求g的平均值。下表是甲、乙兩個同學設(shè)計的記錄計算表，你認為正確的是(　　) A．只能是甲 B．只能是乙 C．甲、乙均可 D．甲、乙均不可 答案　B 解析　一個擺長對應(yīng)著一個周期，不同擺長或不同的周期取平均值沒有物理意義。在一次實驗中可以重復(fù)測量擺長和周期，但擺長不能變，變了擺長就是另一次實驗。這里因為可以通過擺長改變周期，進而得到重力加速度，同一個擺長只需做一組實驗即可。故只有乙同學設(shè)計的表是正確的，B正確。 4．在“用單擺測定重力加速度”的實驗中，供選用的器材和操作有： A．帶夾子的鐵架臺；B.帶小孔的實心木球；C.帶小孔的實

15、心鋼球；D.秒表；E.長約1 m的細線；F.長約10 cm的細線；G.毫米刻度的米尺；H.游標卡尺；I.螺旋測微器；J.天平；K.為便于改變擺長，可將擺線的一頭繞在鐵架臺上的圓桿上以代替鐵夾；L.擺線上端固定，即用鐵夾夾緊。 為使實驗誤差較小，應(yīng)選用的器材和操作有________________。 答案　ACDEGHL 解析　單擺振動時，要求空氣阻力遠小于擺球的重力，這樣，在擺球外形一樣大小時，擺球密度越大，越符合這種要求，故選用小鋼球而不選木球；又因為要求單擺接近理想模型，即用無質(zhì)量不可伸縮的線拴一質(zhì)點，所以線的長度應(yīng)遠大于擺球直徑，且長線有利于控制擺角不過大，故選長1 m的細線，而不

16、用長0.1 m的細線；實驗過程中要用鐵夾夾緊擺線上端進行固定，以保證擺動時擺長不變；實驗過程中要測量擺長和周期，擺長等于擺線長與小球半徑之和，故還需選用毫米刻度的米尺、游標卡尺和秒表。應(yīng)選用A、C、D、E、G、H、L。 5．在“用單擺測定重力加速度”的實驗中，某實驗小組在測量單擺的周期時，從單擺運動到最低點開始計時，且記數(shù)為1，到第n次經(jīng)過最低點所用的時間為t；在測量單擺的擺長時，先用毫米刻度尺測得懸掛擺球后的擺線長為l，再用游標卡尺測得擺球的直徑為d。 (1)該單擺的擺長為________。 (2)該單擺的周期為________。 (3)用上述物理量的符號寫出求重力加速度的一般表達式

17、g＝________。 (4)實驗結(jié)束后，某同學發(fā)現(xiàn)他測得的重力加速度的值總是偏大，其原因可能是下述原因中的________。 A．單擺的懸點未固定緊，振動中出現(xiàn)松動，使擺線增長了 B．把n次擺動的時間誤記為(n＋1)次擺動的時間 C．以擺線長作為擺長來計算 D．以擺線長與擺球的直徑之和作為擺長來計算 答案　(1)l＋　(2) (3)　(4)BD 解析　(1)單擺的擺長為懸點到擺球重心的距離，即為l＋。 (2)到第n次經(jīng)過最低點所用的時間內(nèi)的周期數(shù)為，該單擺的周期為T＝。 (3)由單擺周期公式，得T＝2π ，聯(lián)立解得g＝。 (4)若單擺的懸點未固定緊，振動中出現(xiàn)松動，使擺

18、線增長了，測量的周期增大，則t增大，由此可知，測得的重力加速度的值偏小，A錯誤；若把n次擺動的時間誤記為(n＋1)次擺動的時間，由g＝可知測得的重力加速度的值偏大，B正確；若以擺線長作為擺長來計算，由g＝可知測得的重力加速度的值偏小，C錯誤；若以擺線長與擺球的直徑之和作為擺長來計算，由g＝可知測得的重力加速度的值偏大，D正確。 6．在做“用單擺測定重力加速度”的實驗時，用擺長l和周期T計算重力加速度的公式是g＝________。若已知擺球直徑為2.00 cm，讓刻度尺的零點對準擺線的懸點，擺線豎直下垂，如圖甲所示，則單擺擺長是________ m。若測定了40次全振動的時間如圖乙中秒表所示，

19、則秒表讀數(shù)是________ s，單擺擺動周期是________ s。 為了提高測量精度，需多次改變l值，并測得相應(yīng)的T值。現(xiàn)將測得的六組數(shù)據(jù)標示在以l為橫坐標、以T2為縱坐標的坐標系上，即圖丙中用“·”表示的點，則： (1)單擺做簡諧運動應(yīng)滿足的條件是__________________。 (2)試根據(jù)圖丙中給出的數(shù)據(jù)點作出T2和l的關(guān)系圖線，根據(jù)圖線可求出g＝________ m/s2。(結(jié)果取兩位有效數(shù)字) 答案　　0.8750　75.2　1.88 (1)單擺的最大偏角θ≤5° (2)圖見解析　9.9(或9.8) 解析　由T＝2π，可知g＝。 由題圖甲可知：擺長l

20、＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.8750 m。 秒表的讀數(shù)t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，所以T＝＝1.88 s。 (1)單擺做簡諧運動的條件是單擺的最大偏角θ≤5°。 (2)把在一條直線上的點連在一起，誤差較大的點平均分布在直線的兩側(cè)(如圖)，則直線斜率k＝。 由g＝＝，可得g＝9.9 m/s2(結(jié)果為9.8 m/s2也正確)。 7．在“用單擺測定重力加速度”的實驗中，由單擺做簡諧運動的周期公式可得到g＝。只要測出多組單擺的擺長l和運動周期T，作出T2-l圖象，就可以求出當?shù)氐闹亓铀俣?。理論上T2-l圖象是一條過坐標原點的直線，某同學根據(jù)實驗

21、數(shù)據(jù)作出的圖象如圖所示。 (1)造成圖象不過坐標原點的原因可能是________________________。 (2)由圖象求出的重力加速度g＝________ m/s2。(取π2＝9.87) 答案　(1)測擺長時漏掉了擺球半徑　(2)9.87 解析　(1)既然所畫T2-l圖象與縱坐標有正截距，這就表明l的測量值與真實值相比偏小了，原因可能是測擺長時漏掉了擺球半徑。 (2)圖象的斜率k＝＝4，則g＝＝9.87 m/s2。 8．有兩個同學利用假期分別去參觀北大和南大的物理實驗室，各自在那里利用先進的DIS系統(tǒng)較準確地探究了“單擺的周期T與擺長l的關(guān)系”，他們通過校園網(wǎng)交換實驗

22、數(shù)據(jù)，并由計算機繪制了T2-l圖象，如圖甲所示。去北大的同學所測實驗結(jié)果對應(yīng)的圖線是________(填“A”或“B”)。另外，在南大做探究的同學還利用計算機繪制了a、b兩個擺球的振動圖象(如圖乙)，由圖可知，兩單擺擺長之比＝________。 答案　B　 解析　由單擺的周期公式T＝2π得T2＝l，即T2-l圖象的斜率k＝，重力加速度越大，斜率越小，我們知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同學所測實驗結(jié)果對應(yīng)的圖線是B；從題圖乙可以得出：Tb＝1.5Ta，由單擺的周期公式得：Ta＝2π，Tb＝2π ，聯(lián)立解得：＝。 9．根據(jù)單擺周期公式T＝2π ，可以通過實驗測量當?shù)氐闹亓?/p>

23、速度。如圖甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺。 (1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，示數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為________ mm。 (2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有________。 a．擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些 b．擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的 c．為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線偏離平衡位置有較大的角度 d．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置的角度大于5度，在釋放擺球的同時開始計時，當擺球回到開始位置時停止計時，此時間間隔Δt即為單擺周期T e．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置的角度不大于5

24、度，釋放擺球，當擺球振動穩(wěn)定后，從平衡位置開始計時，記下擺球做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝ 答案　(1)18.6　(2)abe 解析　(1)根據(jù)游標卡尺讀數(shù)規(guī)則，游標卡尺的讀數(shù)：18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm。 (2)擺線要選擇細些的，可減小其自身重力和空氣阻力對實驗的影響，選擇伸縮性小些的，保證擺長不變，并且盡可能長一些，使在合適的振幅下，擺角較小，故a正確；擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的，可減小空氣阻力的影響，b正確；在最大擺角不大于5°時，單擺的周期與擺角和振幅的大小無關(guān)，c錯誤；拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，在擺球通過平衡位置的同時開始計時

25、，測量單擺做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝，d錯誤，e正確。 10．將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺的下部分露于筒外)，如圖甲所示，將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，設(shè)單擺擺動過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應(yīng)的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出函數(shù)關(guān)系圖象，那么就可以通過此圖象得出小筒的深度h和當?shù)氐闹亓铀俣萭。 (1)測量單擺的周期時，某同學在擺球某次通過最低點時，按下停表開始計時，同時數(shù)“1”，當擺球第二次通過最低點時數(shù)“2”，依此法往下數(shù)，當

26、他數(shù)到“59”時，按表停止計時，讀出這段時間t，則該單擺的周期為(　　) A. B. C. D. (2)如果實驗中所得到的T2-L關(guān)系圖象如圖乙所示，那么真正的圖象應(yīng)該是a、b、c中的________。 (3)由圖象可知，小筒的深度h＝________ m；當?shù)刂亓铀俣萭＝________ m/s2。 答案　(1)A　(2)a　(3)0.3　9.86 解析　(1)這段時間t含有58個“半周期”，即29個周期，則該單擺的周期為，A正確。 (2)擺線在筒內(nèi)部分的長度為h，由T＝2π 得，T2＝L＋h，可知T2-L的關(guān)系圖象為a。 (3)將T2＝0，L＝－30 cm代入T2＝L＋h可得：h＝30 cm＝0.3 m，將T2＝1.20 s2，L＝0，h＝0.3 m代入T2＝L＋h可求得：g＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。 - 13 -