《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

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1、 . . . 《兩角和與差的正弦、余弦、正切公式》教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教學(xué)分析 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的.在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對(duì)照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點(diǎn)，如比較cos(α-β)與cos(α+β),它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運(yùn)算或換元的角度看都有在聯(lián)系，即α+β=α-(-β)的關(guān)系，從而由公式C(α-β)推得公

2、式C(α+β)，又如比較sin(α-β)與cos(α-β)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進(jìn)行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等. 2.通過(guò)對(duì)“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解.因此本節(jié)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的重要容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力都有著十分重要的意義. 3.本節(jié)的幾個(gè)公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過(guò)程也充分說(shuō)明了它們之間的在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)它們的這種聯(lián)系，從而加深對(duì)公式的理

3、解和記憶.本節(jié)幾個(gè)例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo)，例如在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要具備什么條件等.另外，還要重視思維過(guò)程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過(guò)程表述的正確性、簡(jiǎn)捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的. 二、三維目標(biāo) 1.知識(shí)與技能：在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過(guò)讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,了解它們之間的在聯(lián)系，并通過(guò)強(qiáng)化題目的訓(xùn)練，加深對(duì)公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力與邏輯推理能力，從而提高解決問(wèn)題的

4、能力. 2.過(guò)程與方法：通過(guò)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)、恒等證明，使學(xué)生深刻體會(huì)聯(lián)系變化的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力. 3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). 三、教學(xué)重、難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與其推導(dǎo). 教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明. 四、教學(xué)用具 三角板，彩色粉筆，幻燈片 五、教學(xué)方法 教法：引導(dǎo)探究，歸納總結(jié) 學(xué)法：合作討論，自主學(xué)習(xí) 六、教學(xué)過(guò)程

5、1．導(dǎo)入新課 (問(wèn)題導(dǎo)入)教師出示問(wèn)題，先讓學(xué)生計(jì)算以下幾個(gè)題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作準(zhǔn)備.若sinα=，α∈(0,)，cosβ=,β∈(0,),求cos(α-β),cos(α+β)的值.學(xué)生利用公式C（α-β）很容易求得cos（α-β），但是如果求cos（α+β）的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式C（α-β）的形式來(lái)求，此時(shí)思路受阻,從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式. 2．推進(jìn)新課 提出問(wèn)題 ①還記得兩角差的余弦公式嗎？請(qǐng)一位同學(xué)到黑板上默寫出來(lái). ②在公式C(α-β)中，角β是任意角，請(qǐng)學(xué)生思考角α-β中β?lián)Q成角-β是否可以？此時(shí)觀察角α+β與α-(-β)之間

6、的聯(lián)系，如何利用公式C(α-β)來(lái)推導(dǎo)cos(α+β)=? ③分析觀察C(α+β)的結(jié)構(gòu)有何特征？ ④在公式C(α-β)、C(α+β)的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(α+β)=?sin(α-β)=? ⑤公式S(α-β)、S(α+β)的結(jié)構(gòu)特征如何？ ⑥對(duì)比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推導(dǎo)出tan(α-β)=? tan（α+β）=？ ⑦分析觀察公式T(α-β)、T(α+β)的結(jié)構(gòu)特征如何？ ⑧思考如何靈活運(yùn)用公式解題？ 活動(dòng)：對(duì)問(wèn)題①，學(xué)生默寫完后，教師播放幻燈片，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦公式，點(diǎn)撥學(xué)生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎樣任

7、意的？你會(huì)有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos(α-β)與cos(α+β)中角的在聯(lián)系，學(xué)生有的會(huì)發(fā)現(xiàn)α-β中的角β可以變?yōu)榻?β，所以α-(-β)=α+β〔也有的會(huì)根據(jù)加減運(yùn)算關(guān)系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.這時(shí)教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式C(α-β)上來(lái),這樣就很自然地得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(α+β). 對(duì)問(wèn)題②，教師引

8、導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(α+β)的結(jié)構(gòu)特征,可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時(shí)讓學(xué)生對(duì)比公式C(α-β)進(jìn)行記憶，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________. 對(duì)問(wèn)題③，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來(lái)實(shí)現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式⑸⑹來(lái)化余弦為正弦(也有的會(huì)想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2α+cos2α=1來(lái)互化，此法讓學(xué)生課下進(jìn)行),因此有 sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β

9、］ =cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β用-β代之，則 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡(jiǎn)記為S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 對(duì)問(wèn)題④⑤，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行記憶，同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)本節(jié)公式的探究過(guò)程與公式變化特點(diǎn)，體驗(yàn)三角公式的這種簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱

10、美.為強(qiáng)化記憶，教師可讓學(xué)生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin=_____. 對(duì)問(wèn)題⑥，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在我們推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來(lái)推導(dǎo)出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到.在學(xué)生探究推導(dǎo)時(shí)很可能想不到討論，這時(shí)教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來(lái). 當(dāng)cos(α+β)≠0時(shí)，tan(α+β)= 如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0時(shí),分子、分母同除以cosαcosβ得 tan(α+β)=，據(jù)角α、β的

11、任意性，在上面的式子中，β用-β代之，則有 tan(α-β)= 由此推得兩角和、差的正切公式，簡(jiǎn)記為T(α-β)、T(α+β). tan(α+β)= tan(α-β)=? 對(duì)問(wèn)題⑥,讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過(guò)程可知，α、β、α±β都不能等于+kπ(k∈Z)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶. 對(duì)問(wèn)題⑦⑧，教師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個(gè)公式分類比較可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個(gè)公式的推導(dǎo)

12、 過(guò)程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖.可讓學(xué)生自己畫出這六個(gè)框圖.通過(guò)邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的在聯(lián)系，借以理解并靈活運(yùn)用這些公式.同時(shí)教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用與變形用.如兩角和與差的正切公式的變形式 ????tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)，tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)，在化簡(jiǎn)求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化，也表達(dá)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.對(duì)于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tanα，tanβ或tan（α±β）的值不存在時(shí)，不能使用T（α±β）處理某些有關(guān)問(wèn)題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他

13、方法，例如：化簡(jiǎn)tan(-β)，因?yàn)閠an的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan(-β)=來(lái)處理等. ? 應(yīng)用示例 例1?已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值. ????活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對(duì)問(wèn)題時(shí)要注意認(rèn)真分析條件，明確要求.再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時(shí)要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進(jìn)行等.例如此題中，要先求出cosα,tanα的值，才能利用公式得解，此題是直接應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉公式的應(yīng)用，教師可以完全讓學(xué)生自己獨(dú)立完成. 解：由sinα=,α是第四象限角，得cosα=. ∴tanα==.

14、于是有sin(-α)=sincosα-cossinα= cos(+α)=coscosα-sinsinα= tan(α-)===. ????點(diǎn)評(píng)：本例是運(yùn)用和差角公式的基礎(chǔ)題，安排這個(gè)例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣. 變式訓(xùn)練1 1.不查表求cos75°,tan105°的值. 解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =, tan105°=tan(60°+45°)=?=-(2+). 2.設(shè)α∈(0,),若sinα=,則2sin(α+)等于(????) A.???????????????

15、B.?????????????C.?????????????D.4 答案：A 例2??已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β)． ????活動(dòng)：教師可先讓學(xué)生自己探究解決，對(duì)探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的在聯(lián)系.根據(jù)公式S(α-β)、C(α+β)、T(α+β)應(yīng)先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號(hào). 解：由sinα=,α∈(,π),得 cosα==-=，∴tanα=. 又由cosβ=,β∈(π,). sin

16、β==, ∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =×()-(. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=()×()-×() = ∴tan(α+β)==. ????點(diǎn)評(píng)：此題仍是直接利用公式計(jì)算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力. 變式訓(xùn)練2 ????引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí). 解：設(shè)電視發(fā)射塔高CD=x米，∠CAB=α，則sinα=， 在Rt△ABD中，tan(45°+α)=tanα. 于是x=, 又∵sinα=,α∈(0,),∴cosα≈,ta

17、nα≈. tan(45°+α)==3, ∴x=-30=150(米). 答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米. 例3?在△ABC中，sinA=(0°

18、暗含條件. 解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=且0°

19、件. 變式訓(xùn)練3 在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,則△ABC是(????) A.銳角三角形?????B.鈍角三角形??????C.直角三角形??????D.等腰非直角三角形 答案：C 七、課堂小結(jié) 1.學(xué)生提綱契領(lǐng)：學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，有哪些收獲與提高，在公式推導(dǎo)中你悟出了什么樣的數(shù)學(xué)思想？對(duì)于這六個(gè)公式應(yīng)如何對(duì)比記憶？其中正切公式的應(yīng)用有什么條件限制？怎樣用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值與恒等式證明。 2.教師畫龍點(diǎn)睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式與其推導(dǎo)，要正確熟練地運(yùn)用公式解題.在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，領(lǐng)悟變換思路，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法。 八、布置作業(yè) 課本課后習(xí)題A組：3題，4題，B組：1題 補(bǔ)充：已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值. 九、板書設(shè)計(jì) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 兩角和與差的余弦公式?????????例1??????????變式訓(xùn)練1 ? 兩角和與差的正弦公式?????????例2??????????變式訓(xùn)練2 ? 兩角和與差的正切公式?????????例3??????????變式訓(xùn)練3 10 / 10