《空間中的垂直關(guān)系》專題訓(xùn)練

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1、《空間中的垂直關(guān)系》專題訓(xùn)練 1．如圖1所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分別為A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中點，求證：EF⊥GF。 A B C D E A1 B1 C1 O F 2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分別為BB1、AC1的中點，證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線。 3．〔1〕如圖，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求證：BD⊥平面ACC1A1。 〔2〕如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點， 面CDE 是等邊三

2、角形，棱。 〔I〕證明平面； 〔II〕設(shè)證明平面。 4．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是 A1B1 中點．〔1〕求證C1D ⊥平面A1B ；〔2〕當點F 在BB1 上什么位置時，會使 得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。 5．如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點，求證：〔1〕DE ＝DA ；〔2〕平面BDM ⊥平面ECA ；〔3〕平面DEA ⊥平面ECA。 6．如下列圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長

3、為4.E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，EF∩BD=G。 〔Ⅰ〕求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1； 〔Ⅱ〕求點D1到平面B1EF的距離d； 〔Ⅲ〕求三棱錐B1—EFD1的體積V。 7．〔1〕如圖，正方形所在平面，過作與垂直的平面分別交、、于、K、，求證：、分別是點在直線和上的射影． 〔2〕如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，。 〔Ⅰ〕試確定，使直線與平面所成角的正切值為； 〔Ⅱ〕在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。 8．如圖1所示，A1B1C1

4、—ABC是正三棱柱，D是AC的中點。 〔1〕證明AB1∥DBC1； 〔2〕假設(shè)AB1⊥BC1，BC=2。 求線段AB1在側(cè)面B1BCC1上的射影長。 9．是邊長為的正三角形所在平面外一點， ，求異面直線與的距離。 A B C D E F G H 10．如圖，在空間四邊形中，、、、分別是邊、、 、的中點，對角線且它們所成的角為。 ⑴求證：，⑵求四邊形的面積。 11．如圖〔1〕所示，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，那么四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖〔2〕的 〔要求：把可能的圖的序號都填上〕

5、圖〔1〕 圖〔2〕 12．α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個論斷： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β 《空間中的垂直關(guān)系》答案 1． 證明：如圖2，作GQ⊥B1C1于Q，連接FQ，那么GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q為B1C1的中點。 在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分別為A1D1、A1B1、B1C1的中點可證明EF⊥FQ， 由三垂線定理得EF⊥GF。 2．證明：設(shè)O為AC中點，連接EO，BO，那么E

6、OC1C，又C1CB1B，所以EODB， A B C D E A1 B1 C1 O F EOBD為平行四邊形，ED∥OB。 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOì面ABC，故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線。 點評：該題考點多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理增強。 3． 證明：〔1〕∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱， ∴CC1⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC1 ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC 又

7、∵AC，CC1平面ACC1A1, 且AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面ACC1A1。 〔2〕證明： 〔I〕取CD中點M，連結(jié)OM。 在矩形ABCD中， 又 那么連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形。 又平面CDE，且平面CDE， 平面CDE。 〔II〕連結(jié)FM。 由〔I〕和條件，在等邊中， 且 因此平行四邊形EFOM為菱形，從而。 平面EOM，從而 而所以平面 4． 分析：〔1〕由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。 〔2〕由〔1〕得C

8、1D ⊥AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點即為所求的F 點位置。 〔1〕證明：如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。 又 D 是A1B1 的中點，∴ C1D ⊥A1B1 。 ∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。 〔2〕解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，那么AB1 ⊥平面C1DF ，點F 即為所求。 事實上，∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平

9、面AA1B1B ， ∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ， ∴ AB1 ⊥平面C1DF 。 5． 證明：〔1〕如圖，取EC 中點F ，連結(jié)DF。 ∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。 ∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。 ∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，那么四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。 又BA ＝BC ＝DF ， ∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。 〔2〕取AC 中點N ，連結(jié)MN 、NB ， ∵ M 是EA 的中點， ∴ MN EC。 由BD EC ，

10、且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。 ∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點， ∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ， ∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，那么平面ECA ⊥平面BDM。 〔3〕∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ， ∴ 平面DEA ⊥平面ECA。 6． 〔Ⅰ〕證法一：連接AC。 ∵正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形。 ∴AC⊥BD，又AC⊥D1D，故AC⊥平面BDD1B1 ∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD1B1 ∴平面B1EF⊥平面BDD1

11、B1。 證法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD. ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1。 〔Ⅱ〕解：在對角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G， ∴D1H⊥平面B1EF，且垂足為H，∴點D1到平面B1EF的距離d=D1H。 解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sinD1B1H， ∵D1B1=A1B1=4， sinD1B1H=sinB1GB=， ∴d=D1H=4· 解法二：∵△D1HB∽△B1BG，∴ ∴d=D1H=。 圖 解法三：如下列圖，連接D1GB1

12、G·D1H=BB12。 ∴d=。 〔Ⅲ〕·d·. 7． 證明：∵ 面，∴ ， ∵ 為正方形，∴ ， ∵ 與相交，∴ 面，面， ∴ ． 由面，且面， ∴ ， ∵ ，∴　面，面，∴ ， 即 為點在直線上的射影， 同理可證得為點在直線上的射影。 〔2〕 解法1：〔Ⅰ〕連AC，設(shè)AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，連結(jié)OG， 因為PC∥平面，平面∩平面APC＝OG， 故OG∥PC，所以O(shè)G＝PC＝。 又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面， 故∠AGO是AP與平面所成的角。 在Rt△AOG

13、中，tanAGO＝，即m＝。 所以，當m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為。 〔Ⅱ〕可以推測，點Q應(yīng)當是AICI的中點O1， 因為D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP。 那么根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直。 8． 證明：〔1〕如圖2所示，∵A1B1C1—ABC是正三棱柱， ∴四邊形B1BCC1是矩形。 連結(jié)B1C，交BC1于E，那么BE=EC。 連結(jié)DE，在△AB1C中，∵AD=DC， ∴DE∥AB1，又因為AB1平面DBC1，DE平面DBC1，

14、∴AB1∥平面DBC1。 〔2〕作AF⊥BC，垂足為F。因為面ABC⊥面B1BCC1， ∴AF⊥平面B1BCC1。連結(jié)B1F，那么B1F是AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影。 ∵BC1⊥AB1，∴BC1⊥B1F。 ∵四邊形B1BCC1是矩形，∴∠B1BF=∠BCC1=90°，又∠FB1B=∠C1BC，∴△B1BF∽△BCC1，那么==。 又F為正三角形ABC的BC邊中點，因而B1B2=BF·BC=1×2=2。 于是B1F2=B1B2+BF2=3，∴B1F=，即線段AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影長為。 9． F C A B D E F C A B D

15、E F C A B D E 圖⑴ 圖⑵ 圖⑶ 解析：分別取、 中點、，連 結(jié)〔圖⑴〕。 連結(jié)、〔圖 ⑵〕 ∵， 為公共邊，， ∴≌ ∴ ∵點為中點 ∴ 同理：〔圖⑶〕 又，， ∴即為異面直線與的公垂線段 如圖⑵，在中，，，， ∴ ∴異面直線與的距離。 點評：求異面直線的距離，必須先找到兩條異面直線的公垂線段。 10． A B C D E F G H 解析：⑴在中，、分別是邊、的中點，∴∥， 在中，、分別是邊、的中點，∴∥， ∴∥且， 同理：∥且， ∵，∴， ∴四邊形為菱形，∴。 ⑵∵∥，∥， ∴〔或的補角〕即為異面直線與所成的角， 由得：〔或〕， ∴四邊形的面積為：。 11． 圖〔1〕 圖〔2〕 答案：②③ 解析：∵面BFD1E⊥面ADD1A1，所以四邊形BFD1E在面ADD1A1上的射影是③，同理，在面BCC1B1上的射影也是③。 過E、F分別作DD1和CC1的垂線，可得四邊形BFD1E在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1，面ABCD和面A1B1C1D1上的射影也是②。 〔2〕 12． 答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β