《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案第八章

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1、 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案 第　八　章 1．設(shè)是從總體中抽出的樣本，假設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，未知，給定和顯著性水平，試求假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及否定域. 解 選統(tǒng)計(jì)量 記 則，對(duì)于給定的顯著性水平，查分布表求出臨界值，使 因 ，所以，從而 可見(jiàn)的否定域?yàn)? 2．某種零件的尺寸方差為，對(duì)一批這類(lèi)零件檢查6件得尺寸數(shù)據(jù)（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。設(shè)零件尺寸服從正態(tài)分布，問(wèn)這批零件的平均尺寸能否認(rèn)為

2、是32.50毫米（）. 解 問(wèn)題是在已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)? 其中 ，因，所以否定，即不能認(rèn)為平均尺寸是32.5毫米。 3．設(shè)某產(chǎn)品的指標(biāo)服從正態(tài)分布，它的標(biāo)準(zhǔn)差為，今抽了一個(gè)容量為26的樣本，計(jì)算平均值1580，問(wèn)在顯著性水平下，能否認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600。 解 問(wèn)題是在已知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)?，其? . . 因?yàn)?，所以接受，即可以認(rèn)為這批產(chǎn)品的指標(biāo)的期望值不低于1600. 4．一種元件，要求其使用壽命不低于1000小時(shí)，現(xiàn)在從這批元

3、件中任取25件，測(cè)得其壽命平均值為950小時(shí)，已知該元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為小時(shí)的正態(tài)分布，問(wèn)這批元件是否合格？（） 解 設(shè)元件壽命為，則，問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè). 的否定域?yàn)?，其? 因?yàn)? 所以否定，即元件不合格. 5．某批礦砂的5個(gè)樣品中鎳含量經(jīng)測(cè)定為： 設(shè)測(cè)定值服從正態(tài)分布，問(wèn)能否認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為？ 解 問(wèn)題是在未知的條件下檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)?

4、 因?yàn)? 所以接受，即可以認(rèn)為這批礦砂的鎳含量為3.25. 6．糖廠用自動(dòng)打包機(jī)打包，每包標(biāo)準(zhǔn)重量為100公斤，每天開(kāi)工后要檢驗(yàn)一次打包機(jī)工作是否正常，某日開(kāi)工后測(cè)得9包重量（單位：公斤）如下： 問(wèn)該日打包機(jī)工作是否正常（；已知包重服從正態(tài)分布）？ 解 ，，， 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) 的否定域?yàn)? 其中 因?yàn)? 所以接受，即該日打包機(jī)工作正常. 7．按照規(guī)定，每100克罐頭番茄汁中，維生素的含量不得少于21毫克，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批罐頭中

5、抽取17個(gè)，測(cè)得維生素的含量（單位：毫克）如下 已知維生素的含量服從正態(tài)分布，試檢驗(yàn)這批罐頭的維生素含量是否合格。 解 設(shè)為維生素的含量，則，，，. 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) （1）. （2）選擇統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值： （3）對(duì)于給定的查分布表求出臨界值. （4）因?yàn)椤Ｋ越邮?，即認(rèn)為維生素含量合格. 8．某種合金弦的抗拉強(qiáng)度，由過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)知（公斤/厘米2），今用新工藝生產(chǎn)了一批弦線，隨機(jī)取10根作抗拉試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下： 10512，10623，10668，10554，107

6、76， 10707，10557，10581，10666，10670. 問(wèn)這批弦線的抗拉強(qiáng)度是否提高了？（） 解 ，，，. 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) （1）. （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值. （3）對(duì)于，查分布表，得臨界值. （4）因，故否定即認(rèn)為抗拉強(qiáng)度提高了。 9．從一批軸料中取15件測(cè)量其橢圓度，計(jì)算得，問(wèn)該批軸料橢圓度的總體方差與規(guī)定的有無(wú)顯著差別？（，橢圓度服從正態(tài)分布）。 解 ，問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè). （1）. （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值

7、 （3）對(duì)于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因?yàn)樗越邮埽纯傮w方差與規(guī)定的無(wú)顯著差異。 10．從一批保險(xiǎn)絲中抽取10根試驗(yàn)其熔化時(shí)間，結(jié)果為 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 問(wèn)是否可以認(rèn)為這批保險(xiǎn)絲熔化時(shí)間的方差不大于80？（，熔化時(shí)間服從正態(tài)分布）. 解 ， 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè). （1）； （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 （3）對(duì)于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因，故接受，即可以認(rèn)為方差不大于80。

8、11．對(duì)兩種羊毛織品進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)，所得結(jié)果如下 第一種 138，127，134，125； 第二種 134，137，135，140，130，134. 問(wèn)是否一種羊毛較另一種好？設(shè)兩種羊毛織品的強(qiáng)度都服從方差相同的正態(tài)分布。 解 設(shè)第一、二種織品的強(qiáng)度分別為和，則 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) （1） （2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值. （3）對(duì)于給定的，查分布表得臨界值 . （4）因?yàn)?，所以接受假設(shè)，即不能說(shuō)一種羊毛較另一種好。 12．在20塊條件相同的土地上，同

9、時(shí)試種新舊兩個(gè)品種的作物各十塊土地，其產(chǎn)量（公斤）分別為 舊品種 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品種 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，并都來(lái)自正態(tài)總體（方差相等），問(wèn)新品種的產(chǎn)量是否高于舊品種？（） 解 設(shè)為新品種產(chǎn)量，為舊品種產(chǎn)量；，，問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) ，， ，，

10、選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值： 對(duì)給定的，查分布表得臨界值. 因?yàn)楣式邮埽葱缕贩N高于舊品種. 13．兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，分別取6個(gè)和9個(gè)零件，量其長(zhǎng)度得，假定零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，問(wèn)可否認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度的方差無(wú)顯著差異？ 解 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) 選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 對(duì)給定的查分布表得臨界值，. 因 故接受，即無(wú)顯著差異. 13．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同樣產(chǎn)品，從它們加工的產(chǎn)品中各抽取若干，測(cè)得直徑（單位：mm）為

11、 甲：20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9; 乙：19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2. 問(wèn)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工的精度有無(wú)顯著差異？（，產(chǎn)品直徑服從正態(tài)分布。） 解 設(shè)甲加工的直徑為，乙為. ，. ，， ， ， 問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) 選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值 . 對(duì)于給定的，查分布表得臨界值， 因，故接受，即精度無(wú)顯著差異. 14．一顆骰子擲了120次，得

12、下列結(jié)果： 點(diǎn) 數(shù) 1 2 3 4 5 6 出現(xiàn)次數(shù) 23 26 21 20 15 15 問(wèn)骰子是否勻稱(chēng)？（） 解 用表示擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，其可能值為1，2，3，4，5，6。問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè) 這里， ，故 查分布表，得臨界值因?yàn)楣式邮?，即骰子勻稱(chēng)。 15．從一批滾珠中隨機(jī)抽取50個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：mm）為 15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3 15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14

13、.8 14.5 14.2 14.9 14.9 15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2 15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1 15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2 是否可以認(rèn)為這批鋼珠的直徑服從正態(tài)分布？（） 解 數(shù)據(jù)中最小的為14.2，最大者為15.9，設(shè)，欲把分成七個(gè)（相等的）區(qū)間，則區(qū)間長(zhǎng)度（組距）為

14、得分點(diǎn)它們把實(shí)數(shù)軸分成七個(gè)不相交的區(qū)間，樣本值分成了七組： 1 3 2 5 3 10 4 16 5 8 6 6 7 2 設(shè)鋼珠的直徑為，其分布函數(shù)為，我們的問(wèn)題是檢驗(yàn)假設(shè)：. 其中未知. 在成立之下，和的極大似然估計(jì)為，，. 在上面的表中第1組和第7組的頻數(shù)過(guò)小，把它們并入相鄰的組內(nèi)，即分成5組，分點(diǎn)為，，，.

15、 統(tǒng)計(jì)量 的值計(jì)算如下表： 1 8 0.1492 7.46 0.54 0.2916 0.03909 2 10 0.2140 10.7 –0.7 0.49 0.04579 3 16 0.2736 13.68 2.32 5.3824 0.39345 4 8 0.2180 10.9 –2.9 8.41 0.77156 5 8 0.1452 7.26 0.74 0.5476 0.07543 50 1 50 0 15.1216 1.24997

16、即，對(duì)于查分布表得臨界值. 因，故接受，即認(rèn)為鋼珠直徑服從正態(tài)分布. 16．設(shè)，假設(shè)隨機(jī)變量在上是均勻分布的，今對(duì)進(jìn)行100次獨(dú)立觀察，發(fā)現(xiàn)其值落入的頻數(shù)分別為30，20，36，14，問(wèn)均勻分布的假設(shè)，在顯著性水平為0.05下是否可信。 解 檢驗(yàn)假設(shè)： 檢驗(yàn)計(jì)算表如下： 1 30 25 5 1 2 20 25 –5 1 3 36 25 11 4.84 4 14 25 –11 4.84 100 1 100 0 11.68 統(tǒng)計(jì)量 對(duì)于，查得 因?yàn)?

17、 所以不接受，即不能相信. 習(xí) 題 九 1．一批由同樣原料織成的布，用五種不同的染整工藝處理，然后進(jìn)行縮水試驗(yàn)，設(shè)每種工藝處理4塊布樣，測(cè)得縮水率的結(jié)果如下表 布樣號(hào) 縮 水 率 1 2 3 4 4.3 7.8 3.2 6.5 6.1 7.3 4.2 4.1 6.5 8.3 8.6 8.2 9.3 8.7 7.2 10.1 9.5 8.8 11.4 7.8 問(wèn)不同的工藝對(duì)布的縮水率是否有顯著的影響

18、 解 ，查附表5得 . 序號(hào) 1 2 3 4 4.3 7.8 3.2 6.5 6.1 7.3 4.2 4.1 6.5 8.3 8.6 8.2 9.3 8.7 7.2 10.1 9.5 8.8 11.4 7.8 21.8 21.7 31.6 35.3 37.5 147.9 475.24 470.89 998.56 1246.09 1406.25 4597.03 131.82 112.24 252.34 31

19、6.03 358.49 1149.25 131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1170.92 方差分析表 方差來(lái)源 平方和 自由度 均方 值 工 藝 誤 差 55.53 21.67 4 15 13.8825 1.4447 9.6095** 總 和 77.20 19 因?yàn)?，所以工藝?duì)縮水率有顯著影響. 2．燈泡廠用4種不同配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，今從中分別抽樣進(jìn)行使用壽命的試驗(yàn)，得到下表的結(jié)果（單位：小時(shí)），問(wèn)這幾種配料方案對(duì)使用壽命有無(wú)顯著影響？（） 試

20、驗(yàn)號(hào) 壽 命 1 2 3 4 5 6 7 8 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 — 1850 1640 1640 1700 1750 — — — 1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 1510 1520 1530 1570 1600 1680 — — 解 ，查附表5得 為簡(jiǎn)化計(jì)算從上表的試驗(yàn)結(jié)果中都減去1600再除以10得下表 壽命 序號(hào) 1 2 3 4

21、 5 6 7 8 0 1 5 8 10 12 20 25 4 4 10 15 –14 –5 0 2 4 6 14 22 –9 –8 –7 –3 0 8 56 58 29 –19 124 3136 3364 841 361 448 672.8 105.125 60.167 1286.092 734 982 957 264 2937 ，， ， ， 方差分析表 方差來(lái)源 平方和 自由度 均方 F

22、值 配 料 誤 差 6.947 16.509 3 22 2.313 0.727 3.18 總 和 23.456 25 因?yàn)椋什伙@著. 3．在單因素試驗(yàn)方差分析模型式（9.2）中，是未知參數(shù)，求的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì). 解 因?yàn)?，所以的點(diǎn)估計(jì)為. 由定理9.1知，再由定理6.1知與相互獨(dú)立，又由獨(dú)立，知與獨(dú)立，從而與獨(dú)立，又 由分布的定義知 其中 對(duì)于給定的，查分布表求出臨界值，使

23、在上式括號(hào)內(nèi)將暴露出來(lái)得在置信度下的置信區(qū)間 4．在單因素試驗(yàn)方差分析模型式（9.2）中，是未知參數(shù)，試證是的無(wú)偏估計(jì)，且的下的置信區(qū)間為 證：因?yàn)椋?，? 于是 故 是的無(wú)偏估計(jì)； 因?yàn)? 所以對(duì)于給定的，查分布表求出臨界值和使得 式中將暴露出來(lái)得 故的置信度為下的置信區(qū)間為 證畢 5．驗(yàn)證式（9.24）的解能使達(dá)到最小值. 證：是函數(shù)的駐點(diǎn). 而 由柯西不等式知，而所以是的極小點(diǎn)，而存在最小值，故能使達(dá)到最小值.

24、 6．利用定理9.2證明，在假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量 并利用它檢驗(yàn)9.2中例1所得的回歸方程的顯著性 證：因?yàn)? 所以 在成立的條件下 又 由分布的定義知 . 證畢 今利用統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)回歸方程的顯著性. 對(duì)于給定的查分布表得臨界值. 因?yàn)?，所以回歸方程顯著. 7．利用定理9.2證明回歸系數(shù)的置信區(qū)間為 并利用這個(gè)公式求9.2中例1的回歸系數(shù)的置信區(qū)間（置信度為0.95）. 解 由定理9.2知 對(duì)于給定的，查分布表求出臨界值，使 在上式的大括號(hào)內(nèi)，將暴露出來(lái)得 故的置信度

25、為下的置信區(qū)間為 證畢 在例1中 ，， . 所以的置信度為0.95下的置信區(qū)間為 8．在鋼線碳含量對(duì)于電阻℃時(shí)，微歐）效應(yīng)的研究中，得到以下的數(shù)據(jù) 0.01 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 15 18 19 21 22.6 23.8 26 設(shè)對(duì)于給定的為正態(tài)變量，且方差與無(wú)關(guān). （1）求線性回歸方程; （2）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性； （3）求的置信區(qū)間（置信度為0.95）； （4）求在處的置信度為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間

26、. 解 我們用下表進(jìn)行計(jì)算 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 15 18 19 21 22.6 23.8 26 0.01 0.09 0.16 0.3025 0.49 0.64 0.9025 225 324 361 441 510.76 566.44 676 1.5 5.4 7.6 11.55 15.82 19.04 24.7 3.8 145.4 2.595 3104.2 85.61 平均 0

27、.543 20.77 , , , , （1） , ， 所以回歸方程為 （2）我們用方差分析表來(lái)檢驗(yàn)回歸方程的顯著性 方 差 分 析 表 方差來(lái)源 平方和 自由度 均 方 F值 回 歸 1 剩 余 5 總 和 6 其中 . 查F分布表求出臨界值 因?yàn)? 所以回歸方程高度顯著. （3）由第7題知，的置信度為下的置信區(qū)間為 此處,

28、. 所以的置信度為0.95下的置信區(qū)間為（11.112, 13.987） （4）, . 故在處的置信度為0.95的置信區(qū)間為 9．在硝酸鈉的溶解度試驗(yàn)中，對(duì)不同的溫度測(cè)得溶解于100ml水中的硝酸鈉質(zhì)量的觀測(cè)值如下： 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.6 113.6 125.1 從理論知與滿足線性回歸模型式（9.20） （1

29、）求對(duì)的回歸方程； （2）檢驗(yàn)回歸方程的顯著性； （3）求在℃時(shí)的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信度為0.95）. 解 計(jì)算表如下 序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.9 113.6 125.1 0 16 100 225 441 841 1296 2601 4624 4448.89 5041.00 5821.69 6496.36 7344.49 8630.41

30、 9980.01 12904.96 15560.01 0 284 763 1209 1799.7 2694.1 3596.4 5793.6 8506.8 234 811.8 10144 76317.82 24646.6 , （1）對(duì)的回歸方程為 ； （2）方差分析表如下 方差來(lái)源 平方和 自由度 均 方 F 值 回 歸 3086.25 1 3086.25 =2996.36 剩 余 7.21

31、7 1.03 總 和 3093.46 8 查F分布表求出臨界值 因 ，故方程高度顯著. （3） 在℃時(shí)的置信度為0.95下的預(yù)測(cè)區(qū)間為 . 10．某種合金的抗拉強(qiáng)度與鋼中含碳量滿足線性回歸模型式（9.20）今實(shí)測(cè)了92組數(shù)據(jù)并算得 （1）求對(duì)的回歸方程； （2）對(duì)回歸方程作顯著性檢驗(yàn)； （3）當(dāng)含碳量時(shí)求的置信度為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間； （4）若要控制抗拉強(qiáng)度以0.95的概率落在（38，52）中，那么含碳量應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？ 解

32、（1） 所以回歸方程為 ； （2） 方 差 分 析 表 方差來(lái)源 平方和 自由度 均方 F值 回 歸 2328.58 1 2328.58 342.1815 剩 余 612.459 90 6.8051 總 和 2941.034 91 查F分布表求出臨界值 因 ，故方程高度顯著. （3） 因?yàn)槭呛艽蟮?，又接近，所以? 故當(dāng)時(shí)的信度為0.95下的置信區(qū)間為（37.567, 47.794）； （4）由 得 于是

33、的控制范圍為（0.09492, 0.1379） 11．電容器充電后，電壓達(dá)到，然后開(kāi)始放電，設(shè)在時(shí)刻，電壓的觀察值為，具體數(shù)據(jù)如下. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 （1）畫(huà)出散點(diǎn)圖； （2）用指數(shù)曲線模型來(lái)似合與的關(guān)于，求的估計(jì)值. U 0 2 4 6 8 10 80 60 40 20 100 t 解 （1） （2）由，兩邊取對(duì)數(shù)得

34、 令 得線性模型 序號(hào) 1 0 4.605 0 21.208 0 2 1 4.317 1 18.641 4.317 3 2 4.007 4 16.059 8.014 4 3 3.689 9 13.608 11.067 5 4 3.401 16 11.568 13.604 6 5 2.996 25 8.974 14.98 7 6 2.708 36 7.334 16.248 8 7 2.303 49 5.302 16.121 9 8 2.303 64 5.302 18.424 10 9 1.609 81 2.590 14.481 11 10 1.609 100 2.590 16.09 55 33.547 385 113.176 133.346 , ， ， 故 ，即的估計(jì)值分別為，. ·131·