高等數(shù)學(xué)第四章 定積分及其應(yīng)用

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1、第四章 定積分及其應(yīng)用 一、學(xué)習(xí)要點(diǎn) l 了解定積分的概念、幾何意義及性質(zhì)． l 了解原函數(shù)存在定理，能夠利用該定理求解變上限定積分的導(dǎo)數(shù)． l 熟練掌握定積分的常用方法：牛頓—萊布尼茲公式、換元積分法、分部積分法． l 掌握在直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形圍成圖形的面積的方法． l 會(huì)計(jì)算繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積，了解極坐標(biāo)系中面積的求法． l 了解無(wú)窮積分收斂的概念，能夠判斷和計(jì)算簡(jiǎn)單的無(wú)窮積分． 二、相關(guān)知識(shí)總結(jié) 1．定積分定義：定積分是一個(gè)數(shù)且與積分變量字母無(wú)關(guān). 2．定積分的幾何意義是：介于直線和之間，x軸之上、下相應(yīng)的曲邊梯形的面積的代數(shù)和. 3

2、．定積分的性質(zhì): （1）； （2）； （3）； （4）若，則； （5）積分中值定理：設(shè)在上連續(xù)，則在至少存一點(diǎn)有； （6）估值定理：若在上可積，且 則有不等式. 4．若函數(shù)在上連續(xù)，則有. 5．重要補(bǔ)充：（1）. （2）. 6．變上限定積分（原函數(shù)存在定理）是上的一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，自變量，且. 7．牛頓—萊布尼茲公式：若，則（必是初等函數(shù)，此公式成立）. 8．定積分與不定積分的本質(zhì)聯(lián)系： . 9．定積分的換元積分法： . 10．注意：定積分換元法中每進(jìn)行一次變量替換，同時(shí)要將上、下限作相應(yīng)的改變，而不要將新變量稱(chēng)成舊積分變量. 11．定積分的分部積分法： .

3、 注意：此公式與不定積分的分部公式相似，只是每項(xiàng)帶有積分限. 12．對(duì)于面積的應(yīng)用，選擇合適的積分變量，可以簡(jiǎn)化計(jì)算． （1）在直角坐標(biāo)系中的面積（用x（或y）作積分變量）． （2）在極坐標(biāo)系下的面積： 曲線方程求由及所圍成的曲邊扇形面積. 13．對(duì)于旋轉(zhuǎn)體體積的應(yīng)用： （1）求由曲線及直線軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)的體積：. （2）若曲線是，曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)的體積：. 三、重點(diǎn)例題剖析 （一）基礎(chǔ)題 1．設(shè)在區(qū)間上，，.令， ，，試說(shuō)明三者之間的大小關(guān)系． 解 用幾何意義.如圖4—1所示：曲線是上半平面的 一段下降的凹弧，是曲邊梯形的面積， 是梯形的面積，是矩形的面

4、積，顯然有． 2.利用定積分定義計(jì)算. 圖4—1 解 由于被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，因此將積分區(qū)間等分，并取子區(qū)間 的右端點(diǎn)作為介點(diǎn)，從而有 由于 所以． 3．利用定積分的性質(zhì)說(shuō)明下列積分值的大小: （1）與； （2）與． 解（1）由于當(dāng)時(shí)，，故比大． （2）由于當(dāng)時(shí)，，故有，因此比大． 4．設(shè)在上連續(xù)，且，證明：，其中 ． 證明 由泰勒中值定理知，當(dāng)時(shí)， （）

5、，從而，于是． 5．利用公式計(jì)算下列各定積分： （1）； （2）． 解 （1）． （2） ． 6．估計(jì)下列各積分的值： （1）； （2）． 解 （1）在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)增加，因此， 有，即，故有 ． （2）設(shè)，，則，在的最大值與最小值必為中的最大值和最小值，即最大值和最小值分別為和，因此有． 7．設(shè)，求． 解 當(dāng)時(shí)，原式； 當(dāng)時(shí)，原式． 8．計(jì)算，其中為已知的連續(xù)數(shù)． 解 原式． 9．，在上最大值不超過(guò)． 證明 由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 除去的點(diǎn)外，都有，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即： 當(dāng)時(shí)， ．

6、 10．設(shè)是區(qū)間上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)． （1）試證存在，使得在區(qū)間上以為高的矩形面積，等于在 區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積； （2）又設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明上題中的是唯一的． 證明（1）設(shè)，則且， 對(duì) 在上應(yīng)用羅爾中值定理知，使得，即命題得證． （2）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有 ，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，故命題得證． 11．求極限． 解 因?yàn)? 所以原式． 12．設(shè)在上可微，且滿(mǎn)足條件，試證：存在 使． 證明 令則在上可微，又由及積分中值 定理可知：使，即，于是在上滿(mǎn)足羅爾中值定理?xiàng)l件，故使得． 13．在上非增且連續(xù)，證明對(duì)任意有． 證明 記（），則

7、 故在上單調(diào)減少，從而當(dāng)時(shí)，有，故命題得證． 14．運(yùn)用換元積分法計(jì)算下列定積分： （1） ； （2））； （3）； （4） ． 解 （1） ． （2） ． （3） ． （4）． 15．設(shè)，求． 解 ． 16．設(shè)，其中，求． 解 ，于是： ． 17．設(shè)函數(shù)在內(nèi)滿(mǎn)足且， 計(jì)算． 解 ． 18．運(yùn)用分部積分法計(jì)算下列定積分： （1）； （2）； （3）；

8、 （3）； （4）； （6）． 解 （1） ． （2） ． （3） ． （4） ； 所以． （5） ． （6）． 19．設(shè)，求． 解 　 ． 20．設(shè)，求． 解 ． 21．已知函數(shù)計(jì)算下列個(gè)題： （1）； 　　 （2）； （3）； （4）． 解（1） . （2）令，則.

9、 （3）令，則. （4）． 22．在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，證明： ． 證明 ． 23．計(jì)算下列廣義積分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解 （1） ． （2） 令，則，于是 ． （3）． （4），令，記，則 ． 24．討論下列廣義積分的斂散性： （1）； （2）； （3）； （4）． 解（1）由于，，所以收斂． （2）由于，所以發(fā)散． （3）是瑕點(diǎn)，由于， ，，所以收斂． （4）是瑕點(diǎn)， 由于，， 所以

10、發(fā)散． 25．如圖4—2,求曲線與，及軸所圍圖形的面積． 解 . 圖4—2 26．如圖4—3，拋物線把圓分成兩個(gè)部分，求這兩個(gè)部分的面積之比． 解 ， 圖4—3 ，從而 ． 27．求對(duì)數(shù)螺線及射線所圍圖形的面積．

11、 解 ． 28．求內(nèi)擺線，（）所圍圖形的面積． 解 ． 29．求曲線，（）所圍圖形的面積． 解 如圖4—4所示：聯(lián)立兩曲線的方程，解之得，兩曲線的交點(diǎn)為和，故 圖4—4 于是所求面積為：． 30．求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線，所圍成的平面圖形的面積最小． 解 設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)處的切線方程為 ，即 于是，該曲線與切線及直線，所圍成的平面圖形的面

12、積為 ， 又，， 令得（唯一），而， 故當(dāng)，即所求切線方程為時(shí)，所求面積會(huì)最?。? 31．假設(shè)曲線：，軸和軸所圍成區(qū)域被曲線：分 為面積相等的兩個(gè)部分，其中是大于零的常數(shù)，試確定的值． 解 由，解得； 故曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，從而有： ， ， 于是，因此，得． 32．如圖4—5：設(shè)曲線方程為，梯形的面積為，曲邊梯形 的面積為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，證明：． 解 根據(jù)題意， ， 有. 圖4—5 33．拋物線及直線（）所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算

13、所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解 ． 34．設(shè)是曲線與三條直線，，所圍成的曲邊梯形， 求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解 ． 35．求平面曲線，（），，繞軸旋轉(zhuǎn)所圍成的立體的體積． 解 ． 36．在曲線上某點(diǎn)處作一切線使之與曲線以及軸所圍圖形面積為 ，試求：（1）切點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)切點(diǎn)的切線方程； （3）由上述所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解 設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，則切線方程為： ，即； 依題意：，則，從而 （1）切點(diǎn)的坐標(biāo)為； （2）過(guò)的切線方程為； （3）所求旋轉(zhuǎn)體的體積為． 37．求平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積． 解

14、． 38．曲線和軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解 ． 39．證明：由平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為． 證明 如圖4—6，在軸上點(diǎn)處取一底邊長(zhǎng)為的小曲邊梯形，則它繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 ， 于是平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 圖4—6 ． 40．求曲線，，和軸所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn) 體的體積． 解 ． 41．求圓盤(pán)繞旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)

15、體的體積． 解 ． 42．求由兩個(gè)圓柱面與所圍立體的體積． 解 圖4—7所示的為該立體在第一卦限部分的圖像，對(duì) ，平面與這部分立體的截面是一個(gè) 長(zhǎng)為的正方形，所以， ，從而所求體積為：. 圖4-7 43．如圖4—8，直橢圓柱體被通過(guò)底面短軸的斜平面所截，

16、 試求解得楔形體的體積． 解 如圖建立直角坐標(biāo)系，此時(shí)底面邊界曲線方程是 ， 頂面的傾斜角為，有． 過(guò)，作截面垂直于軸，與楔形體的 交面是矩形，其高為，長(zhǎng)為， 于是所求體積為： . 圖4—8 44．求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積． 解 ． 45．求曲線（）繞

17、軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積． 解 ． 46．計(jì)算曲線相應(yīng)于的一段弧的長(zhǎng)度． 解 因?yàn)?，故，所以所求弧長(zhǎng)為 ． 47．求擺線的一拱的弧長(zhǎng)． 解 由于 所以． 48．一個(gè)半球形（直徑為米）的容器內(nèi)盛滿(mǎn)了水，試問(wèn)把水抽盡需作多少功？ 解 如圖4—9建立坐標(biāo)系，這時(shí)半球的截面半圓周方程為 ，． 要將區(qū)間內(nèi)一段圓臺(tái)形水抽出半球面，需做功 ．于是把水抽盡需作功為 . 圖4—9

18、 49．長(zhǎng)米的鐵索下垂于礦井中，已知鐵索每米的質(zhì)量為千克， 問(wèn)將此鐵索提出地面需作多少功？ 解 如圖4—10建立坐標(biāo)系，將一段位于區(qū)間間的 鐵索提出地面需做功 于是將此鐵索提出地面需作功 ． 圖4—10 50．半徑為的球體沉入水中，其比重與水相同．試問(wèn)將球體從水中撈出需作多少功？ 解 如圖4—11建立坐標(biāo)系，因?yàn)榍虻谋戎嘏c水相同，故欲將位于區(qū)間的球臺(tái)提升到位置，其前一段位于水中時(shí)不用作功（重力與浮力相同），而作功只是從離開(kāi)水面時(shí)才開(kāi)始，由于圓周方程為， 從而有 于是

19、將球體從水中撈出需作功 圖4-11 . 51．有一等腰梯形閘門(mén)，它的上，下兩條底邊各長(zhǎng)為米和米,高為米．計(jì)算當(dāng)水面與上底邊相齊時(shí)閘門(mén)一側(cè)所受的靜壓力． 解 如圖4—12建立坐標(biāo)系，過(guò)兩點(diǎn)，的直線方程為： ，即 從而，位于區(qū)間上的一段閘門(mén)條上，所受到水的靜壓力： 于是閘門(mén)一側(cè)所受的總靜壓力：

20、 圖4—12 ． 52．設(shè)在坐標(biāo)軸的原點(diǎn)有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在區(qū)間上有一質(zhì)量為 的均勻細(xì)桿．試求質(zhì)點(diǎn)與細(xì)桿之間的萬(wàn)有引力． 解 細(xì)桿在上點(diǎn)處的線密度為，而從上的一段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引 力（設(shè)為引力常數(shù)）為： 于是質(zhì)點(diǎn)與細(xì)桿之間的萬(wàn)有引力為： ． 53．設(shè)有半徑為的圓形導(dǎo)線，均勻帶電，電荷密度為， 在圓心處有一單位正電荷．試求它們之間作用力的大?。? 解 如圖4—13建立坐標(biāo)系，并采用半圓的參數(shù)方程

21、． 從而對(duì)于在區(qū)間上的小段導(dǎo)線， 圖4—13 單位正電荷對(duì)它的作用力為： （設(shè)為作用力常數(shù)）． 于是有：，． 由導(dǎo)線的對(duì)稱(chēng)性，故水平分力相互抵消，從而水平方向合力為零． 此時(shí)，垂直方向的合力為： ． 這里負(fù)號(hào)表示單位正電荷對(duì)導(dǎo)線的作用力與軸方向相反. （二）提高題 1．單項(xiàng)選擇題： （1）設(shè)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小， 則當(dāng)時(shí)，是的（

22、 ）． A.低階無(wú)窮小 B.高階無(wú)窮小 C.同階但不等價(jià)的無(wú)窮小 D.等價(jià)無(wú)窮小 （2）設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，是的（ ）． A.低階無(wú)窮小 B.高階無(wú)窮小 C.等價(jià)無(wú)窮小 D.同階但不等價(jià)的無(wú)窮小 （3）設(shè)函數(shù)記，，則有（ ）． A. B. C. D． 解 （1）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有， 從而，故選擇． （2），故選擇． （3） , 故選擇． （4）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，有

23、； 又由于在處連續(xù)，因此，解得，故選擇． 2．求． 解 而 另一方面 且 所以，由夾逼定理知 ． 3．求． 解 原式 ． 4．求函數(shù)的最大值和最小值． 解 因是偶函數(shù)，故因需求在內(nèi)的最大值和最小值，令，在區(qū)間內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以是為極大值點(diǎn)，即最大值； 又及，故的最小值是0． 5．已知函數(shù)，求，并討論的單調(diào)性，奇偶 性及函數(shù)圖形的凹凸性，并求的圖形的拐點(diǎn)和水平漸行線． 解 ，由于（），故單調(diào)增加，且 ，故為奇函數(shù)；， 令 ，得；故的拐點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ，故時(shí)函數(shù)為凹函數(shù)，時(shí)，函數(shù)為

24、凸函數(shù)，從而 ，；故水平漸近線為，． 6．設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，且，，求． 解 令，則， ． 7.設(shè)平面上有正方形＝及 直線若表示正方型位于直線左下方部分的面積，試求． 解 由題意知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，，所以 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 8．已知連續(xù)，，求的值． 解 令，有，于是 ，兩邊對(duì)求導(dǎo)得： 在上式中令，得． 9．已知，求的值． 解 由于，即， 故，且，得． 10．已知，求常數(shù)的值． 解 右邊 左邊，于是有： ，得或． 11．設(shè)，在上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿(mǎn)足條件 （為常數(shù)） （1）證明；

25、 （2）利用（1）計(jì)算 ． 證明（1） ； （2）由于，，故 . 12．在第一象限內(nèi)求曲線上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線與所給曲線及兩坐標(biāo) 軸所圍成的圖形面積為最小，并求此最小面積． 解 設(shè)所求之點(diǎn)為，于是，過(guò)的切線方程為 令得切線的軸截距，令得切線的軸截距， 于是所求面積為， 令得； 又，即所求點(diǎn)為，此時(shí)． 13．考慮函數(shù)，問(wèn)： （1）取何值時(shí)，圖4—14中陰影部分面積最??？ （2）取何值時(shí)，圖4—14中陰影部分面積最大？ 解 ， （1），

26、 令得（唯一），又 故當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值； 圖4—14 （2）由于，，故當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值． 14．設(shè)曲線與軸和軸所圍成區(qū)域被曲線， 三等分，試確定，的值． 解 依題意有 即，解得，． 15．設(shè)直線與拋物線所圍成圖形的面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為，并且． （1）試確定的值，使達(dá)到最小，并求出最小值； （2）求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解 ，， （1），，； 令，故有；即當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小，此時(shí)． （2）該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 ．

27、 16．已知一拋物線通過(guò)軸上的兩點(diǎn)，． （1）求證：兩坐標(biāo)軸與此拋物線所圍成的圖形的面積等于軸與此拋物線所圍圖形的面積； 圖4—15 （2）計(jì)算上述兩個(gè)平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的兩 個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之比． 解 （1）設(shè)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線方程為（時(shí)如圖4—15）， 則拋物線與兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積為： 拋物線與軸所圍圖形的面積為： 即得． （2）拋物線與兩坐標(biāo)軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的

28、旋轉(zhuǎn)體的體積為： 拋物線與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為： 即得． 17．設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為，試確定，，，使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最?。? 解 因?yàn)榍€過(guò)原點(diǎn)，所以；由題設(shè)有 ，即 以及 令，得，代入的表達(dá)式得； 又因及實(shí)際情況，知當(dāng)，，時(shí)，體積最?。? 18．設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)大于零，并且滿(mǎn)足 （為常數(shù)），又曲線與，所圍的圖形的面積值為，求函數(shù)，并問(wèn)為何值時(shí)，圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最?。? 解 由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，；據(jù)此并由在點(diǎn)處

29、 的連續(xù)性得， 又，即 因此；所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為： 令，得 又，故當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積最?。? 19．求由曲線，與直線所 圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，設(shè)軸為（1）軸；（2）軸；（3）直線． 解（1） ； （2） ； （3） ． 20．求曲線與軸圍成的封閉圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 解 作出圖4—16，的方程為， 的方程為，設(shè)旋轉(zhuǎn)體在區(qū)間 上的體積為，在區(qū)間上的體積為，則 它們的體積元素分別為： 圖4—16 由對(duì)稱(chēng)

30、性得 ． 21．已知點(diǎn)與的直角坐標(biāo)分別為與，線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)曲面為，求由及兩平面，所圍成的立體體積． 解 直線的方程為，即；在軸上截距為的水平面截此 旋轉(zhuǎn)體所得的截面是一個(gè)圓，此截面與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，故圓截面半徑：，從而截面面積；于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為． 22．設(shè)有曲線，過(guò)原點(diǎn)作其切線，求由此曲線，切線及軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積． 解 設(shè)切點(diǎn)為，則過(guò)原點(diǎn)的切線方程為，再以點(diǎn) 代入，解得，即切線方程為； 由曲線（）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積為 由直線段（）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積為

31、 因此，所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積為． 23．平面光滑曲線由極坐標(biāo)方程（，）給出，試求它繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式． 解 曲線的參數(shù)方程為，，，且由及可知，故由 可得所求面積為 . 24．計(jì)算曲線被拋物線截得的一段弧的長(zhǎng)度． 解 聯(lián)立兩曲線的方程，消去，得，所以， 解得； 又曲線與軸的交點(diǎn)為，由對(duì)稱(chēng)性，有 ． 25．直徑為，高為的圓筒內(nèi)充滿(mǎn)壓強(qiáng)為的蒸汽，設(shè)溫度保持 不變，要使蒸汽體積縮小一半，問(wèn)需要作多少功． 解 由玻意爾－馬略特定理知：，當(dāng)?shù)酌娣e不變而高減少時(shí)，設(shè)壓

32、強(qiáng)為，則有 ，所以， 又，于是所作的功為： ． 26．邊長(zhǎng)為和的矩形薄板，與液體成角斜沉于液體內(nèi)，長(zhǎng)邊平行于液面而位于深處，設(shè)，液體的密度為，試求薄板每面所受的壓力． 解 如圖4—17，記為薄板上點(diǎn)到近水面的長(zhǎng)邊的距離， 取為積分變量，則的變化范圍為，對(duì)應(yīng)小區(qū)間 ，壓強(qiáng)為，面積為，因此所求壓力為 圖4—17 27．設(shè)有一長(zhǎng)度為，線密度為的均勻細(xì)直棒，在與棒的一端垂直距離為單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，試求這細(xì)棒

33、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力． 解 如圖4—18所示，區(qū)間對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為，它在軸，軸上的分量分別為 圖4—18 故有 ． 四、測(cè)試題 1．單項(xiàng)選擇題： （1）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，則 方程在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的根有（ ）． A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無(wú)窮多個(gè) （2）設(shè)，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小， 則當(dāng)時(shí)，是的（ ）． A .低階無(wú)窮小 B.高階無(wú)窮

34、小 C.同階但不等價(jià)的無(wú)窮小 D.等價(jià)無(wú)窮小 （3）設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，是的（ ）． A.高階無(wú)窮小 B.低階無(wú)窮小 C.同階但不等價(jià)的無(wú)窮小 D.等價(jià)無(wú)窮小 （4）設(shè)，則（ ）． A.為正常數(shù) B.為負(fù)常數(shù) C.恒為零 D.不為常數(shù) （5）下列廣義積分發(fā)散的是（ ）． A. B. C. D. （6）廣義積分收斂的是（ ）

35、． A. B. C. D. （7）曲線與軸所圍成圖形的面積可表示為（ ）． A. B. C. D. （8）曲線與軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積 為（ ）． A. B. C. D. （9）設(shè)，在區(qū)間上連續(xù)，且（為常數(shù)），則曲線，，及所圍平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（ ）． A. B. C.　 D. 2．填空題： （1）＝_____ . （2）=_

36、____ . （3）=_____ . （4）=_____ . （5）由曲線與直線所圍成的平面圖形的面積_____ . （6）由曲線與直線,所圍成的平面圖形的面積_____ . （7）曲線的弧長(zhǎng)_____ . 3．判斷題: （1）．（ ）． （2）等式對(duì)任何實(shí)數(shù)都成立．（ ）． 4．計(jì)算題: （1）設(shè)為連續(xù)可微函數(shù)，試求． （2） 設(shè)求． （3）求． （4）已知，求． （5）求連續(xù)函數(shù)，使它滿(mǎn)足．

37、 （6）過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，，該切線與上述拋物線及軸圍成一平面圖形，求此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． （7）設(shè)曲線方程為 ① 把曲線，軸，軸和直線所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積，并求滿(mǎn)足的； ② 求此曲線上一點(diǎn)，使過(guò)此點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最大，并求出此面積． （8）求曲線，，，所圍平面圖形面積，并求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． （9）設(shè)平面圖形由與所確定，求圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積． 5．證明題: （1）設(shè)函數(shù)在

38、內(nèi)連續(xù)，且，試證： ① 若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)； ② 若單調(diào)不增，則單調(diào)不減． （2）設(shè)是區(qū)間上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)的函數(shù)， ，證明數(shù)列的極限存在． （3）設(shè)在上可導(dǎo)，,，試證： ． （4）設(shè)，在上連續(xù)，且，，試證： 至少存在一點(diǎn)，使得． （5）設(shè)，證明：． （6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且在內(nèi)有，證明：在內(nèi) 存在唯一的，使曲線與兩直線，所圍平面圖形面積是曲線與兩直線，所圍平面圖形面積的三倍． （7）證明：把質(zhì)

39、量為的物體從地球表面升高到處所作的功是． 第四章測(cè)試題參考答案 1.選擇題： （1）B；（2）B；（3）C；（4）A；（5）A； （6）C；（7）C；（8）B；（9）B． 2.填空題： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 3．判定題： （1）√；（2）． 4．計(jì)算題： （1）解 ． （2）解 ． （3）解 ． （4）解 令，則 ． （5）解 令，則原式可變?yōu)椋? ，即 兩邊對(duì)求導(dǎo)得：， 即，積分得： ． （6）解

40、 設(shè)所作切線與拋物線相切于點(diǎn)，因?yàn)椋? 故此切線方程為： 又由于該切線過(guò)點(diǎn)，所以 ，即 從而，切線方程為．因此，所求旋轉(zhuǎn)體的體積為：． （7）解 ① ， ， ② 要使，即，得； 設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為， 令得；令得， 于是切線與坐標(biāo)軸所夾面積為，有 令得，（其中舍去） 由于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，面積有極大值，即最大值，所求切點(diǎn)為，最大面積． （8）解 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 故所求旋轉(zhuǎn)體的體積為． （9）解 ． 5．證明題 （1）證明

41、① 由于 ，故是偶函數(shù)； ② ，所以單調(diào)不減． （2）證明 由題設(shè)可得：，因此有 即數(shù)列有下界，又，所以單調(diào)遞減，故 由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知數(shù)列的極限存在． （3）證明 因?yàn)椋?，所以? 設(shè)，則， 又由于，于是得，即單 調(diào)增加，且，因此，故命題得證． （4）證明 記 則在上可微，又，故由羅爾中值定理知：， 使得，即． （5）證明 　　　　　 　　　　　 所以． （6）證明 設(shè)，則 ， 故在上單調(diào)增加，在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn)． 又；（因?yàn)椋? ， 由零點(diǎn)定理可知，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．綜合可知，在內(nèi)存在唯一點(diǎn)，使得．即所求命題成立． （7）證明 取地球的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，把質(zhì)量為的物體升高時(shí)的功的微元是， 故升到處需作的功為 ．