2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 二 一般形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、二　一般形式的柯西不等式 　1.理解三維形式的柯西不等式，在此基礎(chǔ)上，過(guò)渡到柯西不等式的一般形式． 2．會(huì)用三維形式及一般形式的柯西不等式證明有關(guān)不等式和求函數(shù)的最值等問題． ,　　　　　　　　[學(xué)生用書P43]) 1．三維形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，3)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)時(shí)，等號(hào)成立． 2．一般形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)， 則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋

2、…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立． 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)二維形式的柯西不等式是一般形式的柯西不等式的特殊情況．(　　) (2)三維形式的柯西不等式可以由空間向量的幾何意義推導(dǎo)出來(lái)．(　　) (3)柯西不等式中的字母a，b，c，…具有輪換對(duì)稱性，按照一定順序輪換，式子不變．(　　) (4)在應(yīng)用柯西不等式時(shí)，不需要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知x，y，z＞0，且x＋y＋z＝1

3、，則x2＋y2＋z2的最小值是(　　) A．1　 B． C． D．3 答案：B 3．設(shè)a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值是(　　) A．1 B． C．3 D．9 答案：B 4．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________． 解析：由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，當(dāng)a＝2b＝3c＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值為12. 答案：12 　利用柯西不等式證明不等式[學(xué)生用書P44] 　(1)設(shè)a，b，c

4、為正數(shù)，求證＋＋≥a＋b＋c. (2)設(shè)a1，a2，…，an為實(shí)數(shù)，b1，b2，…，bn為正實(shí)數(shù)，求證： ＋＋…＋≥. 【證明】　(1)(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2] ≥＝(a＋b＋c)2， 即(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2. 因?yàn)閍，b，c∈R＋，所以a＋b＋c＞0， 所以＋＋≥a＋b＋c. (2)(b1＋b2＋…＋bn) ≥ ＝(a1＋a2＋…＋an)2. 因?yàn)閎1，b2，…，bn為正實(shí)數(shù)， 所以b1＋b2＋…＋bn>0. 所以＋＋…＋≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝時(shí)，等號(hào)成立． 利用柯西不等式證明不等式時(shí)常用的技巧 (1)構(gòu)造符合柯西不等式的

5、形式及條件，可以巧拆常數(shù)．　 (2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以重新安排各項(xiàng)的次序． (3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以改變式子的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到使用柯西不等式的目的． (4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項(xiàng). 　1.已知正數(shù)a，b，c，求證： ≥abc. 證明：構(gòu)造兩組數(shù)ab，bc，ca；ca，ab，bc， 則由柯西不等式得 · ≥ab·ca＋bc·ab＋ca·bc， 即b2c2＋c2a2＋a2b2≥abc(a＋b＋c)． 于是≥abc. 2．已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1. 求證：|a＋b＋c|≤. 證明：由柯西不等式，得 (

6、a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)＝3. 所以－≤a＋b＋c≤， 所以|a＋b＋c|≤. 　用三維形式柯西不等式求最值[學(xué)生用書P44] 　設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值． 【解】　因?yàn)?a＋2b＋3c) ≥ ＝(＋＋)2， 所以(＋＋)2≤13×＝. 所以＋＋≤， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)成立． 又a＋2b＋3c＝13， 所以當(dāng)a＝9，b＝，c＝時(shí)，(＋＋)max＝. 利用柯西不等式求最值的方法技巧 利用柯西不等式可求某些含有約束條件的多變量函數(shù)的最值問題，其關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)通過(guò)巧變結(jié)構(gòu)、巧拆常數(shù)、巧換位置、巧添

7、項(xiàng)等技巧以保證柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征且出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件．　 　設(shè)2x＋3y＋5z＝29，求函數(shù)μ＝＋＋的最大值． 解：根據(jù)柯西不等式，有 (·1＋·1＋·1)2 ≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x＋3y＋5z＋11) ＝3×40 ＝120. 故＋＋≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即x＝，y＝，z＝時(shí)等號(hào)成立． 此時(shí)μmax＝2. 1．對(duì)柯西不等式一般形式的說(shuō)明 一般形式的柯西不等式是二維形式 、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來(lái)總結(jié)，左邊

8、是平方和的積，右邊是積的和的平方．運(yùn)用時(shí)的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式． 2．一般形式柯西不等式成立的條件 由柯西不等式的證明過(guò)程可知Δ＝0?f(x)min＝0?a1x－b1＝a2x－b2＝…＝anx－bn＝0?b1＝b2＝…＝bn＝0，或＝＝…＝. 【規(guī)范解答】　構(gòu)造三維柯西不等式求最值 　(本題滿分7分)已知a>0，b>0，c>0，函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值為4. (1)求a＋b＋c的值； (2)求a2＋b2＋c2的最小值． 【解】　(1)因?yàn)閒(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c， 當(dāng)且僅當(dāng)－a≤

9、x≤b時(shí)，等號(hào)成立． 又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b， 所以f(x)的最小值為a＋b＋c. 又已知f(x)的最小值為4，所以a＋b＋c＝4.(3分) (2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得 (a2＋b2＋c2)(4＋9＋1)≥(×2＋×3＋c×1)2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥. (5分) 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即a＝，b＝，c＝時(shí)等號(hào)成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.(7分) (1)結(jié)合本題特征，用絕對(duì)值三角不等式求函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值簡(jiǎn)單快捷非常方便，此外本題也可作出函數(shù)f(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想方法求解

10、． (2)本題第(2)問的求解顯然需要構(gòu)造三維形式柯西不等式的條件及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因?yàn)楝F(xiàn)有的兩組數(shù)為和(a，b，c)，因此需構(gòu)造一組常數(shù)(4，9，1)才能符合三維柯西不等式的條件． 1．若x，y，z∈R，x2＋y2＋z2＝1，求m＝x＋y＋z的最大值． 解：由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)[()2＋()2＋()2]≥(x＋y＋z)2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)成立，所以－3≤x＋y＋z≤3， 因此m的最大值為3. 2．已知α1，α2，…，αn是平面凸n邊形的內(nèi)角的弧度數(shù)，求證：＋＋…＋≥. 證明：由柯西不等式，得(α1＋α2＋…＋αn)(＋＋…＋)≥(·＋·＋…＋·)2＝n2. 因?yàn)棣?＋α2＋…＋αn＝(n－2)π， 所以＋＋…＋≥， 當(dāng)且僅當(dāng)α1＝α2＝…＝αn＝π時(shí)，等號(hào)成立． 6