2022年高一數(shù)學(xué)上 第2章《不等式》學(xué)案 滬教版

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1、2022年高一數(shù)學(xué)上 第2章《不等式》學(xué)案 滬教版 【知識網(wǎng)絡(luò)】 同加性 傳遞性 同乘性 對稱性 不等式的性質(zhì) 實數(shù)比較大小 不等式的證明 綜合法 分析法 比較法 常規(guī)方法 特殊方法 換元法 放縮法 判別式法法 反證法 數(shù)學(xué)歸納法法 解不等式 基本類型不等式的解法 n元均值不等式 絕對值不等式的性質(zhì) 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 1．1 不等式的性質(zhì) 【考點透視】 一、

2、考綱指要 1．理解不等式的性質(zhì)及其證明. 二、命題落點 1．不等式的性質(zhì)主要以客觀題形式出現(xiàn)往往融于其他問題之中，.如例1，例2 2．利用不等式的性質(zhì)結(jié)合已知條件比較大小、判斷不等式有關(guān)結(jié)論是否成立或利用不等式研究變量的范圍，求字母的取值或取值范圍等..如練習(xí)9. 【典例精析】 例1 : 若則下列不等式不能成立的是（ ） A． B． C． D． 解析: 由 知 ab >0, 因此成立; 由 得 由于是減函數(shù), 所以亦成立,故一定不成立的是B． 答案：B． 例2：（xx?北京）設(shè)a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，則下

3、列結(jié)論中正確的是（ ） A．a(chǎn)+c>b+d B．a(chǎn)－c>b－d C．a(chǎn)c>bd D． 解析：∵a>b，c>d，∴a+c>b+D． 答案：A． 例3：（xx?福建）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 解析:不等式的解是x>或x<. 答案：A． 【常見誤區(qū)】 1．不等式的“運算”只有加法法則和乘法法則，沒有減法法則和除法法則，再利用數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化時往往出錯； 2．在運用不等式的性質(zhì)是對不等式進行了非同解變形. 【基礎(chǔ)演練】 1．（xx?北京）已知a、b、c滿足，且，那么下列選項中不一定

4、成立的是 （ ） A． B． C． D． 2．（xx?湖北) 若，則下列不等式①；②③；④中，正確的不等式有 （ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．（xx?遼寧）對于，給出下列四個不等式 （ ） ① ② ③ ④ 其中成立的是 （ ） A．①與③ B．①與④ C．②與③ D．②與④ 4. 對“、、是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①； ②＞與＜及≠中至少有一個成立； ③≠，≠，≠不能同時成立．其中判斷正確的個數(shù)為 （ ） A．0

5、個 B．1個 C．2個 D．3個 5．二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 則不等式的解集是_________________． 6．若不等式有且只有一個解，則實數(shù) ． 7．比較大?。号c（且）. 8．已知, 求證． 9．定義在上的函數(shù)滿足: 如果對任意x1, x2∈R, 都有 ≤ 則稱函數(shù) 是上的凹函數(shù)． 已知二次函數(shù) 求證: 當(dāng)時, 函數(shù)是凹函數(shù)． 1．2 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握兩個(不擴展到三個)正

6、數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用. 二、命題落點 1．以二元均值不等式的考查最為常見，命題形式往往在選擇題或填空題中，如例1，例2，例3. 2．在解答題中常與最值問題結(jié)合在一起以及函數(shù)的值域等知識一起考查，試題解法突出常規(guī)方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式來問如練習(xí)題9. 【典例精析】 例1:（xx?全國1）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為（ ） A．2 B． C．4 D． 解析： ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“”，∵，∴存在使，這時， 答案：C． 例2：(xx?福建) 下列結(jié)論正確的是（ ） A．當(dāng) B． C．的最小值為2 D．當(dāng)無最大

7、值 解析：A中l(wèi)gx不滿足大于零,C中的最小值為2的x值取不到,D 當(dāng)x=2時有最大值,選B． 答案：B 例3：（xx?重慶）若 是正數(shù)，則的最小值是（ ） A．3 B． C．4 D． 解析： 當(dāng)且僅當(dāng) 得時. 答案：C 【常見誤區(qū)】 1．在運用均值不等式時，對等號成立的條件不注意往往出錯； 2．不注意各種不等式成立的條件，誤用公式，特別是非負性的考慮. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx?陜西) 已知不等式(x+y)( + )≥9對任意正實數(shù)x,y恒

8、成立,則正實數(shù)a的最小值為 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（xx?全國）的最小值為 （ ） A．－ B．－ C．－－ D．+ 3．已知函數(shù)的反函數(shù)為則的最小值為 （ ） A．1 B． C． D． 4．函數(shù)的最大值是 （ ） A． B． C． D． 5．（xx全國3）已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的點，則點P到AC、BC的距離乘積的最大值是 . 6．已知正數(shù)則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是　　． 7．是否存在常數(shù)，使得不等式對任意正實數(shù)

9、 、恒成立？證明你的結(jié)論． 8．已知，且，求： （1）的最小值； （2）若直線與軸，軸分別交于，求面積的最小值. 9．在交通擁擠地段，為了確保交通安全，規(guī)定機動車相互之間的距離d(米)與車速v(千米/ 小時)需遵循的關(guān)系是d≥(其中a(米)是車身長，a為常量)，同時規(guī)定d≥． （1）當(dāng)d=時，求機動車車速的變化范圍； （2）設(shè)機動車每小時流量Q=，應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，使機動車每小時流量Q最大？ 1．3 不等式的證明 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式； 2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│

10、b│ 二、命題落點 1．不等式的證明的考查主要是與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量等知識相結(jié)合考察不等式的證明方法特別是數(shù)學(xué)歸納法、綜合法、比較法等方法的掌握，如例1. 2．考查不等式的基礎(chǔ)知識、分類討論的思想、綜合思維能力，如例2，例3. 【典例精析】 例1：(xx?江蘇)已知函數(shù)滿足下列條件：對任意的實數(shù)x1，x2都有 和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實數(shù)a0，a，b滿足 和． （1）證明：，并且不存在，使得； （2）證明：； （3）證明：. 解析：（1）任取 和 ② 可知 ， 從而 . 假設(shè)有①式知 ∴不存在 （2）由

11、 ③ 可知 ④ 由①式，得 ⑤ 由和②式知， ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 ． （3）由③式可知 （用②式） （用①式） 例2：(xx?北京) 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件： ① ②對任意的 （1）證明：對任意的 （2）證明：對任意的 （3）在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)，且使得 若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由. 解析：（1）由題設(shè)條件可知，當(dāng)

12、時，有 即 （2）對任意的 當(dāng)不妨設(shè)則 所以， 綜上可知，對任意的都有 由（1）可得，當(dāng)時， 當(dāng) 所以，當(dāng)因此，對任意的 當(dāng)時，當(dāng) 時，有 且 所以 綜上可知，對任意的都有 （3）滿足所述條件的函數(shù)不存在. 理由如下，假設(shè)存在函數(shù)滿足條件，則由 得 又所以① 又因為為奇數(shù)，所以由條件 得 ② ①與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在. 例3：正項數(shù)列滿足． （1）求及; （2）　試確定一個正整數(shù)N, 使當(dāng)時, 不等式 >成立; （3）求證: (1+)<． 解析：（1）(－1)(+1)=0, 又∵ ，

13、故=, ， ==, =, =, …, = ． （2） 由==－(), =1+(－)+(－)+ … +(－)=2－ 從而有2－>, ∴<, 即n！>121． ∵5！=120, 6！=720, ∴n>5取N=5, n>N時, 原不等式成立. （3） (1+)展開式通項: T=C·()=··· … ··<(r=0, 1, 2, 3, …, n) (1+)<++++ … += . 【常見誤區(qū)】 1．不注意挖掘隱含條件從而導(dǎo)致錯誤； 2．例用均值不等式時不注意非負性導(dǎo)致錯誤；

14、 3．特別是在運用放縮法時可能會出現(xiàn)過大或過小的情形. 【基礎(chǔ)演練】 1．若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），則 （ ） A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 2．若x>0，y>0，且恒成立，則a的最小值是 （ ） A．2 B． C．2 D．1 3．已知則一定有 （ ） A． B． C． D． 4．已知,則 （ ） A． B． C． D． 5．給出下列3個命題：①若，則；②若，則；③若 且，則，其中真命題的序號為______________． 6．

15、已知兩個正數(shù)滿足，則使不等式≥恒成立的實數(shù)m的取值范圍 是 ． 7．（1）求證； （2） 求證 8．已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng) （1）求a的值； （2）設(shè) 9．?dāng)?shù)列由下列條件確定： （1）證明：對于, （2）證明：對于． 1.4不等式的解法. 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握簡單不等式的解法. 二、命題落點 1．主要考查一元二次不等式、對數(shù)不等式、指數(shù)不等式的解法主要考查非整式不等式的轉(zhuǎn)化方法；如例1，例2； 2．考查含參分式不等式的解法以及分類討論的思想方法.如例3. 【典例精析】

16、例1：（xx?重慶）不等式組的解集為（ ） A． B． C． D． 解析：∵的解集為，的解集為 ∴不等式的解集為 答案：C 例2：（xx?遼寧）若，則a的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 解析：法一：代特殊值驗證 法二：①當(dāng)，即時，無解； ②當(dāng)，即時，． 答案:C． 例3：（xx?江西）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)，解關(guān)于x的不等式；． 解析：（1）將，得 （2）不等式即為， 即 ①當(dāng) ②當(dāng) ③． 【常見誤區(qū)】 1．解分式

17、不等式時忘掉分式成立的條件或?qū)瘮?shù)的單調(diào)形運用錯誤； 2．解含參數(shù)不等式時對字母討論不全面. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx?天津) 不等式的解集為 （ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集為則實數(shù)a的取值集合為 （ ） A． B． {1 } C． {a| a>1} D． 3．（xx?遼寧）在Ｒ上定義運算：．若不等式對 任意實數(shù)x成立，則 （ ） A． B． C． D． 4．設(shè)函數(shù) ，則使得的自變量的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 5．已知則不等式≤5的解集是

18、 . 6．( xx?全國)設(shè)函數(shù)則實數(shù)a的取值范圍是 ． 7．實系數(shù)方程的一根大于0且小于1, 另一個根大于1且小于2, 求的 取值范圍. 8．解關(guān)于x的不等式＜0（a∈R）． 9．記函數(shù)f(x)=的定義域為A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域為B． （1）求A； （2）若BA, 求實數(shù)a的取值范圍. 1．5 含有絕對值的不等式 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握絕對值不等式的概念及其性質(zhì). 2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│. 二、命題落點 1．含絕對值不等式的解法主要出現(xiàn)

19、在選擇題、填空題中；如例1，例2； 2．證明主要出現(xiàn)在解答題中對能力要求較高.如例3. 【典例精析】 例1： (xx?遼寧) 設(shè)全集U=R 解關(guān)于x的不等式． 解析： 由 當(dāng)時，解集是R； 當(dāng)時，解集是 例2:（xx?山東），下列不等式一定成立的是（　?。? A． B． C． D． 解析：∵ 01，0<1－a<1, , ∴． 答案: A． 例3：（xx?浙江）已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)＝x2＝2x． （1）求函數(shù)g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|． 解析：

20、（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點Q(xq,yq關(guān)于原點的對稱點(x,y), 則即∵點 在函數(shù)的圖象上, ∴ 故． （2）由g(x)≥f(x)－|x－1|，可得2x2-|x-1|≤0． 當(dāng)x≥1時,2x2-x+1≤0,此時不等式無解； 當(dāng)x<1時,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤． 因此，原不等式的解集為[-1,]． 【常見誤區(qū)】 1．運用不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│時出現(xiàn)錯誤； 2．對絕對值的意義理解有誤，分類不全面導(dǎo)致錯誤. 【基礎(chǔ)演練】 1．不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是

21、 （ ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集為（－1，2），則實數(shù)a等于 （ ） A．8 B．2 C．－4 D．－8 4．若，∈R，則不等式≥的解集為R的充要條件是 （ ?。? A． B． C．且≤ D．且≥ 5．不等式|x+2|≥|x|的解集是 . 6．不等式的解集 . 7．解不等式. 8．設(shè)且求證： 9．某段城鐵線路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達B站并停車1分鐘，8時12分到達C站.在實際運行中，假設(shè)列

22、車從A站正點發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度勻速行駛，列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差. （1）分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差; （2）若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求的取值范圍. 1．6 不等式的應(yīng)用 【考點透視】 一、考綱指要 1．考查運用不等式在幾何、函數(shù)，以及實際生活中的運用 二、命題落點 1．常結(jié)合函數(shù)、數(shù)列考查不等式的運用，特別是均值不等式的運用如例1，例2，例3. 【典例精析】 例1：（xx?廣西卷）某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左．右

23、兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？ 解析：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為a m，后側(cè)邊長為b m，則 ab=800. 圖5-6-1 蔬菜的種植面積 所以 當(dāng) 答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2. 例2：（xx?上海）某單位用木料制作如圖5-6-1所示的框架, 框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8m2. 問x、y分別為多少(精確到0.001m) 時用料最省? 解析

24、：由題意得xy+x2=8, ∴y==(0

25、品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）． （1）將xx年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)； （2）該廠家xx年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？ 解析：（1）由題意可知當(dāng) 每件產(chǎn)品的銷售價格為， ∴xx年的利潤 ． （2）， （萬元） ． 【常見誤區(qū)】 1．不能正確建立函數(shù)模型從而導(dǎo)致錯誤； 2．對實際情況考慮不夠會產(chǎn)生多解或漏解 【基礎(chǔ)演練】 1．王先生購買了一部手機，欲使用中國移動“神州行”卡或加入聯(lián)通的130網(wǎng)，經(jīng)調(diào)查其收費 標(biāo)準(zhǔn)見下表：（注：本地話費以分為計費單位，長途話費以秒

26、為計費單位.） 網(wǎng) 絡(luò) 月租費 本地話費 長途話費 甲：聯(lián)通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒 乙：移動“神州行” 0.60元/分 0.07元/秒 若王先生每月?lián)艽虮镜仉姷臅r間是撥打長途電話時間的5倍,若要用聯(lián)通130應(yīng)最少打多 長時間的電話才合算 （　　） A．300秒 B．400秒 C．500秒 D．600秒 2．一批物品要用11輛汽車從甲地運到360外的乙地.若車速為/時，且車的距離不能少于，則運完這批物品至少需要 （ ） A．11小時 B．10小時 C．13小時 D．12小時 3．現(xiàn)有一塊長軸為10分米，

27、短軸長為8分米的橢圓形玻璃鏡子，欲從此鏡子中劃出一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為 （ ） A．10平方分米 B． 20平方分米 C． 40平方分米 D． 平方分米 4．一種容積規(guī)定為500 的圓柱形罐頭盒，要使制造罐頭盒所用的金屬薄板材料最少，這種圓柱的高和半徑的比應(yīng)為 （ ） A．1∶1 B． 2∶1 C．3∶1 D．3∶2 5．用一張邊長為30的正方形紙在它的四個角上剪去一個同樣大小的正方形不用，做一個無蓋的長方體紙盒，（剪貼處的厚度和損耗不計）則這個紙盒體積的最大值是 . 6．用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積

28、為2的倒置的正四棱錐形有蓋容器，設(shè)容器高為，蓋子邊長為.記容器的容積為，當(dāng)= m時， 有最大 ． 7．某機床廠今年年初用98萬元購進一臺數(shù)控機床，并立即投入生產(chǎn)使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機床的盈利額為y萬元. （1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）； （3）使用若干年后，對機床的處理方案有兩種： （i）當(dāng)年平均盈利額達到最大值時，以30萬

29、元價格處理該機床； （ii）當(dāng)盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由. 8．隨著機構(gòu)改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員 （140<<420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費，并且該公司正常運轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟效益，該公司應(yīng)裁員多少人？ a d l 9．一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度 a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平 方成反比.

30、（1）枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全負? 變大嗎？為什么？ （2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材， 用它來截取成長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全 負荷最大？ 　 本章測試題 一、選擇題：（本題每小題5分，共60分．） 1．已知實數(shù)、、滿足，，則、、的大小關(guān)系是 （ ） A．≥＞ B．＞≥ C．＞＞ D．＞＞ 2．若0

31、 A． B． C． D． 4．設(shè)實數(shù)滿足, 則的最小值為 （ ） A． B．4 C．2 D．8 5．若不等式的解集為，則 （ ） A．-10 B． -14 C． 10 D． 14 6．關(guān)于x的方程9x+(a+4)·3x+4=0有解，則實數(shù)a的取值范圍是 （ ） A．（-∞，-8）∪[0，+∞] B．（-∞，-4） C．[-8，4] D．（-∞，-8） 7．若，則函數(shù) （ ） A．有最大值—6 B．有最小值6 C．有最大值—2 D

32、．有最小值2 8．不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 9．已知，（a>2），則 （ ） A．p>q B．p

33、） A． B． C． D． 二、填空題：（本題每小題４分，共１６分．） 13．若不等式的解集為或，則 . 14．已知集合，，若，則實數(shù)的值為 . 15．已知正數(shù)滿足，則最大值是 . 16．已知a、b、c為某一直角三角形的三條邊長，C為斜邊，若點在直線 上，則的最小值是 . 三、解答題：（本題共７４分） 17．（本小題滿分12分）已知a、b為不等式的正數(shù)，且，試將四個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論． 18．（本小題滿分12分）已知 ． （1

34、）若，求的最小值； 　?。?）若不等式對于一切 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍． 19．（本小題滿分12分）已知a≠0，求證：≥ 20．（本小題滿分12分）（理）已知函數(shù) （1）判定f(x)的單調(diào)性，并證明； （2）設(shè)g(x)=1+loga(x -1)，若方程f(x)=g(x)有實根，求a的取值范圍； （3）求函數(shù)h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在[4，6]上的最大值和最小值． 21．（本小題滿分12分）某工廠去年的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），并計劃以后每年比上一年多投

35、入100萬元（科技成本），預(yù)計產(chǎn)量年遞增10萬只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為（,為常數(shù),且≥0），若產(chǎn)品銷售價保持不變，第次投入后的年利潤為萬元． （1）求的值,并求出的表達式； （2）問從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元? 22．（本小題滿分14分）△的三個內(nèi)角、、的對邊的長分別為、、，有下列兩個條件：（1）、、成等差數(shù)列;（2）、、成等比數(shù)列. 現(xiàn)給出三個結(jié)論： （1）; （2）; （3）. 請你選取給定的兩個條件中的一個條件為條件，三個結(jié)論中的兩個為結(jié)論，組建一個你認為正確的命題，并證明之. 參考答案 1．1 不等式的性質(zhì) 1.C 2. B

36、 3. D．4. C　5. 6. ． 7.因為且.若，則，所以；若，則，也有．因此. 8．由得由知至少有∴．又∵, ∴　∴ ． 9.因為 ， 所以，作差得到 , 即有, 故知函數(shù)為凹函數(shù)． 1．2 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 1. B 2. B 3. B 4.A　5. 3 6. 7. 當(dāng)時，由已知不等式得．下面分兩部分給出證明： ⑴先證，此不等式 ，此式顯然成立； ⑵再證，此不等式 ，此式顯然成立． 綜上可知，存在常數(shù)，是對任意的整數(shù)題中的不等式成立． 8. （1）；（2）． 9. (1) 由≥av

37、2, 得 0<≤25． (2) 當(dāng)≤25時, Q=, Q是v的一次函數(shù)，=25，Q最大為，當(dāng)>25時, Q=≤, ∴當(dāng)=50時Q最大為. 1．3 不等式的證明 1. B 2. C 3. D 4. B　　5. ② 6. 7. （1）令， 由 知， ．于是，原不等式等價于．一方面，令 ， 則有，當(dāng) ，有 從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有，即得　　 ． 另一面，令 ，則有 ，當(dāng)時，有，從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有 ，即得． 綜上可知 　　?。? （2）聯(lián)系不等式（１）和（２），就會發(fā)現(xiàn)，令 時，不等式 也成立，于是代入，將所得各不等式相

38、加，得　　 即 　 8．（1）由于的最大值不大于所以 ① 又所以. ② 由①②得 （2）（i）當(dāng)n=1時，，不等式成立； 因時不等式也成立. （ii）假設(shè)時，不等式成立， 因為的對稱軸為知為增函數(shù)， 所以由得 于是有 所以當(dāng)時，不等式也成立. 根據(jù)（i）（ii）可知，對任何，不等式成立. 9． (1) 2）當(dāng)時， = 1．4 不等式的解法 1. A 2. A 3. C 4. A　　5. 6. . 7. 設(shè)方程的兩個根為由根與系數(shù)關(guān)系的得 依題意得 8. 原式（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝

39、a2． 當(dāng)a=a2時，a=0或a=1，x∈，當(dāng)a＜a2時，a＞1或a＜0，a＜x＜a2， 當(dāng)a＞a2時0＜a＜1，a2＜x＜a， ∴當(dāng)a＜0時a＜x＜a2，當(dāng)0＜a＜1時，a2＜x＜a，當(dāng)a＞1時，a＜x＜a2，當(dāng)a=0或a=1時，x∈． 9. (1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞) (2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵BA, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a <1,∴≤a <1或a≤－2, 故當(dāng)BA時, 實數(shù)

40、 a的取值范圍是 (－∞,－2)∪[,1]． 1．5 含有絕對值的不等式 1. D2. D3. C4. D　5. {x|x≥－1} 6. 7. 原不等式 因為 又 . 所以，原不等式組的解集為 8. 9. （1）列車在B，C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是和. （2）由于列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以 . （*） 當(dāng)時，（*）式變形為, 解得 ; 當(dāng)時，（*）式變形為, 解得 ; 當(dāng)時，（*）式變形為, 解得.綜上所述，的取值范圍是[39，]． 1．6 不等式的應(yīng)用 1. B 2. D 3. C 4. B．

41、　5. xx 6. ； 7. （1）=. （2）解不等式 ＞0,得 ＜＜. ∵　， 　∴　3 ≤≤ 17.故從第3年工廠開始盈利. （3）(i) ∵　≤40 當(dāng)且僅當(dāng)時，即x=7時，等號成立. ∴　到xx年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12×7+30=114萬元. (ii)　　 ，=10時， 故到2011年，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元. 8. 設(shè)裁員人，可獲得的經(jīng)濟效益為萬元,則 = 依題意 ≥，∴0<≤.又140<<420, 70<<210. (1)當(dāng)0<≤,即70<≤140時， , 取到

42、最大值; (2)當(dāng)>,即140<<210時， , 取到最大值; 綜上所述，當(dāng)70<≤140時，應(yīng)裁員人；當(dāng)140<<210時，應(yīng)裁員人. 9. （1）安全負荷為正常數(shù)） 翻轉(zhuǎn) ，安全負荷變大.…4分當(dāng) ，安全負荷變小. （2）如圖，設(shè)截取的寬為a，高為d，則. ∵枕木長度不變，∴u=ad2最大時，安全負荷最大. ，當(dāng)且僅當(dāng)，即取， 取時，u最大， 即安全負荷最大. 本章測試題 一、選擇題 1.A 　2.B　 3.B 　4.C 　5.A 　6.A　7.A 　8.A 　9.B 　10.B 　11. A　12.B 二、填空題 13. －2; 1

43、4.－2; 15. 1 16. 4 三、解答題 17.． （1）當(dāng)時，得，且， 此時． （2）當(dāng)時，，得且， 此時． （3）當(dāng)時，與題設(shè)矛盾. 18. （1）∵　 ， ∴，等號當(dāng)且僅當(dāng)，　 　　即時取得．∴的最小值為． ?。?）不等式即為，也就是， 　　令，則在上恒成立， 　　∴，解得. 19. 當(dāng)|a|≤|b|時，不等式顯然成立．當(dāng)|a|>|b|時， 左=≥≥ =． 20.（1） 由或x>3，任取x1

44、0 且(x1+3)(x2-3)>0 ,∴ 當(dāng)a>1時，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)00,∴f(x)單調(diào)遞減. （2）若f(x)=g(x)有實根，即：．∴ ∴ 即方程：有大于3的實根． （∵ x>3） ． “=”當(dāng)且僅當(dāng)x-3=即下＝3＋2時成立，∴a∈（0，） （3） h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-，（x）=,由＝0有x2-3x-4=0,解得x1=4;x2=-1（舍去）．當(dāng)x∈[4,6]時，h!(x)<0,h(x)單調(diào)遞減

45、；所以函數(shù)h(x)在[4，6]上的最小值為h(6)=ln3-4，最大值為h(4)=-2. 21.（1）由，當(dāng)時，由題意，可得， 所以. （2）由 ． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以第8年工廠的利潤最高，最高為520萬元. 22. 可以組建如下命題： 命題一：△中，若、、成等差數(shù)列，求證：（1）0＜B≤;（2）； 命題二：△中，若、、成等差數(shù)列,求證：（1）0＜B≤; （2）1＜≤ 命題三：△中，若、、成等差數(shù)列,求證：（1）; （2）1＜≤ 命題四：△中，若、、成等比數(shù)列, 求證：（1）0＜B≤; （2）1＜≤ ． 證明：（1）∵,,成等差數(shù)列∴b=． ∴≥， 且∴0＜≤； （2）； （3）． ∵0＜B≤ ，∴， ∴， ∴． （4）∵、、成等比數(shù)列，∴，∴且，∴0＜≤ ．