4、如圖所示，則f(x)的定義域是______，值域是______．
[－1,2) (－1,1] [觀察圖像，得f(x)的定義域?yàn)椋篬－1，2)．值域?yàn)椋?－1,1]．]
3．已知f(x)是一次函數(shù)，且其圖像過(guò)點(diǎn)A(－2,0)，B(1,5)，則f(x)的解析式為_(kāi)_______．
f(x)＝x＋ [設(shè)f(x)＝kx＋b，依題意，得
解得所以，f(x)＝x＋.]
4．函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
則f(g(2))的值為_(kāi)_______．
3 [因?yàn)間(2)＝2，f
5、(2)＝3，所以f(g(2))＝3.]
函數(shù)圖像的作法
【例1】 作出下列函數(shù)的圖像并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[解] (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，圖像是直線的一部分，觀察圖像可知，其值域?yàn)閇1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，圖像是反比例函數(shù)y＝的一部分，觀察圖像可知其值域?yàn)?0,1]．
(3)列表：
x
6、－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
畫(huà)圖像，圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分．
由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]．
1．作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線．作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再列表畫(huà)出圖像．
2．函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點(diǎn)，畫(huà)圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn)，如圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等，還要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)．
1．作出下列函數(shù)的圖像．
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．
[解]
7、(1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖像如圖①.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余的曲線．如圖②.
求函數(shù)的解析式
【例2】 (1)若f(x＋1)＝x2＋x，則f(x)＝________.
(2)若f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝4x－1，則f(x)＝________.
(3)已知函數(shù)y＝f(x)滿足2f(x)＋f＝2x(x∈R且x≠0)，則f(x)＝________.
(1)x2－x (2)2x－或－2x＋1
(3)x－ [(1)因?yàn)閤∈R，
所以令t＝x＋1∈R，則x＝t
8、－1，
代入f(x＋1)＝x2＋x，
得f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＝t2－t，t∈R，
即f(x)＝x2－x.
(2)由f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，
則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，
所以
解得或
所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(3)由2f(x)＋f＝2x， ①
將x換成，則換成x，
得2f＋f(x)＝， ②
①×2－②，得3f(x)＝4x－，
所以f(x)＝x－.]
求函數(shù)解析式的常用方法
(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出
9、函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過(guò)解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式.
(2)換元法(有時(shí)可用“配湊法”)：已知函數(shù)f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，從而求出f(x).
(3)消元法(或解方程組法)：在已知式子中，含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù)，而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系，這時(shí)就要依據(jù)兩個(gè)變量的關(guān)系，建立一個(gè)新的關(guān)于這兩個(gè)變量的式子，由兩個(gè)式子建立方程組，通過(guò)解方程組消去一個(gè)變量，得到目標(biāo)變量的解析式，這種方法叫做消元法(或解方程組法).
2．(1)設(shè)函數(shù)g(x)＝2x
10、－1，則g(x＋2)＝( )
A．2x＋1 B．2x－1
C．2x＋3 D．2x－3
(2)設(shè)f(x)＝2x－3，g(x＋2)＝f(x)，則g(x)＝( )
A．2x＋1 B．2x＋3
C．2x－7 D．2x－3
(1)C (2)C [(1)因?yàn)間(x)＝2x－1，所以g(x＋2)＝2(x＋2)－1＝2x＋3.
(2)g(x＋2)＝f(x)＝2x－3，令t＝x＋2，則x＝t－2.
所以g(t)＝2(t－2)－3＝2t－7，即g(x)＝2x－7.]
分段函數(shù)及應(yīng)用
[探究問(wèn)題]
1．已知函數(shù)f(x)＝3|x－1|－2.
(1)把函數(shù)f(x
11、)寫成分段的形式；
(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖像；
(3)觀察f(x)的圖像，它是軸對(duì)稱圖形嗎？若是，它的對(duì)稱軸是什么？
(4)如何由函數(shù)g(x)＝3|x|的圖像得到f(x)＝3|x－1|－2的圖像？
提示：(1)f(x)＝
(2)分段畫(huà)函數(shù)圖像：
(3)f(x)的圖像是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線x＝1.
(4)把函數(shù)y＝3|x|的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)y＝3|x－1|－2的圖像．
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝
(1)求f與f；
(2)若f(x0)＝4，求實(shí)數(shù)x0的值．
提示：(1)f＝－＝，f＝2＝.
(2)由f(x0)＝4，
得或
12、
解得x0＝－4或2.
3．對(duì)于探究2中的函數(shù)，探究以下問(wèn)題．
(1)若f(x)≤，求x的取值范圍；
(2)求函數(shù)f(x)的值域．
提示：(1)由f(x)≤，
得或
解得－≤x≤0，或00時(shí)，f(x)>0，
所以，f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)∪(0，＋∞)＝[0，＋∞)．
【例3】 已知f(x)＝
(1)求f{f[f(5)]}的值；
(2)畫(huà)出該函數(shù)的圖像；
(3)根據(jù)所畫(huà)圖像，寫出函數(shù)的定義域，值域．
[思路探究] (1)從里向外依次求值，每一次求值時(shí)，應(yīng)先判斷自變量的取值屬于哪一段，再利用該
13、段的解析式求值；(2)分段畫(huà)函數(shù)圖像；(3)觀察函數(shù)圖像寫出定義域，值域．
[解] (1)f{f[f(5)]}＝f[f(－3)]＝f(1)＝－1.
(2)
(3)定義域?yàn)?－∞，0]∪(0,4]∪(4，＋∞)＝R，值域?yàn)?－∞，4]∪[－1,8]∪(－∞，－2)＝R.
1．分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求得．
2．多層“f”的問(wèn)題，要按照“由里到外”的順序，層層處理．
3．已知分段函數(shù)的函數(shù)值求相對(duì)應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)分段解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解．
14、4．研究分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是在作分段函數(shù)的圖像時(shí)，可先將各段的圖像分別畫(huà)出來(lái)，再將它們連在一起得到整個(gè)函數(shù)的圖像．
3．(1)函數(shù)f(x)＝則f(2)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)已知f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范圍．
(1)A [f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.]
(2)解：當(dāng)x≥－2時(shí)，f(x)＝x＋2，
由f(x)>2，得x＋2>2，
解得x>0，故x>0；
當(dāng)x<－2時(shí)，f(x)＝－x－2，
由f(x)>2，得－x－2>2，
解得x<－4，故x<－4.
綜上可得：x>0或
15、x<－4.
1．函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點(diǎn)
2．理解分段函數(shù)應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是各段“定義域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．寫定義域時(shí)，區(qū)間的端點(diǎn)需不重不漏．
(2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函數(shù)時(shí)，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是作分段函數(shù)的圖像時(shí)，可先將各段的圖像分別畫(huà)出來(lái)，從而得到整個(gè)函數(shù)的圖像．
3．求函數(shù)解析式常用的方法有：(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)消元法等.
1．思考辨析
(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示．( )
(2)y＝是分段函數(shù)
16、．( )
(3)函數(shù)y＝的值域是[0，＋∞)．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，則f(x)＝________.
x2＋x＋1(x≥－1) [因?yàn)閒(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)．]
3．如圖，函數(shù)f(x)的圖像是曲線OAB，其中點(diǎn)O，A，B的坐標(biāo)分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于________．
2 [由函數(shù)f(x)圖像，知f(1)＝2，f(3)＝1，
∴f＝f(1)＝2.]
4．已知函數(shù)y＝|x－1|＋|x＋2|.
(
17、1)作出函數(shù)的圖像；
(2)寫出函數(shù)的值域；
(3)判斷方程|x－1|＋|x＋2|＝4有多少個(gè)實(shí)數(shù)解？
[解] (1)首先考慮去掉解析式中的絕對(duì)值符號(hào)，第一個(gè)絕對(duì)值的分段點(diǎn)x＝1，第二個(gè)絕對(duì)值的分段點(diǎn)x＝－2，這樣數(shù)軸被分為三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)．
所以已知函數(shù)可寫成分段函數(shù)形式：
y＝|x－1|＋|x＋2|＝
在相應(yīng)的x取值范圍內(nèi)，分別作出相應(yīng)函數(shù)的圖像，如圖所示，即為所求函數(shù)的圖像．
(2)根據(jù)函數(shù)的圖像可知：值域?yàn)閇3，＋∞)．
(3)由于直線y＝4與函數(shù)y＝|x－1|＋|x＋2|的圖像有2個(gè)交點(diǎn)，所以，方程|x－1|＋|x＋2|＝4有2個(gè)實(shí)數(shù)解．
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2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 2 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 2.2 函數(shù)的表示法學(xué)案 北師大版必修1
