2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第3章 函數(shù)的概念與性質 3.2 函數(shù)的基本性質 3.2.2 奇偶性教學案 新人教A版必修第一冊

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1、3.2.2　奇偶性 (教師獨具內容) 課程標準：1.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義，并會用符號語言描述.2.了解奇偶函數(shù)的圖象特征，會判斷簡單函數(shù)的奇偶性． 教學重點：1.函數(shù)奇偶性的概念.2.奇函數(shù)，偶函數(shù)的幾何特征.3.判斷函數(shù)的奇偶性． 教學難點：1.函數(shù)的奇偶性與單調性結合問題.2.函數(shù)奇偶性的判定. 【知識導學】 知識點一　　　偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義 (1)偶函數(shù)的定義 一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(even function)． (2)奇函數(shù)的定義 一般地，設函數(shù)f(x)的

2、定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function)． 知識點二　　　偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征 (1)偶函數(shù)的圖象特征 如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)． (2)奇函數(shù)的圖象特征 如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)． 【新知拓展】 (1)奇偶性是函數(shù)的整體性質(對照單調性是函數(shù)的局部性質，以加深理解)． (

3、2)定義域不關于原點對稱的函數(shù)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (3)對于奇函數(shù)f(x)，若f(0)有意義，則f(0)＝0；對于偶函數(shù)f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (4)有的函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，如：y＝2x＋1；有的函數(shù)是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)，如：y＝x；有的函數(shù)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)，如：y＝|x|；有的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，如：y＝0(x∈[－1,1])． (5)常見函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù))的奇偶性 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)奇(偶)函數(shù)的定義域都關于原點對稱．(　　) (2)函數(shù)f(x)

4、＝x2的圖象關于原點對稱．(　　) (3)對于定義在R上的函數(shù)f(x)，若f(－1)＝－f(1)，則函數(shù) f(x)一定是奇函數(shù)．(　　) (4)對于奇函數(shù)f(x)，一定有f(0)＝0.(　　) (5)對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，若?x0∈R，使f(－x0)≠f(x0)，則該函數(shù)不是偶函數(shù)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)函數(shù)f(x)＝x在定義域R上是________函數(shù)(填“奇”或“偶”)． (2)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(2)＝4，則f(－2)＝________. (3)設f(

5、x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝x2＋1，則f(－2)＋f(0)＝________. 答案　(1)奇　(2)4　(3)－5 題型一 函數(shù)奇偶性的判斷 例1　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝x＋1； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； (4)f(x)＝ [解]　(1)函數(shù)f(x)＝x＋1的定義域為實數(shù)集R，關于原點對稱． 因為f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以函數(shù)f(x)＝x＋1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)． (2)使函數(shù)有意義需滿足所以該函

6、數(shù)的定義域為{1}， 因為定義域不關于原點對稱，所以f(x)為非奇非偶函數(shù)． (3)函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|的定義域為實數(shù)集R，關于原點對稱． 因為f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2|＋|x－2|＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|是偶函數(shù)． (4)函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱． 當x>0時，－x<0， f(－x)＝－(－x)2－1＝－＝－f(x)； 當x<0時，－x>0， f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－＝－f(x)． 綜上可知，函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． 金版點睛 函數(shù)奇偶性判斷的方法 (1)

7、定義法 (2)圖象法：即若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用在選擇、填空題中． (3)設f(x)，g(x)的定義域分別是I1，I2，在它們的公共定義域上，有如下結論： 　判斷下列函數(shù)的奇偶性： (1)f(x)＝(2)f(x)＝0(x∈R)； (3)f(x)＝2x＋1；(4)f(x)＝. 解　(1)顯然函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱． 當x>0時， －x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 當x<0時， －x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x

8、)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． (2)∵f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)， ∴f(x)＝0既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)． (3)函數(shù)f(x)＝2x＋1的定義域為R，關于原點對稱． ∵ f(－x)＝－2x＋1，－f(x)＝－2x－1， ∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴f(x)＝2x＋1既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (4)函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，不關于原點對稱，故函數(shù)f(x)不具有奇偶性. 題型二 奇偶函數(shù)的圖象及應用 例2　已知奇函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示，則使函數(shù)

9、值y<0的x的取值集合為________． [解析]　因為函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5，5]上的圖象關于原點對稱．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5)． [答案]　(－2,0)∪(2,5) [結論探究]　本例條件不變，問題改為比較f(－1)與f(－3)的大?。? 解　由例題圖象知f(－1)＜0， f(－3)＞0，故f(－1)＜f(－3)． 金版點睛 巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題 (1)依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關于原點對稱，偶函數(shù)?圖象關于y軸對稱． (

10、2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題． (3)函數(shù)的單調性與奇偶性的關系 ①若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性一致；若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反． ②奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的最值相反，且互為相反數(shù)；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的最值相等． 　若f(x)是奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝x3－8，則{x|f(x－2)>0}＝(　　) A．{x|－22} B．{x|04} C．{x|x<0或22} 答案　B 解析　當x＝

11、2時，有f(2)＝0，又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－2)＝0，作出f(x)的大致圖象，由圖象可知，當－22，即04時，有f(x－2)>0，故選B. 題型三 利用函數(shù)奇偶性求解析式 例3　若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝x(2－x)，求函數(shù)f(x)的解析式． [解]　∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 當x>0時，－x<0，則f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(x＋2)． 故f(x)＝ 金版點睛 求函數(shù)解析式的注意事項 (1)“求誰設誰”，即在哪個

12、區(qū)間求解析式，x就設在哪個區(qū)間內． (2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函數(shù)f(x)的定義域內含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)＝0，但若為偶函數(shù)，則未必有f(0)＝0. 　已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，并且當x>0時，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式． 解　∵當x>0時，f(x)＝x3＋x＋1， 設x<0，則－x>0. ∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1. 又∵f(x)是奇函數(shù)， ∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)． ∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1. 故f

13、(x)＝ 題型四 函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用 例4　(1)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在[2,6]上單調遞減，比較f(－5)與f(3)的大??； (2)設定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減，若f(1－m)

14、． 又f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減， 所以解得－1≤m<. 即m的取值范圍是. 金版點睛 奇偶性與單調性綜合問題的兩種類型 (1)比較大小：看自變量是否在同一單調區(qū)間上． ①在同一單調區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調性比較大小； ②不在同一單調區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性轉化為同一單調區(qū)間上的兩函數(shù)值，然后利用單調性比較大?。? (2)解不等式 ①利用已知條件，結合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)f(x2)的形式； ②根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反，脫掉不等式中的“f”，轉化為簡單不等式求解． 　(

15、1)已知函數(shù)f(x)在[－5,5]上是偶函數(shù)，f(x)在[0,5]上是單調函數(shù)，且f(－4)f(1) (2)設f(x)在R上是偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調遞減，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求實數(shù)a的取值范圍． 答案　(1)D　(2)見解析 解析　(1)因為函數(shù)f(x)在[－5,5]上是偶函數(shù)， 所以f(－4)

16、f(1)． (2)由題意知f(x)在(0，＋∞)上單調遞增． 又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0， a2＋a＋1＝2＋>0， 且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)， 所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<. 綜上，實數(shù)a的取值范圍是. 1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　) A．y＝－|x| B．y＝2－x C．y＝ D．y＝－x2＋8 答案　C 解析　A，D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項中函數(shù)為奇函數(shù)． 2．若函數(shù)f(x)滿足＝1，則f(x)圖象的對稱軸是(　　) A．x軸 B．y軸 C．直線y＝x D．不能確定

17、 答案　B 解析　由于f(－x)＝f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱． 3．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　B 解析　由題意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.兩式相加，解得g(1)＝3. 4．奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上單調遞增，在區(qū)間[3,6]上最大值是4，最小值是－1，則2f(－6)＋f(－3)＝________. 答案?。? 解析　∵f(x)是奇函數(shù)，且在[3,6

18、]上單調遞增， ∴f(3)＝－1，f(6)＝4. ∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7. 5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋3. (1)若g(x)＝f(x)＋bx為偶函數(shù)，求b； (2)求函數(shù)f(x)在[－3,3]上的最大值． 解　(1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3， g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3， ∵g(x)＝g(－x)，∴b＋4＝0，∴b＝－4. (2)f(x)＝x2＋4x＋3的圖象關于直線x＝－2對稱，因此f(x)在x＝－2時取得最小值－1，在x＝3時取得最大值24. - 9 -