2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點(diǎn)帶面 4 回顧4 數(shù)列與不等式學(xué)案

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1、回顧4　數(shù)列與不等式 [必記知識(shí)] 等差數(shù)列 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列． (4)＝n＋是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列． (5)Sn＝＝＝＝…. (6)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m(m∈N*)，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，a

2、m＋1為中間兩項(xiàng))，S偶－S奇＝md，＝. (7)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1(m∈N*)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項(xiàng))，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. (8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n)． 等比數(shù)列 (1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)． (3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a

3、3m，…成等比數(shù)列(m∈N*)． (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比數(shù)列(n≥2，且n∈N*)． (5)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則＝q. (6){an}，{bn}成等比數(shù)列，則{λan}，{}，{anbn}，{}成等比數(shù)列(λ≠0，n∈N*)． (7)通項(xiàng)公式an＝a1qn－1＝·qn，從函數(shù)的角度來看，它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的積，其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點(diǎn)． (8)與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng)；兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為

4、相反數(shù)． (9)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，x，xq；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為，，xq，xq3. [提醒])?。?）如果數(shù)列{an}成等差數(shù)列，那么數(shù)列{Aan}（Aan總有意義）必成等比數(shù)列. （2）如果數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an＞0，那么數(shù)列{logaan}（a＞0且a≠1）必成等差數(shù)列. （3）如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)列；數(shù)列{an}是常數(shù)列僅是數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件. （4）如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原來兩

5、個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù). （5）如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成一個(gè)新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，從而分析構(gòu)成什么樣的新數(shù)列. 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號(hào))；三解(解對(duì)應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)． 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩

6、根的大?。? 一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的條件是 分式不等式 ＞0(＜0)?f(x)g(x)＞0(＜0)； ≥0(≤0)? [提醒])?。?）不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出錯(cuò). （2）解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分a＞0，a＜0進(jìn)行討論. （3）應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形，不能把≤0直接轉(zhuǎn)化為f（x）·g（x）≤0，而忽視g（x）≠0. 圖解法求解線性規(guī)劃問題的基本要點(diǎn)

7、 (1)定域：畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì)應(yīng)． (2)平移：畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線l，平行移動(dòng)直線，讓其與可行域有公共點(diǎn)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；注意熟練掌握常見的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義． (3)求值：利用直線方程構(gòu)成的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值． [提醒])?。?）直線定界，特殊點(diǎn)定域：注意不等式中的不等號(hào)有無等號(hào)，無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線.若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn)；若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選?。?，0），（0，1）. （2）線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)

8、域的頂點(diǎn)或邊界處取得，最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)可能有多個(gè)；非線性目標(biāo)函數(shù)或非線性可行域的最值問題，最優(yōu)解不一定在頂點(diǎn)或邊界處取得. 利用基本不等式求最值 (1)對(duì)于正數(shù)x，y，若積xy是定值p，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2. (2)對(duì)于正數(shù)x，y，若和x＋y是定值s，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值s2. (3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，則有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. (4)已知a，b，x，y∈R＋，若＋＝1，則有x＋y＝(x＋y)·＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2. [提醒])　利用基本不等式求最大值、最小值時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三

9、相等”，即：①所求式中的相關(guān)項(xiàng)必須是正數(shù)；②求積xy的最大值時(shí)，要看和x＋y是否為定值，求和x＋y的最小值時(shí)，要看積xy是否為定值，求解時(shí)，常用到“拆項(xiàng)”“湊項(xiàng)”等解題技巧；③當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等時(shí)，才能取等號(hào).以上三點(diǎn)應(yīng)特別注意，缺一不可. [必會(huì)結(jié)論] 判斷數(shù)列單調(diào)性的方法 (1)作差比較法：an＋1－an＞0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；an＋1－an＜0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列． (2)作商比較法：①當(dāng)an＞0時(shí)，則＞1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；0＜＜1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．②當(dāng)an＜0時(shí)，則＞1?數(shù)列{a

10、n}是遞減數(shù)列；0＜＜1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列． (3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷． 數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法 (1)借用構(gòu)造法求解：根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函數(shù)最值的方法進(jìn)行求解即可，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)． (2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進(jìn)而求出數(shù)列中項(xiàng)的最值． (3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解：若求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化為求解若求數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化為求解求出n的取值范圍之后再確定取得最值

11、的項(xiàng)． 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 (1)公式法：①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式． (2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝ (3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝ (4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)． (5)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)． (6)構(gòu)造等比數(shù)列法：若已知

12、數(shù)列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，設(shè)存在非零常數(shù)λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝，則數(shù)列{an＋}就是以a1＋為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列，先求出數(shù)列{an＋}的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即可． (7)倒數(shù)法：若an＝(mkb≠0，n≥2)，對(duì)an＝取倒數(shù)，得到＝·，即＝·＋.令bn＝，則{bn}可歸納為bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型． 數(shù)列求和的常用方法 (1)公式法：①等差數(shù)列的求和公式；②等比數(shù)列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，

13、1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*. (2)分組求和法：當(dāng)直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和． (3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)的和有共性，則?？紤]選用倒序相加法進(jìn)行求和． (4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成的，那么常選用錯(cuò)位相減法將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”，從而進(jìn)行求解． (5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可分裂成“兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和．常用的裂項(xiàng)形式有 ①＝－； ②＝； ③＜＝， －＝＜＜＝

14、－； ④＝. 解不等式恒成立問題的常用方法 (1)若所求問題可以化為一元二次不等式，可以考慮使用判別式法求解，利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式進(jìn)行求解，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論． (2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于零的問題，一般的轉(zhuǎn)化原理是：在閉區(qū)間D上，f(x)≥0恒成立?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上；f(x)≤0?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸下方或x軸上． (3)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)的問題，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立問題，通常利用函數(shù)最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其一般的轉(zhuǎn)化原

15、理是：f(x)≥a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)max≤a(x∈D)． (4)分離參數(shù)法：將恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m為參數(shù))中的參數(shù)m單獨(dú)分離出來，不等號(hào)一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，該方法主要適用于參數(shù)與變量能分離和函數(shù)的最值易于求出的題目，其一般轉(zhuǎn)化原理是：當(dāng)m為參數(shù)時(shí)，g(m)＞f(x)?g(m)＞f(x)max；g(m)＜f(x)?g(m)＜f(x)min. [必練習(xí)題] 1．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝6，S3＝12，則公差d＝(　　) A．1　　　

16、　　　　　　　 B．2 C．3 D. 解析：選B.在等差數(shù)列{an}中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2，選B. 2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a2＋a4＝6，則S5等于(　　) A．10 B．12 C．15 D．30 解析：選C.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2＋a4＝a1＋a5，所以S5＝＝15，故選C. 3．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a2·a6＝9a4，a2＝1，則a1的值為(　　) A．3 B．－3 C．－ D. 解析：選D.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，解得q2＝

17、9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.故選D. 4．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 解析：選D.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由題意，得 所以或解得或當(dāng)時(shí)，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝1＋(－2)3＝－7；當(dāng)時(shí)，a1＋a10＝a1(1＋q9)＝(－8)×＝－7.綜上，a1＋a10＝－7.故選D. 5．設(shè)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值是(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：選C.法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作直線x＋y＝0，平移該直

18、線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(6，0)時(shí)，z取得最大值，即zmax＝6，故選C. 法二：目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最值在可行域的三個(gè)頂點(diǎn)處取得，易知三條直線的交點(diǎn)分別為(3，0)，(6，0)，(2，2)．當(dāng)x＝3，y＝0時(shí)，z＝3；當(dāng)x＝6，y＝0時(shí)，z＝6；當(dāng)x＝2，y＝2時(shí)，z＝4.所以zmax＝6，故選C. 6．若數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8＝(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 解析：選B.依題意可設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則b10＝b3＋7d＝－2＋7d＝12，解得d＝2，所以bn＝b3＋(

19、n－3)d＝2n－8，又bn＝an＋1－an，則b7＝a8－a7，b6＝a7－a6，…，b1＝a2－a1，采用累加法可得，b7＋b6＋…＋b1＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＝a8－a1，又易知b1＋b2＋…＋b7＝0，則a8＝a1＝3，故選B. 7．在各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，則a2 018＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C.因?yàn)?anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，所以＝＋，所以是等差數(shù)列，其公差d＝－＝2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，a

20、n＝，所以a2 018＝. 8．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x－1)≤0的解集為________． 解析：由題意，得f(x－1)＝當(dāng)x≥2時(shí)，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；當(dāng)x＜2時(shí)，由22－x－2≤0，解得1≤x＜2.綜上所述，不等式f(x－1)≤0的解集為{x|1≤x≤3}． 答案：[1，3] 9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＝(n≥2，n∈N*)，則通項(xiàng)公式an＝________． 解析：由an＝?＝·＋，令＝bn，則bn＝·bn－1＋?bn－1＝·(bn－1－1)，由a1＝，得b1－1＝－，所以{bn－1}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以bn－1＝－·，得an＝＝. 答案： 10．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，anan＋1＝3n，則S2 017＝________． 解析：由anan＋1＝3n，得an－1an＝3n－1(n≥2)，所以＝3(n≥2)，則數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列，又a1＝1，a1a2＝3，所以a2＝3，所以S2 017＝＋＝31 009－2. 答案：31 009－2 8