2019-2020學年高中數學 第5章 數系的擴充與復數的引入 2 2.1 復數的加法與減法 2.2 復數的乘法與除法學案 北師大版選修2-2

《2019-2020學年高中數學 第5章 數系的擴充與復數的引入 2 2.1 復數的加法與減法 2.2 復數的乘法與除法學案 北師大版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年高中數學 第5章 數系的擴充與復數的引入 2 2.1 復數的加法與減法 2.2 復數的乘法與除法學案 北師大版選修2-2（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2.1　復數的加法與減法 2.2　復數的乘法與除法 學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1．理解共軛復數的概念．(重點) 2．掌握復數的四則運算法則與運算律．(重、難點) 1．借助坐標系理解共軛復數，提升學生的直觀想象的核心素養(yǎng). 2．通過復數代數形式的運算的學習，培養(yǎng)學生的數學運算的核心素養(yǎng). 1．復數的加法與減法 (1)復數的加法 設a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意兩個復數，定義復數的加法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)復數的減法 設a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意兩個復數，定義復數的減法

2、如下：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. 2．復數的乘法與除法 (1)復數的乘法法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)復數乘法的運算律 對任意復數z1，z2，z3∈C，有 交換律 z1·z2＝z2·z1 結合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法對加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (3)共軛復數 如果兩個復數的實部相等，虛部互為相反數，那么這樣的兩個復數叫作互為共軛復數．復數z的共軛復數用來表示，即z＝a＋bi

3、，則＝a－bi. (4)復數的除法法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，則＝＝＋i. 1．復數的共軛復數是(　　) A．－i B．i C．－i D．i D　[＝＝＝i.] 2．復數z1＝2－i，z2＝－2i，則z1＋z2等于(　　) A．0　　 B.＋i C.－i D.－i C　[z1＋z2＝＋i＝－i.] 3．(1＋i)2－＝________. －＋i　[∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.] 復數的加法與減法運算 【例1】　(1)＋(2－i)－＝________. (2)已知復數z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z. (3)

4、已知復數z滿足|z|＋z＝1＋3i，求z. 思路探究：(1)根據復數的加法與減法法則計算． (2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，根據復數相等計算或把等式看作z的方程，通過移項求解． (3)設z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝，再根據復數相等求解． (1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i ＝1＋i.] (2)[解]　法一：設z＝x＋yi(x，y∈R)，因為z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i. 法二：因為z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. (3)設z＝x＋y

5、i(x，y∈R)，則|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由復數相等得解得所以z＝－4＋3i. 1．復數加法與減法運算法則的記憶 (1)復數的實部與實部相加減，虛部與虛部相加減． (2)把i看作一個字母，類比多項式加、減法中的合并同類項． 2．當一個等式中同時含有|z|與z時，一般要用待定系數法，設z＝a＋bi(a，b∈R)． 1．(1)復數(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i B．1－i　　　C．i　　　D．－i (2)已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數，則z＝________. (1)A　(2)3i　[(1)(1－i)－(

6、2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故選A. (2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是純虛數，則 由①可得y＝3. ∴z＝3i.] 復數的乘法與除法運算 【例2】　已知復數z1＝1＋i，z2＝3－2i.試計算： (1)z1·z2和z； (2)z1÷z2和z÷z1． 思路探究：按照復數的乘法和除法法則進行． [解]　(1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i. z＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4. (2)z1÷z2＝＝＝＝＋i. z÷z1＝＝＝ ＝＝－－i. 復數運算

7、中的幾點結論 1．∈R?＝(cd≠0)?ad－bc＝0； 為純虛數?ac＋bd＝0且bc－ad≠0. 2．(a＋bi)(c＋di)∈R?∈R?＝(cd≠0)?ad＋bc＝0；(a＋bi)(c＋di)為純虛數?為純虛數?ac－bd＝0且ad＋bc≠0. 可以類比向量共線(實數)與垂直(純虛數)來記憶上述兩個結論． 注意：以上結論中：c＋di≠0. 2．(1)滿足＝i(i為虛數單位)的復數z＝(　　) A．＋i　　　　 B．－i C．－＋i D．－－i (2)若復數z滿足z(1＋i)＝2i(i為虛數單位)，則|z|＝(　　) A．1 B．2 C． D． (1)

8、B　(2)C　[(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)． ∴z＝＝＝＝－i. (2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i， ∴|z|＝＝.] 共軛復數 [探究問題] 1．兩個共軛復數的和一定是實數嗎？兩個共軛復數的差一定是純虛數嗎？ [提示]　若z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，則z＋＝2a∈R.因此，和一定是實數；而z－＝2bi.當b＝0時，兩共軛復數的差是實數，而當b≠0時，兩共軛復數的差是純虛數． 2．若z1與z2是共軛復數，則|z1|與|z2|之間有什么關系？ [提示]　|z1|＝|z2|. 【例3】　已知z∈C，為z的共軛復數，若z·－3i

9、＝1＋3i，求z. 思路探究：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi.代入所給等式，利用復數的運算及復數相等的充要條件轉化為方程組求解． [解]　設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi(a，b∈R)， 由題意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 則有解得或 所以z＝－1或z＝－1＋3i. 解此類題的常規(guī)思路為：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，代入所給等式，利用復數相等的充要條件，轉化為方程(組)求解. 3．已知復數z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1與z2互為共

10、軛復數，求a，b的值． [解]　z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i， z2＝＝＝＝＋i， 由于z1和z2互為共軛復數，所以有 解得 1．復數的加法法則可以推廣到多個復數相加的情形：各復數的實部分別相加，虛部分別相加． 2．復數減法的幾何意義也可敘述為：連接兩個復數對應的向量的終點，方向指向被減向量的終點的向量，就是兩個復數的差所對應的向量． 3．實數集內乘法、乘方的一些重要結論和運算法則在復數集內不一定成立，如： (1)當z∈R時，有|z|2＝z2；當z∈C時，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能進行比較．例如，當z＝

11、1＋i時，|z|2＝2，z2＝2i，此時2和2i不能進行比較． (2)當m，n∈R時，有m2＋n2＝0?m＝n＝0；當z1，z2∈C時，z＋z＝0D/?z1＝z2＝0，但z1＝z2＝0?z＋z＝0. 4．復數除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成的形式，再把分子與分母同乘分母的共軛復數，最后將結果化簡，即(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i. 5．復數運算常見小結論 (1)(1＋i)2＝2i?＝1＋i； (2)(1－i)2＝－2i?＝1－i?＝－1＋i； (3)(1＋i)(1－i)＝2?＝1－i?＝1＋i； (4)＝i?＝－i； (5)i4n＋1＝i；i4n＋2＝－

12、1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈Z)． 6．常用公式 (a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2；(a±bi)2＝a2－b2±2abi； (a±bi)3＝a3－3ab2±(3a2b－b3)i. 7．共軛復數的運算小結論 (1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＋＝2a； (2)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則z－＝2bi； (3)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2，＝()2； (4)對于復數z1，z2，＝±，＝·，＝(z2≠0)． 1．(2019·全國卷Ⅰ)設z＝－3＋2i，則在復平面對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C

13、．第三象限 D．第四象限 C　[由z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，在復平面內對應的點為(－3，－2)，在第三象限，故選C.] 2．設復數z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，則x＝______. －2　[∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)， ∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i. ∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2．] 3．若＝a＋bi(i為虛數單位，a，b∈R)，則a＋b＝______. 2　[因為＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2．] 4．已知復數z滿足|z|＝，且(1－2i)z是實數，求. [解]　設z＝a＋bi(a，b∈R)，則(1－2i)z＝(1－2i)·(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因為(1－2i)z是實數，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b＝±2， ∴z＝1＋2i或－1－2i， ∴＝1－2i或－1＋2i， ∴＝±(1－2i)． - 7 -