2019屆高考數(shù)學二輪復習 第三部分 回顧教材 以點帶面 2 回顧2 函數(shù)與導數(shù)學案

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1、回顧2　函數(shù)與導數(shù) [必記知識] 函數(shù)的定義域和值域 (1)求函數(shù)定義域的類型和相應方法 ①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍． ②若已知f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))的定義域為不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為函數(shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域． (2)常見函數(shù)的值域 ①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域為R. ②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當a＞0時，值域為，當a＜0時，值域為； ③反比例函數(shù)y＝(k≠0)的值域為{y∈R|y≠0}．

2、[提醒]　（1）解決函數(shù)問題時要注意函數(shù)的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則.,（2）解決分段函數(shù)問題時，要注意與解析式對應的自變量的取值范圍. 函數(shù)的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質，對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))． (2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期． [提醒]　判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關于原點對稱

3、，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響. 函數(shù)的單調性 函數(shù)的單調性是函數(shù)在其定義域上的局部性質． ①單調性的定義的等價形式：設x1，x2∈[a，b]， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?＞0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?＜0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)． ②若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復合函數(shù)y＝f(g(x))的單調性． [提醒])　求函數(shù)

4、單調區(qū)間時，多個單調區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“與”連接或用“，”隔開.單調區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替. 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的基本性質 (1)定點：y＝ax(a＞0，且a≠1)恒過(0，1)點； y＝logax(a＞0，且a≠1)恒過(1，0)點． (2)單調性：當a＞1時，y＝ax在R上單調遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調遞增； 當0＜a＜1時，y＝ax在R上單調遞減；y＝logax在(0，＋∞)上單調遞減． 導數(shù)的幾何意義 (1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(

5、x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)切點的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上． 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 (1)求可導函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟 ①求函數(shù)f(x)的定義域； ②求導函數(shù)f′(x)； ③由f′(x)＞0的解集確定函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間，由f′(x)＜0的解集確定函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間． (2)由函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍 ①若可導函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等號不恒成立)； ②若可導函數(shù)在某區(qū)間上存在單調遞增(減)區(qū)間，f′(x

6、)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集； ③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調區(qū)間，則I是其單調區(qū)間的子集． [提醒])　已知可導函數(shù)f（x）在（a，b）上單調遞增（減），則f′（x）≥0（≤0）對?x∈（a，b）恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗證“＝”不能恒成立；已知可導函數(shù)f（x）的單調遞增（減）區(qū)間為（a，b），則f′（x）＞0（＜0）的解集為（a，b）. 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 (1)求函數(shù)的極值的一般步驟 ①確定函數(shù)的定義域； ②解方程f′(x)＝0； ③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側的符號變化：

7、若左正右負，則x0為極大值點； 若左負右正，則x0為極小值點； 若不變號，則x0不是極值點． (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟 ①求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的極值； ②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． [提醒])　f′（x）＝0的解不一定是函數(shù)f（x）的極值點.一定要檢驗在x＝x0的兩側f′（x）的符號是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點；若不變化，則不是極值點. 定積分的三個公式與一個定理 (1)定積分的性質 ①kf(x)dx＝kf(x)dx； ②[f1(x)±f2(x

8、)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)． (2)微積分基本定理 一般地，如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)． [提醒])?。?）若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）dx＝2f（x）dx；,（2）若f（x）是奇函數(shù)，則f（x）dx＝0. [必會結論] 函數(shù)周期性的常見結論 (1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|. (2)若f(x＋a)＝－(a

9、≠0，f(x)≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝(a≠0，f(x)≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|. (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)的周期為|a－b|. (4)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝a與x＝b(a≠b)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|. (5)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|. (6)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期為4|a|. 函數(shù)圖象的對稱性 (1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)

10、，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱； (2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關于點(a，0)對稱； (3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝對稱． 三次函數(shù)的相關結論 給定三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求導得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，則 (1)當4(b2－3ac)＞0時，f′(x)＝0有兩個實數(shù)解，即f(x)有兩個極值點；當4(b2－3ac)≤0時，f(x)無極值點． (2)若函數(shù)f(x)的圖象存

11、在水平切線，則f′(x)＝0有實數(shù)解，從而4(b2－3ac)≥0. (3)若函數(shù)f(x)在R上單調遞增，則a＞0且4(b2－3ac)≤0. [必練習題] 1．函數(shù)f(x)＝－的定義域為(　　) A．[1，10]　　　　　　　　 B．[1，2)∪(2，10] C．(1，10] D．(1，2)∪(2，10] 解析：選D.要使原函數(shù)有意義，則解得1＜x≤10且x≠2，所以函數(shù)f(x)＝－的定義域為(1，2)∪(2，10]，故選D. 2．已知函數(shù)f(x)＝則f的值是(　　) A．0 B．1 C. D．－ 解析：選C.因為f(x)＝且0＜＜1，＞1，所以f＝f()＝log2＝，故選C

12、. 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，a≠1)，若g(2)＝a，則f(2)等于(　　) A．2 B. C. D．a(chǎn)2 解析：選B.由題意知f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2， 又f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 所以g(x)－f(x)＝a－x－ax＋2.?、? 又g(x)＋f(x)＝ax－a－x＋2.　② ①＋②得g(x)＝2， ②－①得f(x)＝ax－a－x， 又g(2)＝a，所以a＝2， 所以f(x)＝2x－2－x， 所以f(2)＝4－＝，故選B. 4．若a＞b＞0，0＜c＜1，則

13、(　　) A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb 解析：選B.由y＝xc與y＝cx的單調性知，C、D不正確．因為y＝logcx是減函數(shù)，得logca＜logcb，B正確．logac＝，logbc＝，因為0＜c＜1，所以lg c＜0.而a＞b＞0，所以lg a＞lg b，但不能確定lg a，lg b的正負，所以logac與logbc的大小不能確定． 5．函數(shù)f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為(　　) 解析：選D.函數(shù)f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)為奇函數(shù)，排除選項A，B；當x＝π時，f(π)＝cos

14、 π＝－π＜0，排除選項C，故選D. 6．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，當x＞0時，f′(x)＜，且f(－1)＝0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(　　) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1，0) 解析：選B.設F(x)＝，因為f(x)為奇函數(shù)，所以F(x)為偶函數(shù)．F′(x)＝[xf′(x)－f(x)]，x＞0時，F(xiàn)′(x)＜0，所以F(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)，F(xiàn)(1)＝F(－1)＝0，結合F(x)的圖象得f(x)＞0的解為(－∞，－1)

15、∪(0，1)． 7．已知函數(shù)f(x)＝2ax－a＋3，若?x0∈(－1，1)，使得f(x0)＝0，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：依題意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞) 8．函數(shù)y＝ex－x在區(qū)間[－1，1]上的最大值為________． 解析：f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，f(0)＝e0－0＝1，而e－1＞＋1＞1，所以函數(shù)f(x)＝ex－x在區(qū)間[－1，1]上的最大值為e－1. 答案：e－1 9．設函數(shù)f(

16、x)＝g＋x2，曲線y＝g(x)在點(1，g(1))處的切線方程為9x＋y－1＝0，則曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為________． 解析：由已知得g′(1)＝－9，g(1)＝－8，又f′(x)＝g′＋2x，所以f′(2)＝g′(1)＋4＝－＋4＝－，f(2)＝g(1)＋4＝－4，所以所求切線方程為y＋4＝－(x－2)，即x＋2y＋6＝0. 答案：x＋2y＋6＝0 10．已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足條件f＝－f(x)，且函數(shù)y＝f為奇函數(shù)，給出以下四個結論： (1)函數(shù)f(x)是周期函數(shù)； (2)函數(shù)f(x)的圖象關于點對稱； (3)函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)； (4)函數(shù)f(x)為R上的單調函數(shù)． 其中正確結論的序號為________(寫出所有正確結論的序號)． 解析：f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是周期為3的周期函數(shù)，(1)正確；函數(shù)f是奇函數(shù)，其圖象關于點(0，0)對稱，則f(x)的圖象關于點對稱，(2)正確；因為f(x)的圖象關于點對稱，－＝，所以f(－x)＝－f，又f＝－f＝－f(x)，所以f(－x)＝f(x)，(3)正確；f(x)是周期函數(shù)，在R上不可能是單調函數(shù)，(4)錯誤．故正確結論的序號為(1)(2)(3)． 答案：(1)(2)(3) 7