2022年高三數(shù)學總復習 誘導公式教案 理

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1、2022年高三數(shù)學總復習 誘導公式教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容以學生在初中已經(jīng)學習了銳角的三角函數(shù)值為基礎，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導出三角函數(shù)的五組誘導公式，即有關(guān)角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節(jié)課的重點是后四組誘導公式以及這五組公式的綜合運用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在．準確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應起來，是突破上述

2、難點的關(guān)鍵． 教學目標 1. 在教師的引導下，啟發(fā)學生探索發(fā)現(xiàn)誘導公式及其證明，培養(yǎng)學生勇于探求新知、善于歸納總結(jié)的能力． 2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導公式，并能應用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題． 3. 讓學生體驗探索后的成功喜悅，培養(yǎng)學生的自信心． 4. 使學生認識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進一步樹立化歸思想． 任務分析 誘導公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值．在五組誘導公式中，關(guān)于180°＋α與－α的誘導公式是最基本的，也是最重要的．在推導這兩組公式時，應放手讓學生獨立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－

3、α與角α的終邊”之間的位置關(guān)系，從而完成公式的推導．此外，要把90°～360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．應引導學生在掌握前五組誘導公式的基礎上進一步探求新的關(guān)系式，從而使學生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認知結(jié)構(gòu)． 教學設計 一、問題情境 教師提出系列問題 1. 在初中我們學習了求銳角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢？ 2. 當α＝390°時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3. 由2你能否得出一般性的結(jié)論？試說明理由

4、． 二、建立模型 1. 分析1 在教師的指導下，學生獨立推出公式（一），即 2. 應用1 在公式的應用中讓學生體會公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值． 練習：求下列各三角函數(shù)值． （1）cosπ．　?。?）tan405°． 3. 分析2 如果能夠把90°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，即可實現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進而求出其余弦值？ 引導學生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結(jié)果： cos120°

5、＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－， cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－， cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝． 4. 分析3 一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關(guān)系如何？你能證明自己的結(jié)論嗎？由學生獨立完成下述推導： 設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關(guān)于原點O對稱． 由此可知，點P′的坐標是（－x，－y）． 又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sin

6、α＝y(tǒng)，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝． 從而得到： 5. 分析4 在推導公式三時，學生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關(guān)系不容易判斷．這時，教師可引導學生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為－α的三角函數(shù)值，然后通過尋找－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使原問題得到解決． 由學生獨立完成如下推導： 如圖，設任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點P′．∵這兩個角的終邊關(guān)于ｘ軸對稱，∴點P′的

7、坐標是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x， sin（－α）＝－y，tan（－α）＝ 從而得到： 進而推出： 注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學生充分體驗成功的快樂． 6. 教師歸納 公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．那么，在轉(zhuǎn)化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？ 引導學生進行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了

8、便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 求下列各三角函數(shù)值． 通過應用，讓學生體會誘導公式的作用： ①把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為 評注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學生注意選取合理形式解決問題． 四、拓展延伸 教師出示問題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這些角有一個共同點，即：均為180°的整數(shù)倍加、減

9、α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°－60°，也可以寫成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢？ 學生探究：經(jīng)過獨立探求后，有學生可能會得到如下結(jié)果： 設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y(tǒng)′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y(tǒng)′，y＝x′． 進而得到cos（9

10、0°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對此結(jié)論和方法，教師不宜作任何評論，而應放手讓學生展開辯論和交流，最后得到正確結(jié)果： 由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當點P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0， 又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到： 教師進一步引導： （1）推導上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件．當點Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結(jié)論？ （通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學生理解公式六中的角α可以為任意角） （2）推導公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導前五組公式那樣采用

11、對稱變換的方式呢？ 學生探究：學生先針對α為銳角時的情況進行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），＋α的終邊與單位圓的交點為P′（x′，y′）（如圖）．由于角α的終邊經(jīng)過下述變換：2（－α） ＋2a＝，即可得到＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關(guān)于直線y＝x的對稱點M（y，x），再作點M關(guān)于y軸的對稱點P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x． 由此，可進一步得到： 教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)． 引導學生總結(jié)出： 90°±α，270°±α的三角函

12、數(shù)值等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號． 兩套公式合起來，可統(tǒng)一概括為 對于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數(shù)值，當k為偶數(shù)時，得α的同名函數(shù)值；當k為奇數(shù)時，得α的余名函數(shù)值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”． 點　評 這篇案例從學生的實際出發(fā)，充分尊重學生的思維特點，通過創(chuàng)設問題情境，引發(fā)認知沖突，較好地調(diào)動了學生的積極性和主動性，符合新課程理念的精神．在教學設計中，教師以學生活動為主，注意師生互動，體現(xiàn)學生的自主學習．實際的課堂教學表明，在教學過程中，教師對每名同學的發(fā)言都給以充分地鼓勵，即使他的解法不完美，甚至不正確．這對保護學生大膽嘗試、認真思考的積極性至關(guān)重要．只有這樣，才能將教學效果落實到學生個體的學習行為上，進而實現(xiàn)預期的教學目標．總之，這篇案例的突出特點就是，注意通過問題驅(qū)動的方式，激發(fā)學生主動探究的熱情，完成五組誘導公式的推導．缺陷是，在關(guān)注五組誘導公式推導的“一氣呵成”的同時，鞏固、強化工作顯得單?。@是一對棘手的矛盾！