2022年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試題

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1、2022年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)試題 一、填空題：本大題共12題，滿分36分。請(qǐng)?jiān)跈M線上方填寫最終的、最準(zhǔn)確的、最完整的結(jié)果。每題填寫正確得3分，否則一律得0分。 1、 過點(diǎn)，且垂直于OA的直線方程為_______________。 解：一個(gè)法向量，所以方程為，即。▋ 2、 直線l的一個(gè)法向量（），則直線l傾角的取值范圍是_______。 解：，所以傾角的取值范圍是。▋ 3、 已知直線：與：平行，則k的值是____________。 解：，所以或。 當(dāng)時(shí)，二直線分別為：，：，平行； 當(dāng)時(shí)，二直線分別為：，：，平行。▋ 4、 直線l的一個(gè)方向向量，則l與的夾角大

2、小為__________。（用反三角函數(shù)表示） 解：，所以夾角滿足，所以夾角為。▋ 5、 已知圓C與直線及都相切，圓心在直線上，則圓C的方程為________________________。 解：。▋ 6、 等軸雙曲線C與橢圓有公共的焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為____________。 解：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，。 由，所以。所以，雙曲線C的方程為。▋ 7、 有一拋物線形拱橋，中午12點(diǎn)時(shí)，拱頂離水面2米，橋下的水面寬4米；下午2點(diǎn)，水位下降了1米，橋下的水面寬_________米。 解：設(shè)拋物線方程為，其過點(diǎn)， 所以，，當(dāng)時(shí)，，所以橋下的水面寬米。▋ 8、 直

3、線：繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的直線，則與的交點(diǎn)坐標(biāo)為_______。 解：：，與聯(lián)立，解得交點(diǎn)為。▋ 9、 已知方程表示圓，則___________。 解：令，解得或。 （1）當(dāng)時(shí)，方程化為，方程表示圓； （2）當(dāng)時(shí)，方程化為，判別式，方程不表示圓。 所以。▋ 10、 已知過拋物線C：（）焦點(diǎn)F的直線l和y軸正半軸交于點(diǎn)A，并且l與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)M恰好為A、F的中點(diǎn)，則直線的斜率_____________。 解：的焦點(diǎn)為，設(shè)（），所以， 將代入，得， 所以直線的斜率。▋ 11、 （xx上海市秋季高考文科第12題） 已知、是橢圓C：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的

4、一點(diǎn)，且。若的面積為9，則_________。 解：有，可得，即，故有。▋ 12、 已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，那么的最小值為_____________。 解：設(shè)（），，則， 所以，， 令，所以，所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立。 所以的最小值為。▋ 二、選擇題：本大題共4題，滿分16分。請(qǐng)選擇你認(rèn)為最正確的答案（每小題有且只有一個(gè)）寫在括號(hào)內(nèi)。每題填寫正確得4分，否則得0分。 13、 （xx海南寧夏秋季高考文科第5題） 已知圓：，圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為 ( ) (A) (B

5、) (C) (D) 解：設(shè)圓的圓心為，則依題意，有，解得：， 對(duì)稱圓的半徑不變，為1，故選(B)。▋ 14、 （xx湖北省秋季高考理科第9題、文科第9題） 若直線與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是 ( ) (A) (B) (C) (D) 解：曲線方程可化簡(jiǎn)為（），即表示圓心為，半徑為2的半圓。 依據(jù)數(shù)形結(jié)合，直線與此半圓相切，即圓心到直線距離等于2，解得（舍）或。 當(dāng)直線過時(shí)，解得，故，所以選(C)。▋ 15、 給出下列3個(gè)命題：①在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)M到、兩點(diǎn)的距離之和等于2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓；②在平面內(nèi)，給出點(diǎn)、，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，

6、則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；③在平面內(nèi)，若動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)和到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線。其中正確的命題有( ) (A) 0個(gè) (B) 1個(gè) (C) 2個(gè) (D) 3個(gè) 解：選(A)。▋ 16、 已知直線l：y=k(x+2)（k>0）與拋物線C：相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若，則 ( ) (A) (B) (C) (D) 解：設(shè)拋物線C：的準(zhǔn)線為，直線y=k(x+2)（k>0）恒過定點(diǎn)。 如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N， 由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)。連結(jié)OB，則，∴

7、|OB|=|BF|， 點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)，∴，∴選(D)。▋ 三、解答題：本大題共5題，滿分48分。請(qǐng)?jiān)陬}后空處寫出必要的推理計(jì)算過程。 17、 （本題滿分8分） 已知直線l：與x軸交于點(diǎn)A；以O(shè)為圓心，過A的圓記為圓O。求圓O截l所得弦AB的長。 解：在中，令，得，所以圓C的半徑， ……2分 圓心O到直線l的距離。 ……3分 所以弦長。▋ ……3分 18、 （本題滿分8分） 已知雙曲線C關(guān)于兩條坐標(biāo)軸都對(duì)稱，且過點(diǎn)，直線與（，為雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)）的斜率之積，求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：（1）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位于x軸上時(shí)

8、，設(shè)C：， 所以，，， 解得。 ……2分 將，代入雙曲線方程，得，解得。 ……2分 所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。 ……2分 （2）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位于y軸上時(shí)，設(shè)C：， 所以，，， 解得（舍去）。 ……2分 綜上，所求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。▋ 19、 （本題滿分10分） 過點(diǎn)作直線l交x軸于A點(diǎn)、交y軸于B點(diǎn)，且P位于AB兩點(diǎn)之間。 （Ⅰ），求直線l的方程； （Ⅱ）求當(dāng)取得最小值時(shí)直線l的方程。 解：顯然直線l的斜率k存在且， 設(shè)l：，得，。 ……2分 因?yàn)镻位于AB兩點(diǎn)之間，所以且，所以。

9、，。 ……2分 （Ⅰ），所以，所以。 直線l的方程為。 ……3分 （Ⅱ），當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立。 所以當(dāng)取得最小值時(shí)直線l的方程為。▋ ……3分 20、 （本題滿分10分） 已知曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1，0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差是1。 （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)K(-1，0)的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D。證明：點(diǎn)F在直線BD上； 解：（Ⅰ）根據(jù)題意知，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1，0)的距離等于它到直線的距離。 所以，曲線C上每一點(diǎn)在開口向右的拋物線上， ……2分 其中，所以拋物線方

10、程為。 又因?yàn)榍€C在y軸的右邊，所以，曲線C的方程為（）。 ……2分 （Ⅱ）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(x1，-y1)，l的方程為（m≠0）。 將代人，整理得， ∴從而，。 ……2分 直線BD的方程為， 即， ……2分 令y=0，得，所以點(diǎn)F(1，0)在直線BD上。▋ ……2分 21、 （本題滿分12分） 已知，直線l：，橢圓C：，，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)。 （Ⅰ）當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程； （Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)。 （ⅰ）求線段AB長度的最大值； （ⅱ），的重心分別為G，H。若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解：（Ⅰ）因?yàn)橹本€l：經(jīng)過， 所以，得， 又因?yàn)?，所以，故直線l的方程為。 ……4分 （Ⅱ）設(shè)，。 由，消去x得， 則由，知， 且有，。 ……2分 （ⅰ） ……2分 所以，當(dāng)時(shí)，。 ……1分 （ⅱ）由于，，可知，， 因?yàn)樵c(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，所以，即， 所以， ……2分 解得（符合）又因?yàn)椋詍的取值范圍是。▋……1分