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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一章《解三角形應(yīng)用舉例》教案4 新人教A版必修5
知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用
過程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。
情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理
2、的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn)
●教學(xué)重點(diǎn)
推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目
●教學(xué)難點(diǎn)
利用正弦定理、余弦定理來求證簡(jiǎn)單的證明題
●教學(xué)過程
Ⅰ.課題導(dǎo)入
[創(chuàng)設(shè)情境]
師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在
ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
師：根據(jù)以前學(xué)過的三角形面積公式S=ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如h=bsinC
3、代入，可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？
生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解
Ⅱ.講授新課
[范例講解]
例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
4、
分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。
解：（1）應(yīng)用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根據(jù)正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根據(jù)
5、余弦定理的推論，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
應(yīng)用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？
師：你能把這一實(shí)際問題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？
生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。
由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)。
解：設(shè)a=68m,b=88m,c
6、=127m,根據(jù)余弦定理的推論，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
應(yīng)用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m。
例3、在ABC中，求證：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到用正弦定理來證明
證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)
= = = k
顯然 k0，所以
左邊=
==右邊
7、
（2）根據(jù)余弦定理的推論，
右邊=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左邊
變式練習(xí)1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S
提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，
（1） acosA = bcosB
（2） sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”
（1） 師：大家嘗試分別用兩個(gè)定
8、理進(jìn)行證明。
生1：（余弦定理）得
a=b
c=
根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,
A=B
根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形
師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請(qǐng)大家思考，誰的正確呢？
生：第一位同學(xué)的正確。第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因?yàn)閟in2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個(gè)角互補(bǔ)，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
Ⅲ.課堂練習(xí)
課本第21頁練習(xí)第1、2題
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。
Ⅴ.課后作業(yè)
課本第23頁練習(xí)第12、14、15題
●板書設(shè)計(jì)
●授后記
2022年高中數(shù)學(xué) 第一章《解三角形應(yīng)用舉例》教案4 新人教A版必修5
