2022年高中數(shù)學(xué) 隨機變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機分布4完整講義（學(xué)生版）

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 隨機變量及其分布列 版塊二 幾類典型的隨機分布4完整講義（學(xué)生版） 知識內(nèi)容 1． 離散型隨機變量及其分布列 ⑴離散型隨機變量 如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，并且是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，我們把這樣的變量叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母表示． 如果隨機變量的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱為離散型隨機變量． ⑵離散型隨機變量的分布列 將離散型隨機變量所有可能的取值與該取值對應(yīng)的概率列表表示： … … … … 我們稱這個表為離散型隨機變量的概率分布，或稱為離散型

2、隨機變量的分布列． 2．幾類典型的隨機分布 ⑴兩點分布 如果隨機變量的分布列為 其中，，則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的二點分布． 二點分布舉例：某次抽查活動中，一件產(chǎn)品合格記為，不合格記為，已知產(chǎn)品的合格率為，隨機變量為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則的分布列滿足二點分布． 兩點分布又稱分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做伯努利試驗，所以這種分布又稱為伯努利分布． ⑵超幾何分布 一般地，設(shè)有總數(shù)為件的兩類物品，其中一類有件，從所有物品中任取件，這件中所含這類物品件數(shù)是一個離散型隨機變量，它取值為時的概率為 ，為和中較小的一

3、個． 我們稱離散型隨機變量的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱服從參數(shù)為，，的超幾何分布．在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式求出取不同值時的概率，從而列出的分布列． ⑶二項分布 1．獨立重復(fù)試驗 如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果及，并且事件發(fā)生的概率相同．在相同的條件下，重復(fù)地做次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)榇为毩⒅貜?fù)試驗．次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為． 2．二項分布 若將事件發(fā)生的次數(shù)設(shè)為，事件不發(fā)生的概率為，那么在次獨立重復(fù)試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率是，其中．于是得到的分布列 … … …

4、 … 由于表中的第二行恰好是二項展開式 各對應(yīng)項的值，所以稱這樣的散型隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布， 記作． 二項分布的均值與方差： 若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則 ，． ⑷正態(tài)分布 1． 概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時， 直方圖上面的折線所接近的曲線．在隨機變量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨機變量，則這條曲線稱為的概率密度曲線． 曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是，而隨機變量落在指定的兩個數(shù)之間的概率就是對應(yīng)的曲邊梯形的面積． 2．正態(tài)分布 ⑴定義：如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然因素所引起的，而且每一

5、個偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布近似服從正態(tài)分布． 服從正態(tài)分布的隨機變量叫做正態(tài)隨機變量，簡稱正態(tài)變量． 正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為，，其中，是參數(shù)，且，． 式中的參數(shù)和分別為正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差．期望為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布通常記作． 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線． ⑵標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：我們把數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布． ⑶重要結(jié)論： ①正態(tài)變量在區(qū)間，，內(nèi)，取值的概率分別是，，． ②正態(tài)變量在內(nèi)的取值的概率為，在區(qū)間之外的取值的概率是，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距三倍標(biāo)準(zhǔn)差之

6、內(nèi)，這就是正態(tài)分布的原則． ⑷若，為其概率密度函數(shù)，則稱為概率分布函數(shù)，特別的，，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)． ． 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查得． 分布函數(shù)新課標(biāo)不作要求，適當(dāng)了解以加深對密度曲線的理解即可． 3．離散型隨機變量的期望與方差 1．離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 定義：一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能的取的值是，，…，，這些值對應(yīng)的概率是，，…，，則，叫做這個離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）． 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平． 2．離散型隨機變量的方差 一般地，設(shè)一個離散型隨機變量所有可能取的值是，，…，，這

7、些值對應(yīng)的概率是，，…，，則叫做這個離散型隨機變量的方差． 離散型隨機變量的方差反映了離散隨機變量的取值相對于期望的平均波動的大小（離散程度）． 的算術(shù)平方根叫做離散型隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差，它也是一個衡量離散型隨機變量波動大小的量． 3．為隨機變量，為常數(shù)，則； 4． 典型分布的期望與方差： ⑴二點分布：在一次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為，在次二點分布試驗中，離散型隨機變量的期望取值為． ⑵二項分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為和的二項分布，則，． ⑶超幾何分布：若離散型隨機變量服從參數(shù)為的超幾何分布， 則，． 4．事件的獨立性 如果事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率

8、沒有影響，即， 這時，我們稱兩個事件，相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件． 如果事件，，…，相互獨立，那么這個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即，并且上式中任意多個事件換成其對立事件后等式仍成立． 5．條件概率 對于任何兩個事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“”來表示．把由事件與的交（或積），記做（或）． 典例分析 正態(tài)曲線（正態(tài)隨機變量的概率密度曲線） 【例1】 下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是（ ） A． B． C． D． 【例2】 若正態(tài)分布密度函數(shù)，下列判斷正確

9、的是（ ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但沒最小值 C．有最大值，但沒最大值 D．無最大值和最小值 【例3】 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，下列說法不正確的是（ ） A．為偶函數(shù) B．最大值為 C．在時是單調(diào)減函數(shù)，在時是單調(diào)增函數(shù) D．關(guān)于對稱 【例4】 設(shè)的概率密度函數(shù)為，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A． 　　　　　　　　　B． C．的漸近線是　　　　　　　 D． 【例5】 設(shè)，且總體密度曲線的函數(shù)表達式為：，． ⑴求；⑵求及的值． 【例6】 某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計

10、的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題中不正確的是（ ） A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)榉? B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)相同 C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在分以下的人數(shù)相同 D．該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為 正態(tài)分布的性質(zhì)及概率計算 【例7】 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是． ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【例8】 已知隨機變量服從正態(tài)分布，則（ ） A． B． C． D． 【例9】 在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，若在內(nèi)取值的概率為

11、，則在內(nèi)取值的概率為 ． 【例10】 已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（ ） A． B． C． D． 【例11】 已知，若，則（ ） A． B． C． D．無法計算 【例12】 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則． 【例13】 設(shè)，且，則的值是（用表示）． 【例14】 正態(tài)變量，為常數(shù)，，若，求的值． 【例15】 某種零件的尺寸服從正態(tài)分布，則不屬于區(qū)間這

12、個尺寸范圍的零件約占總數(shù)的 ． 【例16】 某校高中二年級期末考試的物理成績服從正態(tài)分布． ⑴若參加考試的學(xué)生有人，學(xué)生甲得分為分，求學(xué)生甲的物理成績排名； ⑵若及格（分及其以上）的學(xué)生有人，求第名的物理成績． 已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表． 【例17】 在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布．已知成績在分以上（含分）的學(xué)生有名． ⑴試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？ ⑵若該校計劃獎勵競賽成績排在前名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線

13、約為多少分？ 附：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表． 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望及方差 【例18】 如果隨機變量，求的值． 正態(tài)分布的原則 【例19】 燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈壽命（單位：），已知，要使燈泡的平均壽命為的概率為，則燈泡的最低使用壽命應(yīng)控制在小時以上． 【例20】 一批電池（一節(jié)）用于手電筒的壽命服從均值為小時、標(biāo)準(zhǔn)差為小時的正態(tài)分布，隨機從這批電池中任意取一節(jié)，問這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于小時的概率是多少？ 【例21】 某班有名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成

14、績服從正態(tài)分布，平均分為，標(biāo)準(zhǔn)差為，理論上說在分到分的人數(shù)是． 雜題（拓展相關(guān)：概率密度，分布函數(shù)及其他） 【例22】 已知連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)， ⑴求常數(shù)的值；⑵求． 【例23】 已知連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)，求的值及． 【例24】 設(shè)隨機變量具有概率密度，求的值及． 【例25】 美軍轟炸機向巴格達某鐵路控制樞紐投彈，炸彈落彈點與鐵路控制樞紐的距離的密度函數(shù)為，若炸彈落在目標(biāo)40米以內(nèi)時，將導(dǎo)致該鐵路樞紐破壞，已知投彈顆，求巴格達鐵路控制樞紐被破壞的概率． 【例26】 以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率，若隨機變量服從正態(tài)分布，則概率等于（ ） A． B． C． D． 【例27】 某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可走，第一條路線穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時間（單位為分）服從正態(tài)分布；第二條路線沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間服從正態(tài)分布 ⑴若只有分鐘可用，問應(yīng)走哪條路線？ ⑵若只有65分鐘可用，又應(yīng)走哪條路線？