2022年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第05講 函數(shù)解析式的求法

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第05講 函數(shù)解析式的求法 【知識(shí)要點(diǎn)】 一、求函數(shù)的解析式的主要方法有以下五種： 1、待定系數(shù)法：如果已知函數(shù)解析式的類型（函數(shù)是二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等）時(shí)，可以用待定系數(shù)法. 2、代入法：如果已知原函數(shù)的解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式時(shí)，可以用代入法. 3、換元法：如果已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式時(shí)，可以用換元法.換元時(shí)，注意新“元”的范圍. 4、解方程組法：如果已知抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量時(shí)，可以用解方程組的方法. 5、實(shí)際問題法：在實(shí)際問題中，根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式.

2、【方法講評】 方法一 待定系數(shù)法 使用情景 已知函數(shù)的類型. 解題步驟 根據(jù)已知先設(shè)出函數(shù)的解析式，再列方程（組）求待定系數(shù). 【例1】已知是一次函數(shù)，且滿足，求. 【點(diǎn)評】（1）本題由于已知函數(shù)的類型是一次函數(shù)，所以可以利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.（2） 由于對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)值都成立，所以最后的 實(shí)際上是一個(gè)恒等式，所以可以比較等式兩邊的系數(shù)分別相等列方程組. 【例2】已知函數(shù)（的圖形的一個(gè)最高點(diǎn)為（2，），由這個(gè)最高點(diǎn)到相鄰的最低點(diǎn)時(shí)曲線經(jīng)過（6，0），求這個(gè)函數(shù)的解析式. 【解析】由題得 【點(diǎn)評】(1)對于三角函數(shù)，待定系數(shù)法同樣適用，

3、關(guān)鍵是通過已知條件找到關(guān)于待定系數(shù)的方程 （組）.(2)對于三角函數(shù)來說，一般利用最小正周期得到的方程，利用最值得到的方程，利用最值點(diǎn)得到的方程. 【反饋檢測1】已知為二次函數(shù)，且 ，且,圖象在軸上截得的線段長為2,求的解析式. 方法二 代入法 使用情景 （1）已知原函數(shù)的解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式；（2）已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式，求對稱區(qū)間的解析式. 解題步驟 （1）直接代入原函數(shù)的解析式即可；（2）一般先在所求的函數(shù)的圖像上任意取一點(diǎn)，然后求出它的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把對稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入對稱點(diǎn)滿足的方程. 【例3】已知函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式. 【解析】由題得 【點(diǎn)

4、評】本題就是已知原函數(shù)的解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式，所以只需直接用“”代換原函數(shù)中的“”即可.這就是代入法求函數(shù)的解析式. 【例4】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的函數(shù)解析式. 【點(diǎn)評】本題就是已知某區(qū)間的函數(shù)的解析式，求對稱區(qū)間的解析式. 一般先在所求的函數(shù)的圖像上 任意取一點(diǎn)，然后求出它的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再把對稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入對稱點(diǎn)滿足的方程.這是高中數(shù)學(xué)常見到的一種題型，要好好地理解和掌握. 【反饋檢測2】設(shè)函數(shù)的圖象為，關(guān)于點(diǎn)對稱的圖象為， 求對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式. 方法三 換元法 使用情景 已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式. 解題步驟

5、 先換元，求出函數(shù)的自變量的表達(dá)式，再代入復(fù)合函數(shù)得到函數(shù)的解析式. 【例5】已知，求. 【解析】令（），則，∴， 所以. 【點(diǎn)評】（1）本題就是已知復(fù)合函數(shù)的解析式，求原函數(shù)的解析式.一般先換元，再求出函數(shù)的自變量的表達(dá)式，再代入復(fù)合函數(shù)得到函數(shù)的解析式.（2）換元時(shí)，一定要注意新元的取值范圍，它就是所求函數(shù)的定義域. 【反饋檢測3】 已知求的解析式. 方法四 解方程組法 使用情景 已知抽象函數(shù)滿足的關(guān)系式中有互為相反的自變量或互為倒數(shù)的自變量. 解題步驟 利用已知構(gòu)造另一個(gè)方程，得到一個(gè)方程組，解方程組即可. 【例6】已知滿足，求． 【解析】 ①，把①

6、中的換成，得 ②， ①②得，∴． 【點(diǎn)評】在已知的方程中有自變量和，它們互為倒數(shù)，所以可以把方程中的地方統(tǒng)一換成，從而又得到一個(gè)關(guān)于的方程，解關(guān)于的方程組即可. 【反饋檢測5】定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，求的表達(dá)式. 方法五 實(shí)際問題法 使用情景 實(shí)際問題 解題步驟 一般情況下根據(jù)函數(shù)的意義求出函數(shù)的解析式，要注意函數(shù)的定義域. 【例7】某人開汽車以的速度從地到遠(yuǎn)處的地，在地停留后，再以 的速度返回地，把汽車離開地的路程表示為時(shí)間（從地出發(fā)是開始）的函數(shù)，再把車速表示為時(shí)間的函數(shù)． 【點(diǎn)評】實(shí)際問題中求函數(shù)的解析式難度比較大，一般要認(rèn)真讀題，再根據(jù)函數(shù)的

7、意義、自變量的意義及其它們之間的關(guān)系建立它們之間的函數(shù)關(guān)系.在寫函數(shù)的解析式時(shí)，要注意函數(shù)的定義域. 【反饋檢測6】 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為萬元，但每生產(chǎn)件需要增加投入萬元，市場對此產(chǎn)品的需要量為件，銷售收入為函數(shù) 萬元，其中是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件）. （1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)； （2）年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年公司所得利潤最大. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第05講：函數(shù)解析式的求法 參考答案 【反饋檢測1答案】 【反饋檢測1詳細(xì)解析】 【反饋檢測2答案】 【反饋檢測2詳細(xì)解析】設(shè)是函數(shù)圖象上任一點(diǎn) ，則關(guān)于對稱點(diǎn)為在 上，即：即： 故. 【反饋檢測3答案】 【反饋檢測5答案】 【反饋檢測5詳細(xì)解析】 【反饋檢測6答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為件時(shí)，公司所得利潤最大. （2）當(dāng)時(shí)， ∴當(dāng)年產(chǎn)量為件時(shí)，公司所得利潤最大， ∵該產(chǎn)品最多賣出件， ∴根據(jù)問題的實(shí)際意義可得，當(dāng)年產(chǎn)量為件時(shí)，公司所得利潤最大.