《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.3坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程試題 理 蘇教版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.3坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程試題 理 蘇教版(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 14.3坐標(biāo)系與曲線的極坐標(biāo)方程試題 理 蘇教版
1.在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsin θ=3,求點(diǎn)到直線l的距離.
解 ∵直線l的極坐標(biāo)方程可化為y=3,點(diǎn)化為直角坐標(biāo)為(,1)∴點(diǎn)到直線l的距離為2.
2.在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cos θ與直線3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求實(shí)數(shù)a的值.
解 化為平面直角坐標(biāo)系:
圓:x2-2x+y2=0,即:(x-1)2+y2=1.
直線:3x+4y+a=0.
∵直線和圓相切,∴=1,
∴a=2或a=-8.
3.在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)O(0,0),P,求以O(shè)P為直徑的圓的極坐標(biāo)方程.
解
2、 設(shè)點(diǎn)Q(ρ,θ)為以O(shè)P為直徑的圓上任意一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),在Rt△OQP中,ρ=3cos,
故所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ=3cos.
4.從極點(diǎn)O作直線與另一直線ρcos θ=4相交于點(diǎn)M,在OM上取一點(diǎn)P,使|OM|·|OP|=12,求點(diǎn)P的軌跡方程.
解 設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ,θ),則M(ρ0,θ).
∵|OM|·|OP|=12.∵ρ0ρ=12.ρ0=.
又M在直線ρcos θ=4上,∴cos θ=4,
∴ρ=3cos θ.這就是點(diǎn)P的軌跡方程.
5.在極坐標(biāo)系中,P是曲線ρ=12sin θ上的動點(diǎn),Q是曲線ρ=12cos (θ-)上的動點(diǎn),試求PQ的最大值.
解 ∵ρ=
3、12sin θ.
∴ρ2=12ρsin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-12y=0,
即x2+(y-6)2=36.
又∵ρ=12cos (θ-),
∴ρ2=12ρ(cos θcos +sin θsin ),
∴有x2+y2-6x-6y=0,
即(x-3)2+(y-3)2=36,
∴PQmax=6+6+=18.
6.設(shè)過原點(diǎn)O的直線與圓(x-1)2+y2=1的一個(gè)交點(diǎn)為P,點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在圓上移動一周時(shí),求點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程,并說明它是什么曲線.
解 圓(x-1)2+y2=1的極坐標(biāo)方程為
ρ=2cos θ,
設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1,θ1),點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(
4、ρ,θ),
∵點(diǎn)M為線段OP的中點(diǎn),∴ρ1=2ρ,θ1=θ,將ρ1=2ρ,θ1=θ代入圓的極坐標(biāo)方程,得ρ=cos θ.
∴點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=cos θ,它表示原心在點(diǎn),半徑為的圓.
7.⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求經(jīng)過⊙O1,⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.
解 (1)ρ=4cos θ,兩邊同乘以ρ,得ρ2=4ρcos θ;
ρ=-4sin θ,兩邊同乘以ρ,得ρ2=-4ρsin θ.
由ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng),ρ2=x2+y2,
得⊙O1,⊙O2的
5、直角坐標(biāo)方程分別為
x2+y2-4x=0和x2+y2+4y=0.
(2)由
①-②得-4x-4y=0,即x+y=0為所求直線方程.
8.求圓心為C,半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程.
解 如圖,設(shè)圓上任一點(diǎn)為P(ρ,θ),
則OP=ρ,∠POA=θ-,
OA=2×3=6,
在Rt△OAP中,OP=OA×cos∠POA,
∴ρ=6cos.∴圓的極坐標(biāo)方程為ρ=6cos.
9.已知A是曲線ρ=12sin θ上的動點(diǎn),B是曲線ρ=12cos上的動點(diǎn),試求線段AB長的最大值.
解 曲線ρ=12sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-6)2=36,
其圓心為(0,6),半徑為6;
曲線ρ
6、=12cos的直角坐標(biāo)方程為(x-3)2+(y-3)2=36,其圓心為(3,3),半徑為6.
所以AB長的最大值= +6+6=18.
10. 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程.
解 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4;
因?yàn)棣?-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2,
所以x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減,
得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x+y=1.
化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin
7、=.
11.已知圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線C的直角坐標(biāo)方程,并求焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
解 由ρ=,得ρcos2θ=4sin θ,ρ2cos2θ=4ρsin θ.又ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng),故所求曲線的直角坐標(biāo)方程是x2=4y,故焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.
12. 已知直線l的參數(shù)方程:(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程:ρ=2·sin.
(1)將直線l的參數(shù)方程化為普通方程,圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.
解 (1)消去參數(shù),得直線l的普通方程為y=2x+1.
ρ=2sin,即ρ
8、=2(sin θ+cos θ),兩邊同乘以ρ,
得ρ2=2(ρsin θ+ρcos θ).
得⊙C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(x-1)2=2.
(2)圓心C到直線l的距離d==<,
所以直線l和⊙C相交.
13.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).
(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C 上的一個(gè)動點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.
解 (1)把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)P化為直角坐標(biāo),得P(0,4).因?yàn)辄c(diǎn)P的
9、直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x-y+4=0,所以點(diǎn)P在直線l上.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線C上,故可設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(cos α,sin α),從而點(diǎn)Q到直線l的距離為d===cos+2,
由此得,當(dāng)cos=-1時(shí),d取得最小值,且最小值為.
14.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與x軸的正半軸重合.若直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin=3.
(1)把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)已知P為橢圓C:+=1上一點(diǎn),求P到直線l的距離的最大值.
解 (1)直線l的極坐標(biāo)方程ρsin=3,則ρsin θ-ρcos θ=3,即ρsin θ-ρcos θ=6,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+6=0.
(2)P為橢圓C:+=1上一點(diǎn),設(shè)P(4cos α,3sin α),其中α∈[0,2π),則P到直線l的距離
d==,其中cos φ=,所以當(dāng)cos(α+φ)=1時(shí),d的最大值為.