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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第一章《“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)》教案1 新人教A版選修2-3
一、復(fù)習(xí)引入：
1．二項(xiàng)式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：
3．求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性
二、講解新課：
1二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取…時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和
2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)
定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）
（
2、1）對稱性．與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（∵）．
直線是圖象的對稱軸．
（2）增減性與最大值．∵，
∴相對于的增減情況由決定，，
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取得最大值；
當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，取得最大值．
（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：
∵，
令，則
三、講解范例：
例1．在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和
證明：在展開式中，令，則，
即，
∴，
即在的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．
說明：由性質(zhì)（3）及例1知.
例2．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）當(dāng)時(shí)，，展開式右邊為
∴，
當(dāng)時(shí)，，∴，
（2）令， ①
令， ②
①② 得：，∴ .
（3）由展開式知：均為負(fù)，均為正，
∴由（2）中①+② 得：，
∴ ，
∴
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)
解：
=，
∴原式中實(shí)為這分子中的，則所求系數(shù)為
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