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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.5 函數(shù)的周期性教案 新課標(biāo)
一. 知識要點(diǎn):
1. 函數(shù)的周期性
周期函數(shù)定義：若函數(shù)滿足 , ，則稱函數(shù)為周期函數(shù)，T是其周期
說明:定義域?yàn)镽時(shí)，若T是周期，那么nT也是周期 ( n為整數(shù)）
2。最小正周期
最小正周期定義:若是周期函數(shù)，且在它所有的周期中存在最小的正數(shù)，稱為的最小正周期。
說明:（1）周期函數(shù)不一定有最小正周期（常數(shù)函數(shù)）
（2）最小正周期相同的兩個(gè)函數(shù)的和，其最小正周期不一定不變
3.如何判斷函數(shù)的周期性：
⑴ 定義; ⑵ 圖象;
⑶利用下列補(bǔ)充性質(zhì)： 設(shè)a>0，則：
① 函數(shù)y=f(x),x∈R, 若
2、f(x+a)=f(x-a)，則函數(shù)的周期為2a
② 函數(shù)y=f(x),x∈R, 若f(x+a)=-f(x)，則函數(shù)的周期為2a
③ 函數(shù)y=f(x),x∈R, 若，則函數(shù)的周期為2a
④ 若函數(shù)的圖象同時(shí)關(guān)于直線與對稱，那么其周期為；
證：若關(guān)于x=a對稱，則有f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，從而有：
f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a代x可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期為；
特例：若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，那么其周期為 T=2a
⑤若函數(shù)關(guān)于直線對稱，
3、又關(guān)于點(diǎn)對稱, 那么函數(shù)的周期是4|b-a|；
證：關(guān)于直線對稱可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，關(guān)于點(diǎn)對稱可得：
f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b代x可得：f(-x)+f(2b+x)=0，與（1）式聯(lián)立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得：
f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），進(jìn)而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，與（2）；聯(lián)立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|；
特例：若函數(shù)是奇函數(shù)，又其圖象關(guān)于直線對稱，那么其周期為T=4a
二. 例題選講:
例1. 已知定
4、義在R上的偶函數(shù)滿足,
且當(dāng)時(shí),, 求的值
解:,又
例２．已知定義在R上函數(shù)滿足,且是偶函數(shù),
當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式.
解：
變式 :已知，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式.
解：
例3：設(shè)函數(shù)在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．（1）試判斷函數(shù)的奇偶性和周期性；
（2）試求方程=0在閉區(qū)間［-xx，xx］上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．
.解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,
從而知函數(shù)不是奇函數(shù),
由
,從而知函數(shù)的周期為
又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);
(2) 由
又
故f(x)在[0,10]和
5、[-10,0]上均有有兩個(gè)解,
從而可知函數(shù)在[0,xx]上有402個(gè)解,在[-xx.0]上有400個(gè)解,
所以函數(shù)在[-xx,xx]上有802個(gè)解.
三. 課外作業(yè):
1.已知定義在R上的函數(shù)，對于任意x都有成立,設(shè), 數(shù)列中值不同的項(xiàng)最多有幾項(xiàng)？
解：由得進(jìn)而得到，即T=8，所以數(shù)列中值不同的項(xiàng)最多有8項(xiàng)；
2.定義在R上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí)，
⑴ 求在上的表達(dá)式.
⑵ 若，且,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：可得周期T=4，⑴ ⑵a<1
3.設(shè)是定義在 上以2為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間，已知當(dāng)當(dāng)時(shí)，，
（1）求在上的解析式；
（2）對，求集合
解：（1）由周期T=2結(jié)合平移可得在上；
（2），即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，也即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，可得：
解得：；
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