2022年高中數(shù)學(xué)《第二章 解三角形》章末質(zhì)量評(píng)估（含解析）北師大版必修5

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1、2022年高中數(shù)學(xué)《第二章 解三角形》章末質(zhì)量評(píng)估（含解析）北師大版必修5 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分) 1．在不等邊三角形中，a是最大的邊，若a2. 又a20， 可知A<，故

2、列，且c＝2a，則cos B等于 (　　)． A. B. C. D. 解析　∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b2＝ac.又c＝2a，∴b2＝2a2. ∴cos B＝＝＝. 答案　B 3．銳角△ABC中，b＝1，c＝2，則a的取值范圍是 (　　)． A．1

3、 B．10，即a2<5，∴a<，若c為最大邊，則a2＋b2>c2， 即a2>3，∴a>，故a，∴C>A＝45°，∴C ＝60°或120°，∴滿(mǎn)足

4、條件的三角形有2個(gè)，即m＝2.∴am＝4. 答案　A 5．在△ABC中，lg a－lg b＝lg sin B＝－lg，B為銳角，則A的值是 (　　)． A．30° B．45° C．60° D．90° 解析　∵lg sin B＝－lg，∴sin B＝，又B為銳角，∴B＝45°，∵lg a－lg b＝－lg， ∴a＝b，sin A＝sin B＝，∴A＝30°. 答案　A 6．有一長(zhǎng)為1 km的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長(zhǎng)為(　　)． A．

5、1 km B．2sin 10° km C．2cos 10° km D．cos 20° km 解析　如圖所示，∠ABC＝20°， AB＝1 km，∠ADC＝10°， ∴∠ABD＝160°. 在△ABD中，由正弦定理 ＝，∴AD＝AB·＝＝ 2cos 10°(km)． 答案　C 7．在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C＝lg 2，則△ABC是 (　　)． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰

6、三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析　∵lg sin A－lg cos B－lg sin C＝2，∴l(xiāng)g＝lg 2.∴sin A＝2cos B sin C，∵A ＋B＋C＝180°，∴sin(B＋C)＝2cos Bsin C，∴sin(B－C)＝0.∴B＝C，∴△ABC為等腰三 角形． 答案　B 8．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，B為銳角，那么角A，B，C的大小關(guān)系為 (　　)． A．A>B>C B．B>A>C C．C>B>A D．C>

7、A>B 解析　由正弦定理得＝，∴sin B＝，又∵B為銳角，∴B＝60°，∴C＝90°， 即C>B>A. 答案　C 9．若△ABC中，sin B·sin C＝cos2，則△ABC的形狀為 (　　)． A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析　由sin B·sin C＝cos2可得2sin B·sin C＝2cos2＝1＋cos A，即2sin B·sin C＝1－ cos(B＋C)＝1－cos Bco

8、s C＋sin Bsin C，∴sin B·sin C＋cos Bcos C＝1，即cos(B－C)＝1， 又－π

9、C＝，則＝________. 解析　由S＝bcsin A＝×1×c×＝，∴c＝4. ∴a＝＝＝. ∴＝＝. 答案　 12．在△ABC中，若S△ABC＝12，ac＝48，c－a＝2，則b＝______. 解析　由S△ABC＝acsin B得sin B＝， ∴B＝60°或120°. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B ＝(a－c)2＋2ac－2accos B ∴b2＝22＋2×48－2×48cos B， ∴b2＝52或148.即b＝2或2. 答案　2或2 13．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c滿(mǎn)足(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3b

10、c，則A＝________. 解析　由已知得(b＋c)2－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc.∴＝.∴A＝. 答案　 14．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，則△ABC的外接圓的直徑為_(kāi)_______． 解析　S△ABC＝ac·sin B＝·c·sin 45°＝c， 又因?yàn)镾△ABC＝2，所以c＝4， 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B＝ 1＋32－2×1×4×＝25， ∴b＝5，所以△ABC外接圓的直徑2R＝＝5. 答案　5 15．三角形三邊長(zhǎng)為a，b，(a>0，b>0)，則最大角為_(kāi)_______． 解析　>a，>b 設(shè)最大角為

11、θ，則cos θ＝＝－，∴θ＝120°. 答案　120° 16．在△ABC中，已知A·A＝9，AB＝3，AC＝5，那么△ABC是________三角形． 解析　∵A·A＝|A|·|A|cos A＝15cos A＝9 ∴cos A＝，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝ 32＋52－2×3×5×＝16，∴BC＝4，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC為直角三角形． 答案　直角 三、解答題(共40分) 17．(10分)濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是隸書(shū)“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．李明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿

12、著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2 m，到達(dá)B點(diǎn)，又測(cè)得泉標(biāo)頂部仰角為80°.你能幫李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1 m) 解　如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端，依題意，∠BAD ＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180° －(60°＋100°)＝20°. 在△ABD中，據(jù)正弦定理， ＝， ∴BD＝＝≈38.5(m)． 在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城廣場(chǎng)上泉標(biāo)的高約為38 m. 18．(10分)已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊．

13、(1)若△ABC的面積S△ABC＝，c＝2，A＝60°，求a、b的值； (2)若a＝ccos B，且b＝csin A，試判斷△ABC的形狀． 解　(1)∵S△ABC＝bcsin A＝， ∴b·2sin 60°＝.得b＝1.由余弦定理得： a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋22－2×1×2·cos 60°＝3， 所以a＝. (2)因?yàn)閍＝c·?a2＋b2＝c2， 所以C＝90°.在Rt△ABC中，sin A＝， 所以b＝c·＝a，所以△ABC是等腰直角三角形． 19．(10分)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，其中c＝10，且＝＝. (1)求

14、證：△ABC是直角三角形； (2)設(shè)圓O過(guò)A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P位于劣弧上，∠PAB＝60°.求四邊形ABCP的面積． (1)證明　根據(jù)正弦定理得＝. ∴sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B. ∴2A＝2B或2A＝π－2B，又∵＝，∴b≠a，A≠B， ∴2A＝π－2B，∴A＋B＝，∴C＝， ∴△ABC是直角三角形． (2)解　由(1)可得a∶b∶c＝3∶4∶5， 又∵c＝10，∴a＝6，b＝8. 在Rt△ACB中， sin ∠CAB＝＝，cos ∠CAB＝. ∴sin ∠PAC＝sin(60°－∠CAB) ＝sin 60°·cos ∠C

15、AB－cos 60°·sin ∠CAB ＝×－×＝(4－3)． 如圖，連接PB，在Rt△APB中， AP＝AB·cos ∠PAB＝5， ∴四邊形ABCP的面積 S四邊形ABCP＝S△ACB＋S△PAC＝ ab＋AP·AC·sin∠PAC ＝24＋×5×8×(4－3)＝18＋8. 20．(10分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，并且a2＝b(b＋c)． (1)求證：A＝2B； (2)若a＝b，判斷△ABC的形狀． 解　(1)因?yàn)閍2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc， 所以在△ABC中，由余弦定理可得， cos B＝＝ ＝＝＝＝， 所以sin A＝sin 2B，故A＝2B. (2)因?yàn)閍＝b，所以＝，由a2＝b(b＋c)可得c＝2b， cos B＝＝＝， 所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC為直角三角形．