2022年（新課程）高中數(shù)學(xué)《第二章 平面向量》質(zhì)量評(píng)估 新人教A版必修4

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1、2022年（新課程）高中數(shù)學(xué)《第二章 平面向量》質(zhì)量評(píng)估 新人教A版必修4 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．給出下列等式：(1)a·0　＝0；(2)0·a＝0；(3)若a，b同向共線，則a·b＝|a|·|b|；(4)a≠0，b≠0，則a·b≠0；(5)a·b＝0，則a·b中至少有一個(gè)為0；(6)若a，b均是單位向量，則a2＝b2.以上成立的是(　　)． A．(1)(2)(5)(6) B．(3)(6) C．(2)(3)(4) D．(3)(6) 解析　因?yàn)閍·0　＝0，所以(1)錯(cuò)；因?yàn)?·a＝0，所以

2、(2)錯(cuò)；當(dāng)a，b同向共線時(shí)，cos〈a，b〉＝1，此時(shí)a·b＝|a|·|b|，所以(3)對(duì)；若a⊥b，盡管a≠0，b≠0，仍有a·b＝0，所以(4)錯(cuò)；當(dāng)a≠0，b≠0，且a⊥b時(shí)，a·b＝0，所以(5)錯(cuò)；因?yàn)閍，b均是單位向量，所以a2?。絙2，即(6)正確．故選D. 答案　D 2．已知向量a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，則a與b的夾角為(　　)． A. B. C. D. 解析　cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]， ∴θ＝. 答案　A 3．設(shè)a，b是共線的單位向量，則|a＋b|的值是(　

3、　)． A．等于2 B．等于0 C．大于2 D．等于0或等于2 解析　|a＋b|＝＝ ＝，∵a與b共線，∴cos θ＝1或cos θ＝－1. ∴|a＋b|＝0或2. 答案　D 4．已知線段AB的中點(diǎn)為C，則－＝(　　)． A．3 B. C. D．3 解析　∵＝2＝－2，∴－＝－3＝3. 答案　A 5．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，則a與b的夾角為(　　)． A．30° B．－150° C．150° D．30°

4、或150° 解析　·<0，∴∠ACB>90°，故答案應(yīng)為C. 答案　C 6．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是(　　)． A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ 解析　根據(jù)基底概念，e1與e2不共線，對(duì)于B，∵－1×7－2×5≠0，故可作平面內(nèi)的一組基底． 答案　B 7．已知非零向量a，b，若a＋2b與a－2b互相垂直，則等于(　　)． A. B．4 C.

5、 D．2 解析　由(a＋2b)·(a－2b)＝0，有a2－2ab＋2ab－4b2＝0，∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴＝2.故選D. 答案　D 8．點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·＝·＝·，則點(diǎn)O是△ABC的(　　)． A．三條內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn) 解析　·＝·?(－)·＝0?·＝0?⊥. 同理可得⊥，⊥. 因此點(diǎn)O是△ABC的垂心．故選D. 答案　D 9．點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量v＝(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位)．設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)

6、為(－10,10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)． A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 解析　由已知，設(shè)平移后M(x，y)，有＝5v，∴(x，y)＝(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)． 答案　C 10．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上且滿足＝2，則·(＋)等于(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　由＝2，AM＝1知，PM＝，PA＝，＋＝2，所以·(＋)＝2·＝2||||cos

7、180°＝2×××(－1)＝－.故選A. 答案　A 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上) 11．已知向量a與b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________. 解析　|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b ＝25×12＋32－10×1×3×＝49， ∴|5a－b|＝7. 答案　7 12．已知點(diǎn)A(2,3)，C(0,1)，且＝－2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________． 解析　設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x－2，y－3)． ＝(－x,1－y)，又＝－2， ∴(x－2，y－3)＝－2(－x,1－

8、y)＝(2x,2y－2)． ∴x＝－2，y＝－1. 答案　(－2，－1) 13．與a＝(12,5)平行的單位向量是________． 解析　由題意設(shè)b＝λa＝(12λ，5λ)，且|b|＝1. 則(12λ)2＋(5λ)2＝1，解得λ＝± ∴b＝或b＝ 答案　或 14．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直線l過(guò)點(diǎn)A(3，－1)且與向量a＋2b垂直，則直線l的方程為________． 解析　a＋2b＝(6,2)＋2＝(－2,3)． 設(shè)P(x，y)為所求直線上任意一點(diǎn)，則 ＝(x－3，y＋1)． ∵·(a＋2b)＝0， ∴－2(x－3)＋3(y＋1)＝0， 整理得2x

9、－3y－9＝0. ∴2x－3y－9＝0即為所求直線方程． 答案　2x－3y－9＝0 三、解答題(本大題共5小題，共54分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(10分)如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PQ∥BC， 且＝t，＝a，＝b，＝c， 試用a，b，c表示與. 解　因?yàn)椋絫，所以＝t，得到BP＝(1－t)AB， ＝＋＝b＋(1－t)＝b＋(1－t)(a?。璪)＝(1－t)a＋tb. 同理可得，＝(1－t)a＋tc. 16．(10分)已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，且||＝2，求向量的坐標(biāo)． 解　設(shè)a＝＝(0

10、,1)，b＝＝，則|a|?。絴b|＝1.即a與b分別是與，共線的單位向量．因?yàn)辄c(diǎn)C在∠AOB的平分線上，所以與a＋b共線．設(shè)＝λ(a＋b)(λ>0)，則＝λ(－，)． ∵||＝2，∴λ2＝4，得λ＝. 故＝. 17．(10分)已知a＝( ，－1)，b＝，且存在實(shí)數(shù)k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求的最小值． 解　∵a＝(，－1)，b＝， ∴|a|＝ ＝2， |b|＝ ＝1. ∴a·b＝ ×＋(－1)×＝0，故有a⊥b. 由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， 即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－kt2＋3k)a·b＝0.

11、 ∴－k|a|2＋(t3－3t)|b|2＝0. 將|a|＝2，|b|＝1代入上式，得－4k＋t3－3t＝0. ∴k＝， ∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－. 故當(dāng)t＝－2時(shí)，有最小值－. 18．(12分)已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，且b≠0，定義函數(shù)f(x)＝2a·b－1. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間； (2)若a∥b，求tan x的值； (3)若a⊥b，求x的最小正值． 解　(1)f(x)＝2a·b－1 ＝2(sin xcos x＋cos2x)－1 ＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin. 由2kπ－≤2x＋

12、≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋. ∴單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z. (2)由a∥b，得sin xcos x－cos2x＝0， ∵b≠0， ∴cos x≠0. ∴tan x－＝0， ∴tan x＝. (3)由a⊥b得sin xcos x＋cos2x＝0， ∵b≠0， ∴cos x≠0 ∴tan x＝－ 故x的最小正值為：x＝. 19．(12分)(xx·溫州高一檢測(cè))平面內(nèi)有四邊形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中點(diǎn)． (1)試用a，b表示； (2)AB上有點(diǎn)P，PC和BM的交點(diǎn)為Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM. 解　(1)＝(＋) ＝(＋＋2)＝a＋b. (2)設(shè)＝t，則 ＝＋＝＋(＋) ＝＋＝t＋·2 ＝(a＋tb)． 設(shè)＝λ＝a＋b， 由于，不共線，則有，解方程組 得λ＝，t＝. 故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.