2022年高二數(shù)學(xué) 11.3相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率(備課資料)大綱人教版必修

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1、2022年高二數(shù)學(xué) 11.3相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率(備課資料)大綱人教版必修 一、參考例題 ［例1］一袋中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，把“從中任意摸出1個(gè)球，得到白球”記作事件A，把“從剩下的3個(gè)球中任意摸出1個(gè)球，得到白球”記作事件B，那么，當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)，事件B的概率是多少？當(dāng)事件A不發(fā)生時(shí)，事件B的概率又是多少？這里事件A與B能否相互獨(dú)立？ 分析：由于不論事件A發(fā)生與否，事件B都是等可能性事件，利用等可能性事件的概率計(jì)算公式可得當(dāng)A發(fā)生時(shí)，P(B)的值和當(dāng)A不發(fā)生時(shí)，P(B)的值. 解：∵當(dāng)事件A發(fā)生時(shí)，P(B)=， 當(dāng)事件A不發(fā)生(即第一個(gè)取到的是黑球)時(shí)，P(B)=. ∴不

2、論事件A發(fā)生與否，對(duì)事件B發(fā)生的概率有影響.所以事件A與B不是相互獨(dú)立事件. ［例2］設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9、0.8,求： (1)目標(biāo)恰好被甲擊中的概率; (2)目標(biāo)被擊中的概率. 分析：設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”,由于事件A與B是相互獨(dú)立的，故A與、與B也是相互獨(dú)立的. 解：設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”. ∵甲、乙兩射手獨(dú)立射擊, ∴事件A與B是相互獨(dú)立的. ∴事件A與、與B都是相互獨(dú)立的. (1)∵目標(biāo)恰好被甲擊中，即A·發(fā)生, ∵P(A·)=P(A)·P()=0.9×0.2=0.18,

3、 ∴目標(biāo)恰好被甲擊中概率為0.18. (2)∵目標(biāo)被擊中，即甲、乙兩人至少有一人擊中目標(biāo)，即事件A·或·B或A·B發(fā)生, 又∵事件A·、·B、A·B彼此互斥. ∴目標(biāo)被擊中的概率 P(A·+·B+A·B) =P(A·)+P(·B)+P(A·B) =P(A)·P()+P()·P(B)+P(A)·P(B) =0.9×0.2+0.1×0.9+0.9×0.8 =0.98. ［例3］甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球；乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中任取一個(gè)球，問(wèn)取得的球是同色的概率是多少？ 分析：設(shè)從甲袋中任取一個(gè)球，事件A：“取得白球”，故此時(shí)事件為“取得紅球”. 設(shè)從乙袋中任取

4、一個(gè)球，事件B：“取得白球”，故此時(shí)事件為“取得紅球”. 由于事件A與B是相互獨(dú)立的，因此事件與也相互獨(dú)立. 由于事件“從每袋中任取一個(gè)球，取得同色”的發(fā)生即為事件A·B或·發(fā)生. 解：設(shè)從甲袋中任取一個(gè)球，事件A：“取得白球”，則此時(shí)事件：“取得紅球”，從乙袋中任取一個(gè)球，取得同色球的概率為 P(A·B+·)=P(A·B)+P(·) =P(A)·P(B)+P()·P() =··. ［例4］甲、乙兩個(gè)同時(shí)報(bào)考某一大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否錄取互不影響，求： (1)甲、乙兩人都被錄取的概率； (2)甲、乙兩人都不被錄取的概率； (3)其中至

5、少一個(gè)被錄取的概率； 分析：設(shè)事件A：“甲被錄取”，事件B：“乙被錄取”. 因?yàn)?，兩人是否錄取相互不影響，故事件A與B相互獨(dú)立.因此與，A與，與B都是相互獨(dú)立事件. 解：設(shè)事件A“甲被錄取”，事件B“乙被錄取”. ∵兩人錄取互不影響, ∴事件A與B是相互獨(dú)立事件. ∴事件與，A與，與B都是相互獨(dú)立事件. (1)∵甲、乙二人都被錄取，即事件(A·B)發(fā)生, ∴甲、乙二人都被錄取的概率 P(A·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.7=0.42. (2)∵甲、乙二人都不被錄取，即事件(·)發(fā)生, ∴甲、乙兩人都不被錄取的概率 P(·)=P()·P() =［1-P(A)］·

6、［1-P(B)］ =0.4×0.3=0.12. (3)∵其中至少一人被錄取，即事件(A·)或(·B)或(A·B)發(fā)生，而事件(A·)，(，B)，(A·B)彼此互斥, ∴其中至少一人被錄取的概率 P(A·+·B+A·B) =P(A·)+P(·B)+P(A·B) =P(A)·P()+P()·P(B)+P(A)·P(B) =P(A)［1-P(B)］+［1-P(A)］·P(B)+P(A)·P(B) =P(A)+P(B)-P(A)·P(B) =0.6+0.7-0.42=0.88. 二、參考練習(xí) 1.選擇題 (1)壇中僅有黑、白兩種顏色大小相同的球，從中進(jìn)行有放回的摸球，用A1表示

7、第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與是 A.相互獨(dú)立事件 B.不相互獨(dú)立事件 C.互斥事件 D.對(duì)立事件 答案：A (2)若事件A與B相互獨(dú)立，則下列不相互獨(dú)立的事件為 A.A與 B. 和 C.B與 D.B與A 答案：C (3)電燈泡使用時(shí)間在1000小時(shí)以上的概率為0.2，則3個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)后壞了1個(gè)的概率是 A.0.128 B.0.096 C.0.104 D.0.384 答案：B (4)某道路的A、B、C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠

8、燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條路上行駛時(shí)，三處都不停車的概率是 A. B. C. D. 答案：A 2.填空題 (1)設(shè)P(A)=0.3，P(B)=0.6，事件A與B是相互獨(dú)立事件，則P(·B)=________. 答案：0.42 (2)棉子的發(fā)芽率為0.9,發(fā)育為壯苗的概率為0.6. ①每穴播兩粒，此穴缺苗的概率為________；此穴無(wú)壯苗的概率為________. ②每穴播三粒，此穴有苗的概率為________；此穴有壯苗的概率為________. 答案：①0.01 0.16 ②1-(0.1)3

9、1-(1-0.6)3 (3)一個(gè)工人生產(chǎn)了四個(gè)零件，設(shè)事件Ak:“新生產(chǎn)的零件第k個(gè)是正品”(k=1,2,3,4),試用P(Ak)表示下列事件的概率(設(shè)事件Ak彼此相互獨(dú)立). ①?zèng)]有一個(gè)產(chǎn)品是次品:________; ②至少有一個(gè)產(chǎn)品是次品:________; ③至多有一個(gè)產(chǎn)品是次品:________. 答案：①P(A1)·P(A2)·P(A3)·P(A4) ②1-P(A1·A2·A3·A4) ③P(·A2·A3·A4)+P(A1··A3·A4)+P(A1·A2··A4)+P(A1·A2·A3·) 3.解答題 (1)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行三次獨(dú)立射擊，第一次、第二次、第三次的命中率分別

10、為0.4、0.5、0.7,求： ①飛機(jī)被擊中一次、二次、三次的概率； ②飛機(jī)一次也沒(méi)有被擊中的概率. 解：①飛機(jī)被擊中一次的概率 P1=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36， 飛機(jī)被擊中二次的概率 P2=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41， 飛機(jī)被擊中三次的概率 P3=0.4×0.5×0.7=0.14. ②飛機(jī)一次也沒(méi)有被擊中的概率 P=0.6×0.5×0.3=0.09. (2)設(shè)有10把各不相同的鑰匙，其中只有一把能打開某間房門，由于不知道哪一把是這間房門的鑰匙，從而只好將這些鑰匙

11、逐個(gè)試一試.如果所試開的一把鑰匙是從還沒(méi)有試過(guò)的鑰匙中任意取出的，試求： ①第一次試能打開門的概率； ②第k次(k=1,2,…,10)試能打開門的概率. 解：①P=. ②P=··…·. (3)在一次三人象棋對(duì)抗賽里，甲勝乙的概率為0.4,乙勝丙的概率為0.5,丙勝甲的概率為0.6，比賽順序如下：第一局，甲對(duì)乙；第二局，第一局勝者對(duì)丙；第三局，第二局勝者對(duì)第一局負(fù)者；第四局，第三局勝者對(duì)第二局負(fù)者，每局比賽必須決出勝負(fù)，試計(jì)算： ①乙連勝4局的概率； ②丙連勝3局的概率. 解：①P=0.6×0.5×0.6×0.5=0.09. ②P=0.4×0.6×0.5×0.6+0.6×0.5

12、×0.6×0.5=0.162. 評(píng)述：注意靈活分析同時(shí)發(fā)生的相互獨(dú)立事件的結(jié)構(gòu)，并加以概率計(jì)算. (4)(xx全國(guó),文20)從10位同學(xué)(其中6女,4男)中隨機(jī)選出3位參加測(cè)驗(yàn).每位女生能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率均為,每位男生能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率均為.試求: ①選出的3位同學(xué)中,至少有一位男同學(xué)的概率; ②10位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率. 解:①隨機(jī)選出的3位同學(xué)中,至少有一位男同學(xué)的概率為1-. ②甲、乙被選中且能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率為. 評(píng)述:靈活應(yīng)用排列、組合、概率等基本概念及獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題. (5)(xx陜、甘、寧,文20)某

13、同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽,需回答3個(gè)問(wèn)題,競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定:答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題分別得100分、100分、200分,答錯(cuò)得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題的概率分別為0.8、0.7、0.6.且各題答對(duì)與否相互之間沒(méi)有影響. ①求這名同學(xué)得300分的概率; ②求這名同學(xué)至少得300分的概率. 解:記“這名同學(xué)答對(duì)第i個(gè)問(wèn)題”為事件Ai(i=1,2,3),則 P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6. ①這名同學(xué)得300分的概率 P1=P(A1A3)+P(A2A3) =P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3) =0.8×0.3×0.6+0.2×0.

14、7×0.6 =0.228. ②這名同學(xué)至少得300分的概率 P2=P1+P(A1A2A3) =0.228+P(A1)P(A2)P(A3) =0.228+0.8×0.7×0.6 =0.564. ●備課資料 一、參考例題 ［例1］甲、乙兩同學(xué)同時(shí)解一道數(shù)學(xué)題，設(shè)事件A：“甲同學(xué)做對(duì)”，事件B：“乙同學(xué)做對(duì)”，試用事件A、B表示下列事件. (1)甲同學(xué)做錯(cuò)，乙同學(xué)做對(duì)； (2)甲、乙同學(xué)同時(shí)做錯(cuò)； (3)甲、乙兩同學(xué)中至少一人做對(duì)； (4)甲、乙兩同學(xué)中至多一人做對(duì)； (5)甲、乙兩同學(xué)中恰有一人做對(duì). 分析：由于事件A：“甲同學(xué)做對(duì)”，事件B：“乙同學(xué)做對(duì)”，則：“

15、甲同學(xué)做錯(cuò)”，：“乙同學(xué)做錯(cuò)”.因?yàn)槭录嗀與B是相互獨(dú)立事件，所以A與，與B，與都是相互獨(dú)立事件. 解：(1)事件與事件B同時(shí)發(fā)生，即·B; (2)事件與事件同時(shí)發(fā)生，即·; (3)事件A·，·B，A·B互斥，其有一發(fā)生，則事件發(fā)生，即A·+·B+A·B; (4)事件可表示為·+·B+A·. (5)事件可表示為A·+·B. ［例2］兩臺(tái)雷達(dá)獨(dú)立地工作，在一段時(shí)間內(nèi)，甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率為0.9,乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率為0.85,計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)，下列各事件的概率. (1)甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)； (2)至少有一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)； (3)至多有一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo). 分析：設(shè)這

16、段時(shí)間內(nèi)，事件A：“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”，事件B：“乙雷達(dá)未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”.由于兩雷達(dá)獨(dú)立工作，故事件A與B相互獨(dú)立. 解：設(shè)事件A：“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”，事件B：“乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”. 因甲、乙兩臺(tái)雷達(dá)獨(dú)立工作，故事件A與B相互獨(dú)立.所以事件A與，與B，與也相互獨(dú)立. (1)∵甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件(·)發(fā)生, ∴甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率 P(·)=P()·P()=［1-P(A)］·［1-P(B)］=0.1×0.15=0.015. (2)解法一：∵至少有一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件“A·+·B+A·B”發(fā)生, 又∵事件A·，·B，A·B彼此互斥, ∴所求的概率 P(A·+·

17、B+A·B) =P(A·)+P(·B)+P(A·B) =P(A)·P()+P()·P(B)+P(A)·P(B) =0.9×0.15+0.1×0.85+0.9×0.85 =0.985. 解法二：∵事件“至少有一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”與事件“兩臺(tái)雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”是對(duì)立事件, ∴所求的概率為 1-P(·)=1-P()·P()=1-0.1×0.15=0.985. (3)解法一：∵至多有一雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，即事件A·+·B+·彼此互斥 ∴所求的概率 P(A·+·B+·) =P(A·)+P(·B)+P(·) =P(A)·P(B)+P()·P(B)+P()·P() =0.9×0.15+0.

18、1×0.85+0.1×0.15 =0.235. 解法二：∵事件“至多一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”與事件“兩雷達(dá)同時(shí)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)”是對(duì)立事件, ∴所求的概率為 1-P(A·B)=1-P(A)·P(B) =1-0.9×0.85=0.235. ［例3］有甲、乙、丙3批罐頭，每批100個(gè)，其中各有1個(gè)是不合法的，從三批罐頭中各抽出1個(gè)，求抽出的3個(gè)中至少有1個(gè)不合格的概率. 分析：設(shè)從甲、乙、丙3批罐頭中各抽出1個(gè)，得到不合格的事件分別為A、B、C；因?yàn)槭录俺槌龅?個(gè)中至少有1個(gè)是不合格的”與事件“抽出的3個(gè)全是合格的”是對(duì)立事件，且事件A、B、C相互獨(dú)立，故所求的事件概率可求. 解：設(shè)從甲、乙、丙

19、三批罐頭中各抽出1個(gè)，得到不合格的事件分別為A、B、C；則事件A、B、C相互獨(dú)立，、、也相互獨(dú)立. ∵事件“抽出的3個(gè)中至少有1個(gè)是不合格的”與事件“抽出的3個(gè)全是合格的”是對(duì)立事件, ∴所求的概率為1-P(··), 即1-P()·P()·P() =1-·· =1-0.993≈0.03. ［例4］已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2. (1)假定有5門這種高炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后被擊中的概率； (2)要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？ 分析：因?yàn)閿硻C(jī)被擊中就是至少有1門高炮擊中敵機(jī)，故敵機(jī)被擊中的概率即為至少有

20、1門高炮擊中敵機(jī)的概率. 解：(1)設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事件為Ak(k=1,2,3,4,5)，那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事件為····. ∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互獨(dú)立, ∴敵機(jī)未被擊中的概率 P(····) =P()·P()·P()·P()·P() =(1-0.2)5=()5. ∴敵機(jī)被擊中的概率為1-()5. (2)至少需要布置n門高炮才能有0.9以上概率被擊中，仿(1)可得敵機(jī)被擊中的概率為1-()n, 令1-()n＞0.9， 即()n＜. 兩邊取常用對(duì)數(shù)，得n＞≈10.3. ∵n∈N*,∴n=11. ∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概

21、率擊中敵機(jī). 評(píng)述：逆向思維在解決帶有詞語(yǔ)“至多”“至少”的問(wèn)題時(shí)的運(yùn)用，常常能使問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)便. 二、參考練習(xí) 1.選擇題 (1)同一天內(nèi)，甲地下雨的概率是0.12,乙地下雨的概率是0.15,假定在這天兩地是否下雨相互之間沒(méi)有影響，那么甲、乙兩地都不下雨的概率是 A.0.102 B.0.132 C.0.748 D.0.982 答案：C (2)一名學(xué)生體育達(dá)標(biāo)的概率是，他連續(xù)測(cè)試2次，那么其中恰有1次達(dá)標(biāo)的概 率為 A. B. C. D. 答案：C (3)甲、乙兩人獨(dú)立地解決一道數(shù)學(xué)

22、題，已知甲能解對(duì)的概率為m，乙能解對(duì)的概率為n,那么這道數(shù)學(xué)題被得到正確解答的概率為 A.m+n B.m·n C.1-(1-m)(1-n) D.1-m·n 答案：C (4)甲、乙兩個(gè)學(xué)生通過(guò)某種英語(yǔ)聽力測(cè)試的概率分別為、，兩人同時(shí)參加測(cè)試，其中有且只有1個(gè)通過(guò)的概率是 A. B. C. D.1 答案：C (5)有10個(gè)均勻的正方體玩具，在它的各面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6，每次同時(shí)拋出，共拋5次，則至少有一次全部都是同一個(gè)數(shù)字的概率是 A.［1-()10］5 B.［1-(

23、)5］10 C.1-［1-()5］10 D.1-［1-()10］5 答案：D 2.填空題 (1)在甲盒內(nèi)有螺桿200個(gè)，其中A型有160個(gè)，在乙盒內(nèi)有螺母240個(gè)，其中A型有180個(gè)，若從甲、乙兩盒內(nèi)各任取一個(gè)，則能配套的一對(duì)螺桿、螺母的概率是________. 答案： (2)某種大炮擊中目標(biāo)的概率是0.7,要以m門這種大炮同時(shí)射擊一次，就可以擊中目標(biāo)的概率超過(guò)0.95,則m的最小值為________. 答案：3 3.解答題 (1)某兩人負(fù)責(zé)照看三臺(tái)機(jī)床工作，如果在某一小時(shí)內(nèi)機(jī)床不需要照看的概率，第一臺(tái)是0.8,第二臺(tái)是0.85,第三臺(tái)是0.9,假定各臺(tái)機(jī)床是

24、否需要照看相互之間沒(méi)有影響，計(jì)算在這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有1臺(tái)機(jī)床要兩人照看的概率為多少？ 解：由題意，可得至少有一臺(tái)機(jī)床要照看的概率， P=1-0.8×0.9×0.85=0.388. ∴至少有1臺(tái)要照看的概率為0.388. (2)某籃球運(yùn)動(dòng)員在罰球上投籃兩次，已知該運(yùn)動(dòng)員一次投籃進(jìn)球的概率為0.8，試求下列各事件的概率. ①兩次都未投進(jìn)； ②只有一次投進(jìn)； ③至少有一次投進(jìn)； ④至多有一次投進(jìn). 解：①P=(1-0.8)2=0.04. ②P=0.8×(1-0.8)+0.2×0.8=0.32. ③P=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96. ④P=0.04+0.32=

25、0.36. (3)一射手射擊時(shí)，命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，求該射手射擊三次得到不少于27環(huán)的概率. 解：“不少于27環(huán)”即每次不少于9環(huán), 則P=0.33+3×0.7×0.7×0.3+0.73=0.811. ∴不少于27環(huán)的概率為0.811. (4)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，先命中目標(biāo)者為勝，已知甲、乙兩人命中目標(biāo)的概率都是，每槍都以甲先乙后的順序進(jìn)行比賽，求： ①甲先勝的概率； ②乙先勝的概率. 解：①據(jù)題意,可知甲先勝的概率 P=+… = =·. ②P=·+… =·［1+()2+()4+…］ =·. 評(píng)述：逆向思維在解決帶有詞語(yǔ)“至多”“

26、至少”的問(wèn)題時(shí)的運(yùn)用，常常能使問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)便. (5)一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有10道單項(xiàng)選擇題,每題都有四個(gè)選項(xiàng).評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:考生每答對(duì)一題得4分,不答或答錯(cuò)一題倒扣1分.某考生能正確解答第1~6道題,第7~9題的四個(gè)選項(xiàng)中可正確排除其中一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng).因此該考生從余下的三個(gè)選項(xiàng)中猜選一個(gè)選項(xiàng).第10題因?yàn)轭}目根本讀不懂,只好亂猜.在上述情況下,試求: (1)該考生這次測(cè)試中得20分的概率; (2)該考生這次測(cè)試中得30分的概率. 解:(1)設(shè)可排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)的試題答對(duì)為事件A,亂猜的一題答對(duì)事件為B, 則P(A)=,P(B)=,那么得分為20分的事件相當(dāng)于事件A獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)3次沒(méi)有1

27、次發(fā)生而事件B不發(fā)生. 其概率為: . 答:該考生這次測(cè)試中得20分的概率為. (2)得30分的事件相當(dāng)于事件A獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)3次有2次發(fā)生而且事件B不發(fā)生,或事件A獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)3次只有1次發(fā)生而且事件B發(fā)生. 其概率 . 答：該考生這次測(cè)試中得30分的概率為. (6)(xx年湖北，文21)為防止某突發(fā)事件發(fā)生,有甲、乙、丙、丁四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用,單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(記為P)和所需費(fèi)用如下表: 預(yù)防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 費(fèi)用(萬(wàn)元) 90 60 30 10 預(yù)防方案可

28、單獨(dú)采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施.在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下,請(qǐng)確定一個(gè)預(yù)防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大. 解:方案一:單獨(dú)采用一種預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過(guò)120萬(wàn)元.由表可知采用甲措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大,其概率為0.9. 方案二:聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施,費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元.由表可知聯(lián)合甲、丙兩種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大,其概率為1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97. 方案三:聯(lián)合采用三種預(yù)防措施,費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元,故只能聯(lián)合乙、丙、丁三種預(yù)防措施,此時(shí)突發(fā)事件不發(fā)生的概率為 1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6) =1

29、-0.2×0.3×0.4=1-0.024=0.976. 綜合上述三種預(yù)防方案，可知在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下,聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大. ●備課資料 一、參考例題 ［例1］求一位病人服用某藥品被治愈的概率為90%，求服用這種藥的10位患有同樣疾病的病人中至少有7人被治愈的概率. 分析：設(shè)事件A：“服用此藥后病人被治愈，則有P(A)=90%”. 解：∵10位病人獨(dú)立地服用此藥相當(dāng)于10次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，至少7人被治愈即是事件A至少發(fā)生7次, ∴所求的概率 P=P10(7)+P10(8)+P10(9)+P10(10) =·0.97·0.1

30、3+·0.98·0.12+·0.99·0.1+·0.910≈0.98. ［例2］某人參加一次考試，若五道題中解對(duì)4道則為及格，已知他解一道題的正確率為0.6,試求他能及格的概率. 分析：設(shè)事件A：“解題一道正確”則P(A)=0.6,由于解題五道相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且他若要獲得及格需解對(duì)4題或5題，因此即在5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A至少發(fā)生4次. 解：設(shè)事件A：“解題一道正確”. ∵解五道題相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且他若要達(dá)到及格需解對(duì)其中的4道題或5道題, ∴事件A必須發(fā)生至少4次，其中“發(fā)生4次”與“發(fā)生5次”是互斥的. ∴所求的概率P=P5(4)+P5(5)=·0.64·0

31、.4+·0.65≈0.34. ［例3］設(shè)在一袋子內(nèi)裝有6只白球，4只黑球，從這袋子內(nèi)任意取球5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋子內(nèi)，求在5次取球中. (1)取得白球3次的概率； (2)至少有1次取得白球的概率. 分析：設(shè)事件A：“取球一只得白球”，由于每次取出的球又放回袋子內(nèi)，因此取球5次可以看成5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 解：(1)設(shè)事件A：“取球一只，得到白球”，則P(A)=，根據(jù)題意,可知從袋子里任意取球5次就是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). ∵取得白球3次相當(dāng)于事件A發(fā)生3次, ∴所求的概率P5(3)=()3()2≈0.35. (2)∵在上述的5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生0次的

32、概率 P5(0)=()0()5≈0.010, ∴所求的概率為1-P5(0)=1-0.01=0.99. ［例4］某車間的5臺(tái)機(jī)床在1小時(shí)內(nèi)需要工人照管的概率都是，求1小時(shí)內(nèi)這5臺(tái)機(jī)床中至少2臺(tái)需要工人照管的概率是多少？ 分析：設(shè)事件A：“一臺(tái)機(jī)床需要工人照管”，則P(A)=，且5臺(tái)機(jī)床需要照管相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).1小時(shí)內(nèi)這5臺(tái)機(jī)床中至少2臺(tái)需要照管就是指事件A至少發(fā)生2次. 解：設(shè)事件A：“一臺(tái)機(jī)床需要工人照管”，則有P(A)=. ∵5臺(tái)機(jī)床需要照管相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn), 而事件A至少發(fā)生2次的概率為 1-［P5(1)+P5(0)］=1-［()()4+()0()5］≈0.3

33、7, ∴所求概率為0.37. ［例5］某人對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不少于0.75,至少應(yīng)射擊n次？ 分析：設(shè)至少射擊n次，事件A：“射擊一次命中目標(biāo)”，則P(A)=0.25.由于“射擊n次至少命中1次”與“射擊n次命中0次”是對(duì)立事件，故射擊n次，至少命中1次的概率為1-Pn(0). 解：設(shè)至少應(yīng)射擊n次，事件A：“射擊一次命中目標(biāo)”，則P(A)=0.25. ∵射擊n次相當(dāng)于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn), ∴事件A至少發(fā)生1次的概率為 1-Pn(0)=1-(0.25)0·(1-0.25)n=1-0.75n. 令1-()n≥,∴()n≤,即 n≥≈4

34、.82. ∵n∈N*,∴n=5. ∴至少射擊5次. 二、參考練習(xí) 1.選擇題 (1)在某一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為P，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)k次的概率為 A.1-Pk B.(1-P)k·Pn-k C.1-(1-P)k D.(1-P)kPn-k 答案：D (2)設(shè)在一次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率為P，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次的概率為Pk,則 A.P1+P2+…+Pn=0 B.P0+P1+P2+…+Pn=1 C.P0+P1+P2+…+Pn=0 D.P1+P2…+Pn=1 答案：B 2.填空題 (1)從次品率

35、為0.05的一批產(chǎn)品中任取4件，恰有2件次品的概率為________. 答案：0.052(1-0.05)2 (2)某事件在5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，一次也沒(méi)有發(fā)生的概率為P5(0)，恰有一次發(fā)生的概率為P5(1)，則該事件至少發(fā)生1次的概率為________. 答案：1-［P5(0)+P5(1)］ 3.解答題 (1)某車間有5臺(tái)車床，每臺(tái)車床的停車或開車是相互獨(dú)立的，若每臺(tái)車床在任一時(shí)刻處于停車狀態(tài)的概率為，求： ①在任一時(shí)刻車間里有3臺(tái)車床處于停車的概率； ②至少有一臺(tái)處于停車的概率. 解：①P=()3(1-)2≈0.11. ②P=1-()0(1-)5≈0.13. (2)種植某種

36、樹苗，成活率為90%，現(xiàn)在種植這種樹苗5棵，試求： ①全部成活的概率； ②全部死亡的概率； ③恰好成活3棵的概率； ④至少成活4棵的概率. 解：①P=0.95≈0.59. ②P=(1-0.9)5=0.15. ③P=·0.93(1-0.9)2≈0.073. ④P=·0.94(1-0.9)+0.95≈0.92. (3)用8門炮摧毀某一目標(biāo)，如果至少命中2發(fā)時(shí)，目標(biāo)就被摧毀，假定每門炮命中目標(biāo)的概率都是0.6,若8門炮同時(shí)向目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，求目標(biāo)被摧毀的概率. 解：分析題意可知“至少要有2門命中目標(biāo)”其概率 P=1-P8(0)-P8(1) =1-0.60(1-0.6)8-·0

37、.6·(1-0.6)7≈0.99. (4)在抗菌素的生產(chǎn)中，常常需要優(yōu)良菌株，若一只菌株變成優(yōu)良菌株的概率是0.05,那么，從一大批經(jīng)過(guò)誘變處理的菌株中，選擇多少株進(jìn)行培養(yǎng)，就能有95%以上的把握至少選到一只優(yōu)良菌株？ 解：設(shè)選n只菌株進(jìn)行培養(yǎng)可得到優(yōu)良菌株, ∴1-Pn(0)=1-0.050(1-0.05)n=1-0.95n≥0.95. ∴n=58. ∴至少選擇58株. (5)甲、乙兩人下棋，在每盤比賽中，甲取勝的概率為0.5,乙取勝的概率為0.4，平局的概率為0.1,他們決定不管如何都要下完三盤棋，誰(shuí)勝兩盤以上(含兩盤)誰(shuí)就是最后的勝利者，分別計(jì)算甲、乙獲勝的概率. 解：甲獲

38、勝的概率 P1=3×0.52×(1-0.5)+3×0.52×0.1+0.53 =4×0.53+0.52×0.3=0.575. 乙獲勝的概率 P2=3×0.42×(1-0.4)+3×0.42×0.1+0.43=0.4. (6)甲、乙兩人投籃，命中率各為0.7和0.6,每人投球三次，求下列事件的概率： ①兩人都投進(jìn)2球； ②兩人投進(jìn)的次數(shù)相等. 解：①P=［0.72·(1-0.7)］×［0.62(1-0.6)］≈0.19. ②P= [0.70·(1-0.7)3·0.60·(1-0.6)3]+ [0.7(1-0.7)2·0.6(1-0.6)2]+ [0.72(1-0.7)·0.62·(1-0.6)]+ [·0.73(1-0.7)0·0.63(1-0.6)0]≈0.148. (7)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，求在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生奇數(shù)次的概率. 解：據(jù)題意,可知 所求概率 P=p(1-p)n-1+p3(1-p)n-3+p5(1-p)n-5+…+{[(1-p)+p]n+ [(1-p)-p]n}=+ (1-2p)n. 評(píng)述：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件至多(或至少)發(fā)生k次的概率計(jì)算的一種常用方法——逆向思維法.