高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)分層作業(yè)五十八 8.9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理

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1、高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課時(shí)分層作業(yè)五十八 8.9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 理 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.若過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線,使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn),這樣的直線有 (　　) A.1條 B.2條 C.3條　　　　D.4條 【解析】選C.結(jié)合圖形分析可知,滿足題意的直線共有3條:直線x=0,過(guò)點(diǎn)(0,1)且平行于x軸的直線以及過(guò)點(diǎn)(0,1),且與拋物線相切的直線(非直線x=0). 2.(xx·濟(jì)南模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為y軸上一點(diǎn),點(diǎn)A是直線MF2與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn),且|OA|=|O

2、F2|=2|OM|,則橢圓C的離心率為(　　) A. B. C. D. 【解析】選D.由題知,M在橢圓的短軸上.設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,連接AF1. 因?yàn)閨OA|=|OF2|,所以|OA|=|F1F2|,即AF1⊥AF2, 因?yàn)?=,所以|AF1|=c, |AF2|=c, 所以2a=|AF1|+|AF2|=c,則橢圓C的離心率為e==. 3.(xx·開(kāi)封模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C1: 2x2-y2=1,過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線,則該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積為 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】

3、選C.不妨設(shè)直線的斜率為,則直線方程為y=,另一條漸近線方程為y=-x,聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)為M,故三角形的面積為S=××=. 【變式備選】已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與雙曲線-=1(a>0)相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),△ABF為直角三角形,則雙曲線的離心率為 (　　) A.3　 B.+1　 C.2　 D. 【解析】選A.由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,代入雙曲線方程可得y=±,不妨設(shè)A,因?yàn)椤鱂AB 是直角三角形,所以可得=p=4?a=, 因此雙曲線的離心率e====3. 4.已知直線y=2(x-1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M(-1,m),

4、若·=0,則m= (　　) A. B. C. D.0 【解析】選B.不妨設(shè)A在B上方. 由 得A(2,2),B,又因?yàn)镸(-1,m)且·=0,所以2m2-2m+1=0,解得m=. 【變式備選】已知雙曲線-=1(b>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于 (　　) A. B.4 C.3 D.5 【解析】選A.由題易得拋物線的焦點(diǎn)為(3,0),所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(3,0),所以b2=c2-a2=9-4=5,所以雙曲線的一條漸近線方程為y=x,即x-2y=0,所以所求距離為d==. 5.直線3x+4y-7=0與橢

5、圓+=1(a>b>0)相交于兩點(diǎn)A,B ,線段AB的中點(diǎn)為M(1,1),則橢圓的離心率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,+=1,作差得+=0即 +=0,兩邊同時(shí)除以(x1-x2)即得+= 0,因?yàn)閤1+x2=2,y1+y2=2,=,代入得+=0,所以=,e=. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知拋物線C:y2=2x,過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與C相交于P,Q兩點(diǎn),且P,Q兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影分別為M,N兩點(diǎn),則S△MFN=________.? 【解析】設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)

6、,所以S△MFN=×p×|y1-y2|=×1×|y1-y2|=|y1-y2|,直線方程是y=x-,與拋物線方程聯(lián)立整理得y2-2y-1=0, y1+y2=2,y1y2=-1,所以|y1-y2|==2.所以S△MFN=|y1-y2|=. 答案: 7.(xx·汾陽(yáng)模擬)斜率為的直線與雙曲線-=1恒有兩個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是________.? 【解析】由題意可知,雙曲線的其中一條(k>0)漸近線斜率大于,>,e=>. 答案: 【變式備選】過(guò)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線有且只有________條.? 【解析】設(shè)

7、該拋物線焦點(diǎn)為F,A(xA,yA), B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|FB|= xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合條件的直線有且只有兩條. 答案:兩 8.已知斜率為2的直線經(jīng)過(guò)橢圓+=1的右焦點(diǎn)F1,與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【解析】由題意知,橢圓的右焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(1,0),直線AB的方程為y=2(x-1). 由方程組消去y,整理得3x2-5x=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=,x1x2=0. 則|AB|= = ==. 答案: 三、解答題(每小題10分,共2

8、0分) 9.已知橢圓E:+=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,),且離心率e=. (1)求橢圓E的方程. (2)設(shè)直線l:x=my-1(m∈R)交橢圓E于A,B兩點(diǎn),判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由. 【解析】(1)由已知,得解得 所以橢圓E的方程為+=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為H(x0,y0). 由得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2=,y1y2=-, 從而y0=. 所以|GH|2=+=+ =(m2+1)+my0+. = = = =(1+m2)(-y1y2), 故|GH|2-=my0+(1+m

9、2)y1y2+ =-+=>0, 所以|GH|>. 故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外. 【一題多解】本題(2)還可以采用以下方法: 設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則 =,=. 由得(m2+2)y2-2my-3=0, 所以y1+y2=,y1y2=-, 從而·=+y1y2 =+y1y2 =(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+ =++=>0, 所以cos<,>>0. 又,不共線,所以∠AGB為銳角. 故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外. 10.(xx·承德模擬)如圖,橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率是,點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上,且·=-1. (1)求橢圓E

10、的方程. (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ,使得·+λ·為定值?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】 (1)由已知,點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(0,-b),(0,b).又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),且·=-1, 于是解得a=2,b=. 所以橢圓E的方程為+=1. (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2). 聯(lián)立得(2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判別式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 所以x1+x2=-,x1x2=-. 從而,·+λ· =x1x2+

11、y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = =--λ-2. 所以,當(dāng)λ=1時(shí),--λ-2=-3. 此時(shí),·+λ·=-3為定值. 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),直線AB即為直線CD.當(dāng)λ=1時(shí),·+λ·=·+·=-2-1=-3. 故存在常數(shù)λ=1,使得·+λ·為定值-3. 1.(5分)已知橢圓C的方程為+=1(m>0),如果直線y=x與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F,則m的值為 (　　) A.2 B.2 C.8 D.2 【解析】選B.根據(jù)已知條件得c=,則點(diǎn)在橢圓+=1(m>0)上

12、,所以+=1,可得m=2(m=-2舍去). 【變式備選】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)在橢圓+=1上,若A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),||=1,且·=0則||的最小值是 (　　) A. B. C.2 D.3 【解析】選B.由||=1可知點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)A為圓心,1為半徑的圓, 過(guò)點(diǎn)P作該圓的切線PM,則|PA|2=|PM|2+|AM|2,得|PM|2=|PA|2-1, 所以要使得||的值最小,則要的值最小,而的最小值為a-c=2, 此時(shí)||的值最小為. 2.(5分)(xx·武漢模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(-4,1),

13、則橢圓的離心率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程得由點(diǎn)差法及x1+x2=-8,y1+y2=2可得yM=-xM,代入k=1,M(-4,1),解得=,所以e==. 3.(5分)(xx· 衡水模擬)已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn),在拋物線AOB這段曲線上有一點(diǎn)P,則△APB的面積的最大值為_(kāi)_______. 【解析】由弦長(zhǎng)公式知|AB|=3,只需點(diǎn)P到直線AB距離最大就可保證△APB的面積最大.設(shè)與l平行的直線y=2x+b與拋物線相切,解得b=. 所以d=,所

14、以(S△APB)max =×3×=. 答案: 4.(12分)(xx·貴陽(yáng)模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓+=1(a>b>0)的離心率為,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB斜率為0時(shí),|AB|=4. (1)求橢圓的方程. (2)若|AB|+|CD|=,求直線AB的方程. 【解析】(1)由題意知e==,2a=4. 又a2=b2+c2,解得a=2,b=, 所以橢圓方程為+=1. (2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí),另一條弦所在直線的斜率不存在,由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件. ②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí),設(shè)直線AB

15、的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 則直線CD的方程為y=-(x-1). 將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 則x1+x2=,x1·x2=, 所以|AB|=|x1-x2| =· =. 同理,|CD|==. 所以|AB|+|CD|=+ ==,解得k=±1, 所以直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0. 5.(13分)已知曲線C的方程為+=4,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)作斜率為k的直線l,l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),l與直線x=-4交于點(diǎn)D,O是坐標(biāo)原點(diǎn). (1)若+=2,求k的值. (

16、2)是否存在實(shí)數(shù)k,使△AOB為銳角三角形?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)由+=4 得+=4>2. 所以曲線C是以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點(diǎn),4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓. 所以曲線C的方程為+=1,即3x2+4y2=12. 因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),斜率為k,所以直線l的方程為y=k(x+1). 因?yàn)橹本€l與直線x=-4交于點(diǎn)D,所以D(-4,-3k).設(shè)A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k). 由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 由+=2得2x2-x1=-4. 由2x2-x1=-4和x1+x2=, 得x1=,x2=-. 因?yàn)閤1x2=, 所以×=, 化簡(jiǎn)得4k4-k2-5=0, 解得k2=或k2=-1<0(舍去).解得k=±. (2)由(1)知,A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k), x1+x2=,x1x2=. 因?yàn)?(x1,kx1+k),=(x2,kx2+k), ·=x1x2+(kx1+k)(kx2+k) =(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=<0, 所以∠AOB>. 所以不存在實(shí)數(shù)k,使△AOB為銳角三角形.