4、得：，若為偶函數(shù)，則必為的奇數(shù)倍，而在中只有滿足題意，所以，故選B.
【思路點撥】先利用公式求出周期，再結合偶函數(shù)的性質得到即可.
【題文】5．已知a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，下列命題中正確的是( )
A．若α∥b，β∥b，則α∥β B．若α∥a，α∥b，則a∥b
C．若a⊥α，b⊥β，則α∥β D．若a⊥α，a⊥β，則α∥β
【知識點】 空間中線線、線面間的位置關系. G4 G5
【答案解析】D 解析：對于A：若α∥b，β∥b，則α∥β或相交，故A錯誤；
對于B：若α∥a，α∥b，則a與b平行、相交或異面.故B錯誤；
對于C：明顯錯誤；對
5、于D：若a⊥α，a⊥β，則α∥β，正確.
故選D.
【思路點撥】依據(jù)定理、公理依次排除即可.
【題文】6．若ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x<－2或x>4},則對于函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c應有( )
A．f(5)4}，可知：，
，解得：，代入，即，
所以，表示開口方向向下，對稱軸為1的拋物線，
6、則函數(shù)在遞減，所以，而由對稱性可得：，所以，故選B.
【思路點撥】先由不等式的解集判斷出a的符號以及與b，c的關系，再由單調性得到的關系為，而由對稱性可得：即可得解.
【題文】7.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則得到的這個新三角形的形狀為( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．由增加的長度決定
【知識點】余弦定理.C8
【答案解析】A 解析：設增加同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三邊長為a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x為最大邊，其對應角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋
7、2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正，則為銳角，那么它為銳角三角形．故選A.
【思路點撥】設增加同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三邊長為a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x為最大邊，其對應角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正即可判斷.
【題文】8．若<<0，則下列不等式中不正確的是( )
A．abb2 D.＋>2
【知識點】比較大小.E1
【答案解析】C 解析：令
8、代入檢驗可排除A,B,D；故選C.
【思路點撥】利用排除法與賦值法相結合可得結果.
【題文】9．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，觀察下列運算：( )
a1·a2＝log23·log34＝·＝2；
a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·……·log78
＝··……·＝3；…….
若a1·a2·a3·……·ak(k∈N*)為整數(shù)，則稱k為“企盼數(shù)”，
試確定當a1·a2·a3·……·ak＝2 014時，“企盼數(shù)”k為
A．22 014＋2 B．22 014 C．22 014－2 D．22 014－4
【知識點】對數(shù)的運算
9、.B7
【答案解析】C 解析： a1·a2·a3·……·ak＝＝2 014?lg(k＋2)＝lg 22 014?k＝22 014－2.
【思路點撥】由新定義計算a1·a2·a3·……·ak后再解方程即可.
【題文】10．過點(－2，0)的直線l與拋物線y＝相交于兩點，且在這兩個交點處拋物線的切線互相垂直，則直線l的斜率k等于( )
A．－ B．－ C. D.
【知識點】導數(shù)的幾何意義；拋物線的性質.B11 H7
【答案解析】C 解析：對拋物線y＝，y′＝x，l的方程是y＝k(x＋2)代入y＝得：x2－2kx－4k＝0，設兩個交點是A(x1，y1)，B(x2
10、，y2)，則，而在這兩個交點處拋物線的切線互相垂直即x1x2＝－1.∴k＝且滿足Δ>0.
【思路點撥】設出直線方程再與拋物線方程聯(lián)立轉化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系以及判別式求出，然后結合在這兩個交點處拋物線的切線互相垂直即可得到結果.
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分．請把答案填在答題卷對應題號后的橫線上．
11．在200個產品中，一等品40個，二等品60個，三等品100個，用分層抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，則從二等品中應抽取___個．
【知識點】分層抽樣.I1
【答案解析】12 解析：用分層抽樣的方法抽取的比例為，所以從二等品中應抽取
11、，故答案為12.
【思路點撥】分層抽樣的特點是按比例進行抽取，先計算出抽取的比例，在計算從二等品中應抽取的個數(shù)即可.
【題文】12．閱讀右邊的框圖填空：若a＝0.80.3，b＝0.90.3，c＝log50.9，則輸出的數(shù)是___．
【知識點】程序框圖；指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質.B6 B7 L1
【答案解析】b(或0.90.3)解析：因為由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質可知：且，根據(jù)框圖的流程指向可得輸出的結果為b，故答案為b(或0.90.3).
【思路點撥】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質判斷出a，b，c的大小關系，再由框圖的流程指向可得輸出的結果.
【題文】13．若直線y＝kx與
12、圓x2＋y2－4x＋3＝0相切，則k的值是____．
【知識點】直線與圓的位置關系.H4
【答案解析】 解析：因為直線y＝kx與圓x2＋y2－4x＋3＝0相切，所以圓心到直線的距離，解得，故答案為.
【思路點撥】直線y＝kx與圓x2＋y2－4x＋3＝0相切轉化為圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出方程解之即可.
【題文】14．設函數(shù)f(x)＝x(ex＋1)＋x2，則函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為____．
【知識點】函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系.B12
【答案解析】解析：因為函數(shù)f(x)＝x(ex＋1)＋x2，所以其導函數(shù)為：，又因為求其單調遞增區(qū)間，所以，即，解得：，故答案為.
13、
【思路點撥】先求導，再利用解不等式即可.
【題文】15．當n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù)．如N(3)＝3，N(10)＝5，….記S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．
則(1)S(3)＝____；(2)S(n)＝____.
【知識點】函數(shù)值的求解.B1
【答案解析】22； 解析：由題設知，N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1.
又S(0)＝N(1)＝1.
(1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]
?。絒1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)
14、]
?。?2＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋40＋S(0)＝22.
(2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)]
＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]，
∴S(n)＝4n－1＋S(n－1)(n≥1)，
∴S(n)＝4n－1＋4n－2＋…＋41＋40＋1＝.
【思路點撥】（1）由題意可得，S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（8），分別尋求每一項的值，然后可求;
（2）先根據(jù)題意求出當n=1時，S（1）=N（1）+N（2），S（2）=N（1）+N（2）+
15、N（3）+N（4），S（3）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（8），S（4）=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（16），根據(jù)值出現(xiàn)的規(guī)律總結一般規(guī)律，然后可求.
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx＋1(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值；
(2)求當x∈(0，]時f(x)的值域．
【知識點】二倍角公式；三角函數(shù)的最值.C4 C6
【答案解析】(1) ω＝2. (2)
解析：(1)f(x)＝sin ωxcos
16、ωx＋＋1＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋
＝sin＋.
∵ω>0，∴T＝＝π，∴ω＝2. (6分)
(2)由(1)得：f(x)＝sin＋., ∵0
17、)
5
0.1
第二組
[210，240)
10
0.2
第三組
[240，270)
12
0.24
第四組
[270，300)
a
b
第五組
[300，330)
6
c
(1)求表中a、b、c的值；
(2)某課題小組為了研究自主學習時間與成績的相關性，需用分層抽樣的方法從這50名學生中隨機抽取20名作統(tǒng)計分析，則在第二組學生中應抽取多少人？
(3)已知第一組學生中有3名男生和2名女生，從這5名學生中隨機抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【知識點】頻率分布表；分層抽樣；古典概型.I1 I2 K2
【答案解析】 (1) a＝17
18、，b＝0.34，c＝0.12. (2)4 (3) P＝.
解析： (1)由表知5＋10＋12＋a＋6＝50，
則a＝17，b＝＝0.34，c＝＝0.12. (4分)
(2)因為10×＝4，所以在第二組學生中應抽取4人． (7分)
(3)從5名學生中隨機抽取2人有10種取法(可列舉出來)，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情況有6種(也列舉出來)，則所求概率P＝＝. (12分)
【思路點撥】(1) 根據(jù)總數(shù)為50 先求a的值，再計算b，c即可(2) 按比例抽取即可，(3)列舉出從5名學生中隨機抽取2人的所有情況，再找出滿足題意的情況，代入公式即可.
【題文】18．(本題滿分12分)
19、如圖，已知三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥BC，
PC＝BC＝4，AB＝2，E、F分別是PB、PA的中點．
(1)求證：側面PAB⊥側面PBC；
(2)求三棱錐P－CEF的外接球的表面積．
【知識點】面面垂直的判定；組合體.G5 G8
【答案解析】(1)見解析 (2) 17π.
解析：(1)∵PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，
又AB⊥BC，則AB⊥側面PBC，AB?側面PAB，
故側面PAB⊥側面PBC. (6分)
(2)∵PC＝BC＝4，E為PB的中點，∴CE⊥PB，
而側面PAB垂直側面PBC于PB，∴CE⊥EF.
由E、F分別是PB、PA的中點有E
20、F∥AB，
則EF⊥側面PBC.
故EC、EF、EP兩兩垂直， (9分)
三棱錐P－CEF的外接球就是以EC、EF、EP為長、寬、高的長方體的外接球，易求得EC＝EP＝2，EF＝1，
其外接球的直徑是＝，
故所求三棱錐P—CEF的外接球的表面積是4π＝17π. (12分)
【思路點撥】(1) PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，又AB⊥BC，則AB⊥側面PBC，AB?側面PAB，
故側面PAB⊥側面PBC. (2)由已知得到三棱錐P－CEF的外接球就是以EC、EF、EP為長、寬、高的長方體的外接球即可求出結果.
【題文】19．(本題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－(
21、a＋2)x＋b(a，b∈R)在[－1，1]上是減函數(shù)．
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)設
22、)在[a－1，a]上是減函數(shù)， (7分)
∴fmax＝f(a－1)＝(a－1)3＋a(a－1)2－(a＋2)(a－1)＋b，
fmin＝f(a)＝a3＋a3－a(a＋2)＋b.
依條件有fmax－fmin≤，
∴fmax－fmin＝－2a2＋a＋≤， (11分)
即8a2－10a＋3≥0，
a≥或a≤，
∵
23、圖，已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，定點A(c是雙曲線的半焦距)，雙曲線虛軸的下端點為B.過雙曲線的右焦點F(c，0)作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足2＝＋(O為原點)，且A、B、D三點共線．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)若a＝2，過點B的直線l交雙曲線的左、右支于M、N兩點，
且△OMN的面積S△OMN＝2，求l的方程．
【知識點】直線與圓錐曲線的關系；雙曲線的簡單性質．H6 H8
【答案解析】(1) (2) y＝±x－1.
解析：(1)∵B(0，－b)，A，易求得P.
∵2＝＋，即D為線段FP的中點，∴D. (3分)
又A、B、D共線．而＝，＝，
24、
∴·(－b)＝，得a＝2b， (5分)
∴e＝＝＝＝. (6分)
(2)∵a＝2，而e＝，∴b2＝1，
故雙曲線的方程為－y2＝1.① (7分)
∴B點的坐標為(0，－1)，設l的方程為y＝kx－1，②
②代入①得(1－4k2)x2＋8kx－8＝0，
由題意得：，得：k2<. (9分)
設M、N的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
則x1＋x2＝.
而S△OMN＝|OB|(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|＝
＝＝＝2， (11分)
整理得24k4－11k2＋1＝0，解得：k2＝或k2＝(舍去)．
∴所求l的方程為y＝±x－1. (13分)
【思路點撥】
25、(1) 欲求雙曲線的離心率，只需找到含a，c的齊次式，由已知，易求P點坐標，根據(jù)2＝＋ (O為原點)，可判斷D點為FP的中點，再根據(jù)
已知可找到a，b的關系，進而轉化為含a，c的等式，即可求出離心率e的值．
（2）當a=2時，根據(jù)（1）中所求離心率，可求出b的值，進而求出雙曲線方程，根據(jù)直線MN過B點，設出直線MN的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出x1+x2，x1x2，△OMN被y軸分成兩個三角形，分別求出面積，再相加，即為△OMN的面積，讓其等于題目中所給的值，可得到關于直線l的斜率k的方程，解出k即可．
【題文】21．(本題滿分13分)
設不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內整
26、點的個數(shù)為an(橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點)．
(1)n＝2時，先在平面直角坐標系中作出區(qū)域D2，再求a2的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)記數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，試證明：對任意n∈N*
恒有＋＋…＋<成立．
【知識點】等差數(shù)列的前n項和；不等式的證明.D2 E7
【答案解析】(1)25 (2) 10n＋5. (3)見解析
解析： (1)D2如圖中陰影部分所示，
∵在4×8的矩形區(qū)域內有5×9個整點，對角線上有5個整點，
∴a2＝＝25. (3分)
(另解：a2＝1＋3＋5＋7＋9＝25)
(2)直線y＝nx與x＝4交于點P(4，4n)，
據(jù)題意有an＝＝10n＋5. (6分)
(另解：an＝1＋(n＋1)＋(2n＋1)＋(3n＋1)＋(4n＋1)＝10n＋5)
(3)Sn＝5n(n＋2)． (8分)
∵＝＝·<，
∴＋＋…＋<＋＋…＋ (11分)
＝
＝<. (13分)
【思路點撥】(1) 根據(jù)已知條件畫出圖形即可；(2) 借助于等差數(shù)列的前n項和公式即可；(3)先利用裂項相消法，再結合放縮法即可.
2022年高三數(shù)學第一次月考試題 文（含解析）湘教版
