2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題12 數(shù)列 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)剖析

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1、2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題12 數(shù)列 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和考點(diǎn)剖析 主標(biāo)題:等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 副標(biāo)題:為學(xué)生詳細(xì)的分析等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的高考考點(diǎn)、命題方向以及規(guī)律總結(jié)。 關(guān)鍵詞:等比數(shù)列,等比數(shù)列前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的判斷 難度:3 重要程度:5 考點(diǎn)剖析: 1.理解等比數(shù)列的概念,掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式. 2.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題. 3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 命題方向:本部分在高考中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),考查這兩種數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡(jiǎn)單運(yùn)算、通項(xiàng)公式、求和公式等,屬于中

2、檔題;以解答題出現(xiàn)時(shí),各省市的要求不太一樣,有的考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和等知識(shí),屬于中檔題;有的與函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)結(jié)合考查,難度較大. 規(guī)律總結(jié): 1.一個(gè)區(qū)別 等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差可以為零,且等差中項(xiàng)唯一;而等比數(shù)列首項(xiàng)和公比均不為零,等比中項(xiàng)可以有兩個(gè)值.如(1)中的“常數(shù)”,應(yīng)為“同一非零常數(shù)”;(2)中,若b2=ac,則不能推出a,b,c成等比數(shù)列,因?yàn)閍,b,c為0時(shí),不成立. 2.兩個(gè)防范 一是在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),必須注意對(duì)q=1或q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤,如(4). 二是運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí),注意條件

3、的限制,如(6)中當(dāng)=q<0時(shí),ln an+1-ln an=ln q無(wú)意義. 1.等比數(shù)列的三種判定方法 (1)定義:=q(q是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (2)通項(xiàng)公式:an=cqn-1(c、q均是不為零的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. (3)等比中項(xiàng)法:a=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列. 2.等比數(shù)列的常見(jiàn)性質(zhì) (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則am·an=ap·aq=a; (2)若數(shù)列{an}、{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}、、{a}、{an·bn}、(λ

4、≠0)仍然是等比數(shù)列; (3)在等比數(shù)列{an}中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列,公比為qk; (4)公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn,當(dāng)公比為-1時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定構(gòu)成等比數(shù)列. 3.求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式中聯(lián)系著五個(gè)量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三個(gè)量,可以通過(guò)解方程(組)求出另外兩個(gè)量;其中基本量是a1與q,在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1與q

5、的方程或者方程組,是解題的關(guān)鍵. (2)分類討論思想:在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),必須分類求和,當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),Sn=;在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時(shí),也必須對(duì)a1與q分類討論. 【知識(shí)梳理】 1.等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)等比數(shù)列的定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示. 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式:=q(n≥2),q為常數(shù). (2)等比中項(xiàng) 如果a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即:G是a與b的等比中項(xiàng)?a,G,b成等比數(shù)列?G2=a

6、b. 2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 (1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比是q,則其通項(xiàng)公式為an=a1qn-1; 若等比數(shù)列{an}的第m項(xiàng)為am,公比是q,則其第n項(xiàng)an可以表示為an=amqn-m. (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),Sn==. 3.等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì) (1)若{an}為等比數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak·al=am·an. (2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比數(shù)列,公比為qm. (3)當(dāng)q≠-1,或q=-1且n為奇數(shù)時(shí),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn. (4)若{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍是等比數(shù)列.

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