高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明基本知能檢測 新人教B版選修1-2

7、1)2 C.n2(n－1)2 D.n2(n＋1)2 [答案]　D [解析]　由1＝12,9＝32,36＝62,100＝102，…，知13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝[]2＝，故選D. 12．如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f(x)|≤M(x)恒成立，那么就稱函數(shù)f(x)為有界泛函數(shù)，下面四個函數(shù)：①f(x)＝1；②f(x)＝x2；③f(x)＝(sinx＋cosx)x；④f(x)＝.其中屬于有界泛函數(shù)的是(　　) A．①②　　　 B．①③　　　 C．②④　　　 D．③④ [答案]　D [解析]　∵sinx＋cosx＝sin(x＋)≤，

8、 ∴存在常數(shù)M≥成立|sinx＋cosx|≤M， ∴|x(sinx＋cosx)|≤M(x)， 即|f(x)|≤M(x)成立， ∴③是有界泛函數(shù)； ∵x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥， ∴||≤， ∴存在常數(shù)M≥， 使≤M(x)， 即|f(x)|≤M(x)成立， ∴④是有界泛函數(shù)，因此選D. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上) 13．平面上，周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大．將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是______________________________________

9、． [答案]　表面積一定的空間體中，球的體積最大 [解析]　平面中的“周長”類比成空間中的“面積”，“平面圖形”類比成“空間體”，“面積”類比成“體積”，“圓”類比成“球”． 14．已知f(x)＝是奇函數(shù)，那么實數(shù)a的值等于__________． [答案]　1 [解析]　因為f(x)＝(x∈R)是奇函數(shù)， 則f(－x)＋f(x)＝＋＝0，所以a＝1. 15．已知數(shù)列{an}，a1＝，an＋1＝，則a2、a3、a4、a5分別為______________，猜想an＝____________. [答案]　，，，　 [解析]　每一項的分子相同，分母是從7開始的自然數(shù)． 16．已知

10、正項等比數(shù)列{an}滿足：a7＝a6＋2a5，若存在兩項am、an使得＝4a1，則＋的最小值為________． [答案]　 [解析]　∵{an}為等比數(shù)列，an>0，a7＝a6＋2a5， ∴a1q6＝a1q5＋2a1q4， ∴q2－q－2＝0，∴q＝－1或2. ∵an>0，∴q＝2. ∵＝4a1，∴a1qm－1·a1qn－1＝16a，∴qm＋n－2＝16， 即2m＋n－2＝24， ∴m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)(＋)＝·(5＋＋)≥，等號在＝，即m＝2，n＝4時成立． 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分

11、)已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)．求證：a是偶數(shù)． [證明]　假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)，則設(shè)a＝2n＋1(n∈Z)． ∴a2＝4n2＋4n＋1. ∵4(n2＋n)是偶數(shù)，∴4n2＋4n＋1是奇數(shù)， 這與已知a2是偶數(shù)矛盾，故假設(shè)錯誤， 從而a一定是偶數(shù)． 18．(本題滿分12分)觀察下列數(shù)表： 1， 2,3， 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15， …… (1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少？ (2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？ (3)2 008是第幾行的第幾個數(shù)？ [解析]　(1)由表知，從第二行起每行的第一個數(shù)為偶數(shù)，所以第n＋1行的第一個

12、數(shù)為2n，第n行的最后一個數(shù)為2n－1. (2)由(1)知第n－1行的最后一個數(shù)為2n－1－1，第n行的第一個數(shù)為2n－1，第n行的最后一個數(shù)為2n－1.又觀察知，每行數(shù)字的個數(shù)與這一行的第一個數(shù)相同，所以由等差數(shù)列求和公式得 Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2. (3)因為210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一個數(shù)為211－1＝2 047，所以2 008是在第11行中，由等差數(shù)列的通項公式得2 008＝1 024＋(n－1)·1，所以n＝985，所以2 008是第11行的第985個數(shù)． 19．(本題滿分12分)已知a、b是不相等的正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2

13、，求證1a2＋ab＋b2＝a＋b， 即(a＋b)2>a＋b，且a>0，b>0， ∴a＋b>1.要證a＋b<， 只需證3(a＋b)<4， 即證3(a＋b)2<4(a＋b)， 也就是要證3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2)， 即需證(a－b)2>0. 而(a－b)2>0顯然成立，∴1

14、函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論． [解析]　(1)tan(x＋)＝ ＝. (2)f(x)是以4為其一個周期的周期函數(shù)． ∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝ ＝＝－， ∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)． ∴f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為4. 21．(本題滿分12分)已知f(x)＝－x3－x＋1(x∈R)． (1)求證：y＝f(x)是定義域上的減函數(shù)； (2)求證：滿足f(x)＝0的實數(shù)根x至多只有一個． [證明]　(1)∵f′(x)＝－3x2－1 ＝－(3x2＋1)<0(x∈R)， ∴y＝f(x)是定義域上的減函數(shù)． (2)假設(shè)f(x)＝0的實數(shù)根x至

15、少有兩個，不妨設(shè)x1≠x2，且x1、x2∈R， f(x1)＝f(x2)＝0. ∵y＝f(x)在R上單調(diào)遞減， ∴當(dāng)x1f(x2)， 當(dāng)x1>x2時，f(x1)

16、∴x2＋y2≥2. ②x2＋y2－2＝x2＋y2－xy＝(x2－2xy＋y2)＝(x－y)2≥0， ∴x2＋y2≥2. ③x2＋y2－2 ＝x2＋y2－＝(x－y)2≥0， ∴x2＋y2≥2. (2)一般的結(jié)論是：已知x、y∈R，a、b都是正數(shù)，且a＋b＝1，則(ax2＋by2)≥(ax＋by)2. 證明：∵a＋b＝1，∴a＝1－b>0，b＝1－a>0. ∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2， 又∵a>0,1－a>0，(x－y)2≥0， ∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0， 即ax2＋by2≥(ax＋by)2.