2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理《教案》 1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 變形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bs

2、in C＝csin B，asin C＝csin A (5)cos A＝ cos B＝； cos C＝ 2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r. 3．在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下： A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a＝bsin A bsin Ab 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)在△ABC中，A>B必有sin A>sin B

3、．(　√　) (2)若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個(gè)，那么a的取值范圍是(，2)．(　√　) (3)若△ABC中，acos B＝bcos A，則△ABC是等腰三角形．(　√　) (4)在△ABC中，tan A＝a2，tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．(　×　) (5)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，三角形ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，三角形為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時(shí)，三角形為鈍角三角形．(　×　) (6)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，則△ABC的面積等于.(　×　) 1．(xx·湖南改編)在銳角△ABC中，角A

4、，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，若2asin B＝b，則角A＝ . 答案　 解析　在△ABC中，利用正弦定理得 2sin Asin B＝sin B，∴sin A＝. 又A為銳角，∴A＝. 2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B， ∴△ABC為鈍角三角形． 3．(xx·江西改編)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，則△ABC的面積是

5、 ． 答案　 解析　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.① ∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.② 由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. ∴S△ABC＝absin C＝×6×＝. 4．(xx·廣東)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，則＝ . 答案　2 解析　方法一　因?yàn)閎cos C＋ccos B＝2b， 所以b·＋c·＝2b， 化簡(jiǎn)可得＝2. 方法二　因?yàn)閎cos C＋ccos B＝2b， 所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，

6、故sin(B＋C)＝2sin B， 故sin A＝2sin B，則a＝2b，即＝2. 題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 例1　(xx·山東)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝. (1)求a，c的值； (2)求sin(A－B)的值． 解　(1)由余弦定理得： cos B＝＝＝， 即a2＋c2－4＝ac. ∴(a＋c)2－2ac－4＝ac，∴ac＝9. 由得a＝c＝3. (2)在△ABC中，cos B＝， ∴sin B＝＝ ＝. 由正弦定理得：＝， ∴sin A＝＝＝. 又A＝C，∴0

7、＝， ∴sin (A－B)＝sin Acos B－cos Asin B ＝×－×＝. 思維升華　(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷． 　(1)(xx·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，則cos A的值為

8、 ． (2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，則c＝ . 答案　(1)－　(2) 解析　(1)由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c， 即b＝c. 又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c. 由余弦定理得cos A＝＝ ＝＝－. (2)在△ABC中，∵cos A＝>0，∴sin A＝. ∵cos B＝>0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B ＝×＋×＝. 由正弦定理知＝， ∴c＝＝＝. 題型二　利用

9、正弦、余弦定理判定三角形的形狀 例2　在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大??； (2)若sin B＋sin C＝，試判斷△ABC的形狀． 解　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， ∴cos A＝＝， ∵0°

10、 ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝. ∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1. ∵0°

11、邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理． 　(1)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若

12、os Bsin A－sin Bcos A<0，所以cos Bsin A<0.又sin A>0，于是有cos B<0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形． (2)∵cos2＝， ∴(1＋cos B)·c＝a＋c， ∴a＝cos B·c＝， ∴2a2＝a2＋c2－b2， ∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC為直角三角形． 題型三　和三角形面積有關(guān)的問題 例3　(xx·浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B. (1)求角C的大??； (2)若sin A＝，求△ABC的面積． 解　

13、(1)由題意得 －＝sin 2A－sin 2B， 即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， sin＝sin. 由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得 2A－＋2B－＝π， 即A＋B＝，所以C＝. (2)由c＝，sin A＝，＝，得a＝. 由a

14、式． (2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化． 　(1)(xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為 ． (2)(xx·山東)在△ABC中，已知·＝tan A，當(dāng)A＝時(shí)，△ABC的面積為 ． 答案　(1)＋1　(2) 解析　(1)因?yàn)锽＝，C＝，所以A＝. 由正弦定理得＝，解得c＝2. 所以三角形的面積為bcsin A＝×2×2sin . 因?yàn)閟in ＝sin＝×＋× ＝， 所以bcsin A＝2×＝＋1. (2)已知A＝， 由題意得||||c

15、os ＝tan ， ||||＝， 所以△ABC的面積S＝||||sin ＝××＝. 三角變換不等價(jià)致誤 典例：在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． 易錯(cuò)分析　(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形； (2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解； (3)結(jié)論表述不規(guī)范． 規(guī)范解答 解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·

16、b2＝2cos Asin B·a2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 方法一　由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 方法二　由正弦定理、余弦定理得： a2b＝b2a， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，

17、 ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 溫馨提醒　(1)判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?，然后進(jìn)行判斷；(2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時(shí)，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況. 方法與技巧 1．應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)． 2．正弦、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，

18、如由正弦、余弦定理結(jié)合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明． 3．在解三角形或判斷三角形形狀時(shí)，要注意三角函數(shù)值的符號(hào)和角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解． 失誤與防范 1．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論． 2．利用正弦、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，則AC＝ . 答案　2 解析　由正

19、弦定理得＝，所以AC＝＝＝2. 2．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，則a∶b∶c＝ . 答案　1∶∶2 解析　由sin C＝1，∴C＝，由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝1∶∶2. 3．(xx·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則B＝ . 答案　 解析　由條件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝， 由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝，

20、 ∴sin(A＋C)＝，從而sin B＝， 又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝. 4．△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高為 ． 答案　 解析　設(shè)AB＝a，則由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(負(fù)值舍去)．∴BC邊上的高為AB·sin B＝3×＝. 5．(xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝ . 答案　 解析　∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝， ∴sin B＝，∴B＝或. 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB

21、2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝. 6．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，則a＝ . 答案　 解析　根據(jù)正弦定理應(yīng)有＝， ∴a＝＝＝. 7．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝ . 答案　4或5 解析　設(shè)BC＝x，則由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C得5＝25＋x2－

22、2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5. 8．(xx·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于 ． 答案　2 解析　如圖所示，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin B＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝×AB×2＝××2＝2. 9．(xx·北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A. (1)求cos A的值； (2)求c的值． 解　(1)在△ABC中，由正弦定理 ＝?＝＝， ∴cos A＝. (2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A?32＝(2)2＋c2－2×2c×， 則c2－8c＋1

23、5＝0. ∴c＝5或c＝3. 當(dāng)c＝3時(shí)，a＝c，∴A＝C. 由A＋B＋C＝π，知B＝，與a2＋c2≠b2矛盾． ∴c＝3舍去．故c的值為5. 10．(xx·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求： (1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 解　(1)由·＝2得c·acos B＝2. 又cos B＝，所以ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13. 解得或 因?yàn)閍>c，所以a＝3，c＝2. (2)在△ABC中， sin B＝＝

24、 ＝， 由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝. 因?yàn)閍＝b>c，所以C為銳角， 因此cos C＝＝ ＝. 于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C ＝×＋×＝. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：20分鐘) 1．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則＝ . 答案　 解析　∵asin Asin B＋bcos2A＝a， ∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A， ∴sin B＝sin A，∴＝＝. 2．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，則

25、a＝ . 答案　2 解析　由tan A＝2得sin A＝2cos A. 又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝. ∵b＝5，B＝， 根據(jù)正弦定理，有＝， ∴a＝＝＝2. 3．(xx·江蘇)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是 ． 答案　 解析　由sin A＋sin B＝2sin C， 結(jié)合正弦定理得a＋b＝2c. 由余弦定理得cos C＝ ＝＝ ≥＝， 故≤cos C<1， 故cos C的最小值為. 4．(xx·浙江)在△AB

26、C中，C＝90°，M是BC的中點(diǎn)．若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝ . 答案　 解析　因?yàn)閟in∠BAM＝， 所以cos∠BAM＝. 如圖，在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝. 在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由題意知BM＝CM， 所以＝sin(∠BAC－∠BAM)． 化簡(jiǎn)，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1. 所以2tan∠BAC－1＝tan2∠BAC＋1， 解得tan∠BAC＝. 再結(jié)合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC為銳角可解得sin∠BAC＝. 5．已知△ABC的

27、三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對(duì)的邊b＝，且函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－在x＝A處取得最大值． (1)求f(x)的值域及周期； (2)求△ABC的面積． 解　(1)因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列， 所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π， 所以B＝，即A＋C＝. 因?yàn)閒(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－ ＝(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x ＝2sin， 所以T＝＝π. 又因?yàn)閟in∈[－1,1]， 所以f(x)的值域?yàn)閇－2,2]． (2)因?yàn)閒(x)在x＝A處取得最大值， 所以sin＝1. 因?yàn)?