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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-1曲線與方程 教案
一、教學(xué)目標(biāo)
(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)
使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法．
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)
通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識(shí)的能力．
(三)學(xué)科滲透點(diǎn)
通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．
二、教材分析
1．重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法．
(解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法．)
2．難點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方法．
(解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點(diǎn)法的思路
2、，再用例題進(jìn)行講解．)
三、活動(dòng)設(shè)計(jì)
提問、講解方法、演板、小測驗(yàn)．
四、教學(xué)過程
(一)復(fù)習(xí)引入
大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：
(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；
(2)通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)．
我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個(gè)方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析．
(二)幾種常見求軌跡方程的方法
1．直接法
由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．
例1(1)求和
3、定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡．
對(1)分析：
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0．
解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0．
即x2+y2=4R2或x2+y2=0．
故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0．
對(2)分析：
題設(shè)中沒有具體給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒
4、數(shù)．由學(xué)生演板完成，
解答為：設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x，y)，連結(jié)OM，則OM⊥AM．
∵kOM·kAM=-1，
其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn))．
2．定義法
利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件．
直平分線l交半徑OQ于點(diǎn)P(見圖2－45)，當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．
分析：
∵點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|．
又P在半徑OQ上．∴|PO|+|P
5、Q|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義，寫出P點(diǎn)的軌跡方程．
解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．
由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓．
3．相關(guān)點(diǎn)法
若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0，y0)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法)．
例3 已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3，1)、B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)
6、時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．
分析：
P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系．
解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)
∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn)．
4．待定系數(shù)法
求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求．
例4 已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，又直線y=2x被雙曲線截得的線段長等于，求此雙曲線的方程。
分析：
因?yàn)殡p曲線以坐標(biāo)軸為對稱軸，實(shí)軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方
ax2-4b2x+a2b2=0
∵拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)
7、，根據(jù)它們的對稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根．
∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．
(以下由學(xué)生完成)
由弦長公式得：
即a2b2=4b2-a2．
(三)鞏固練習(xí)
用十多分鐘時(shí)間作一個(gè)小測驗(yàn)，檢查一下教學(xué)效果．練習(xí)題用一小黑板給出．
1． △ABC一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的積是，求頂點(diǎn)A的軌跡。
2．點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？
答案：
(四)小結(jié)
求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹．
五、布置作業(yè)
1．兩定點(diǎn)的距離為6，點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26，求點(diǎn)M的軌跡方程．
2．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點(diǎn)的軌跡．
作業(yè)答案：
1．以兩定點(diǎn)A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得點(diǎn)M的軌跡方程x2+y2=4
2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點(diǎn)只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線
六、板書設(shè)計(jì)
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-1曲線與方程 教案
