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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-4-2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 教案
（一）教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能：(1) 通過(guò)對(duì)拋物線圖形的研究，讓學(xué)生熟悉拋物線的幾何性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性、范圍、頂點(diǎn)、離心率）以及離心率的大小對(duì)拋物線形狀的影響，進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想。
(2) 熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)，會(huì)用拋物線的幾何性質(zhì)解決相應(yīng)的問(wèn)題。
2.過(guò)程與方法：通過(guò)講解拋物線的相關(guān)性質(zhì)，理解并會(huì)用拋物線的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題。
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：
(1) 學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造地解決問(wèn)題；
(2) 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。
（二）教學(xué)
2、重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的貫徹，運(yùn)用曲線方程研究幾何性質(zhì)
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想的貫徹，運(yùn)用曲線方程研究幾何性質(zhì)。
（三）教學(xué)過(guò)程
活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 （5分鐘）
問(wèn)題1：前面兩節(jié)課，說(shuō)一說(shuō)所學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容？
1、 拋物線的定義？
2、 四種不同拋物線方程的對(duì)比？
問(wèn)題2：類(lèi)比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，你認(rèn)為拋物線有那些的幾何性質(zhì)？通過(guò)它的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱(chēng)性？拋物線上哪些點(diǎn)比較特殊？
點(diǎn)題：今天我們學(xué)習(xí)“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”
活動(dòng)二：師生交流、進(jìn)入新知，（20分鐘）
一、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1．范圍：，
由知
3、，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式，當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方或右下方無(wú)限延伸。
2．對(duì)稱(chēng)性：拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).
在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)也在曲線上，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).這時(shí)，坐標(biāo)軸軸是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸。
3．頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）
在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，令，得
4．離心率：
拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的焦距與它到準(zhǔn)線的距離的比叫拋物線的離心率.
問(wèn)題3：說(shuō)出當(dāng)滿足下列條件時(shí)，曲線是什么圖形？（1）當(dāng)0＜e＜1時(shí)，（2）當(dāng)e＞1時(shí)，（3）當(dāng)e=1時(shí)。
5.焦半徑：拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離(即此點(diǎn)的焦半徑)等于此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．
設(shè)
4、為拋物線y2=2px上任一點(diǎn)，F(xiàn)（，0）是拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|=+.
6.由焦半徑公式不難得出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：設(shè)AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有|AB|=x1+x2+p．特別地：當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，拋物線的通徑|AB|=2p
練習(xí)：完成下列表格
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖像
范圍
對(duì)稱(chēng)性
頂點(diǎn)
離心率
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
開(kāi)口方向
例3：已知：拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方
5、程，并用描點(diǎn)法畫(huà)出圖形．
解：略
問(wèn)題4：思考頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線有幾條？求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程。
練習(xí)：書(shū)本P72頁(yè)練習(xí)1、2
活動(dòng)三：合作學(xué)習(xí)、探究新知（18分鐘）
例4：斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且與拋物線相交于、兩點(diǎn),求線段的長(zhǎng)。
解：法一 弦長(zhǎng)公式
法二 設(shè)、，則∵將直線代入得，
∴
又∵由拋物線定義得，所以．
小結(jié)：過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求法：法一 弦長(zhǎng)公式；法二：焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度．
例5：過(guò)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的一條直線與這拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(圖2-34)．
證明：
(1)當(dāng)AB與
6、x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB方程為：
此方程的兩根y1、y2分別是A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則有y1y2=-p2．
或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．
綜合上述有y1y2=-p2
又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線上的兩點(diǎn)，
例6：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)和拋物線定點(diǎn)的直線交拋物線準(zhǔn)線與點(diǎn)。求證且∥軸。
證明：設(shè)點(diǎn)，則
∵直線的方程為，準(zhǔn)線方程是
例7：已知拋物線的方程為：，直線過(guò)定點(diǎn)，斜率為K，K為何值時(shí)，直線L與拋物線，只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？
解：略
練習(xí)：書(shū)本P72頁(yè)練習(xí)4
例8：已知點(diǎn)和拋物線：，求過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切的直線的方程。
分析：直線過(guò)點(diǎn)和拋物線相切，所以斜率可以存在也可以不存在，不存在時(shí)恰好是軸，存在時(shí)可以設(shè)方程為，直接代入拋物線，由時(shí)相切，即可求得。
解析：（1）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由直線過(guò)點(diǎn)知直線即是軸，其方程為，其和拋物線相切。
（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為， 代入有，因?yàn)橹本€和拋物線相切，所以，，
∴，直線的方程為。
綜上：直線的方程為或
活動(dòng)四：歸納整理、提高認(rèn)識(shí)（2分鐘）
1． 用表格形式表示一下拋物線的幾何性質(zhì)？
活動(dòng)五：作業(yè)布置、提高鞏固
1．書(shū)面作業(yè)：書(shū)本P73 A組5、6、7、8
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-4-2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 教案
