2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式《教案》 1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α. 2．下列各角的終邊與角α的終邊的關(guān)系 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α 圖示 與角α 終邊的 關(guān)系 相同 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 關(guān)于x軸對(duì)稱 角 π－α －α ＋α 圖示 與角α 終邊的 關(guān)系 關(guān)于y軸對(duì)稱 關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 3.六組誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(

2、k∈Z) －α π－α π＋α －α ＋α 正弦 sin α －sin α sin α －sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α －cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α －tan α －tan α tan α 口訣 函數(shù)名不變 符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　×　) (2)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角．(　×　) (3)

3、若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cos θ＝.(　×　) (4)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈[，π]，則m<－5或m≥3.(　×　) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，則tan θ的值為－或－.(　×　) (6)已知tan α＝－，則的值是－.(　√　) 1．已知α是第二象限角，sin α＝，則cos α＝ . 答案?。? 解析　∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－. 2．已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，則tan(2π－α)的值為 ． 答案　 解析　sin(π－α)＝sin

4、α＝log8＝－， 又α∈(－，0)， 得cos α＝＝， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α ＝－＝. 3．已知cos＝，則sin＝ . 答案　－ 解析　sin＝sin ＝－sin ＝－cos＝－. 4．已知函數(shù)f(x)＝則f[f(2 015)]＝ . 答案?。? 解析　∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)， ∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1. 題型一　同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用 例1　(1)已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，則tan x＝ . (2)

5、已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值是 ． 答案　(1)　(2) 解析　(1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－. 又x∈(π，2π)， ∴sin x＝－＝－＝－， ∴tan x＝＝. (2)由＝5，得＝5， 即tan α＝2， ∴sin2α－sin αcos α＝＝＝. 思維升華　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化． (2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin α±co

6、s α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 　(1)已知＝－，那么的值是 ． (2)已知tan θ＝2，則sin θcos θ＝ . 答案　(1)　(2) 解析　(1)由于·＝＝－1， 故＝. (2)sin θcos θ＝ ＝＝＝. 題型二　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 例2　(1)已知cos＝，求cos的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 思維點(diǎn)撥　(1)將＋α看作一個(gè)整體，

7、觀察＋α與－α的關(guān)系． (2)先化簡(jiǎn)已知，求出cos α的值，然后化簡(jiǎn)結(jié)論并代入求值． 解　(1)∵＋＝π， ∴－α＝π－. ∴cos＝cos ＝－cos＝－， 即cos＝－. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝. ∴sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)· ＝sin α·tan ＝sin α· ＝sin α·＝cos α＝. 思維升華　熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧． 　(1)已知sin＝，則cos的值為

8、 ． (2)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，則·tan2(π－α)＝ . 答案　(1)－　(2)－ 解析　(1)cos＝cos ＝－sin＝－. (2)∵方程5x2－7x－6＝0的根為－或2， 又α是第三象限角，∴sin α＝－， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝＝， ∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－. 題型三　三角函數(shù)式的求值與化簡(jiǎn) 例3　(1)已知α為銳角，且有2tan(π－

9、α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α的值是 ． (2)已知α是三角形的內(nèi)角，且sin α＋cos α＝，則tan α＝ . 答案　(1)　(2)－ 解析　(1)2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0化簡(jiǎn)為 －2tan α＋3sin β＋5＝0，① tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化簡(jiǎn)為 tan α－6sin β－1＝0.② 由①②消去sin β， 解得tan α＝3. 又α為銳角，根據(jù)sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝. (2)因?yàn)閟in α＋cos α＝，

10、所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝()2， 即2sin α·cos α＝－， 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1＋＝， 又2sin α·cos α＝－<0,0<α<π， 所以sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0， 故sin α－cos α＝＝， 由得 所以tan α＝－. 思維升華　在三角函數(shù)式的求值與化簡(jiǎn)中，要注意尋找式子中的角，函數(shù)式子的特點(diǎn)和聯(lián)系，可以切化弦，約分或抵消，減少函數(shù)種類，對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)． 　(1)若α為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sin α＋cos α＝，則這個(gè)三角形是

11、 三角形(填“銳角”“直角”“鈍角”)． (2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0， 則＝ . 答案　(1)鈍角　(2)－ 解析　(1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－<0，∴α為鈍角． ∴此三角形為鈍角三角形． (2)原式＝＝sin α， ∵tan α＝2>0，∴α為第一象限角或第三象限角． 又sin α＋cos α<0，∴α為第三象限角， 由tan α＝＝2， 得sin α＝2cos α代入sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝－. 分類討論思想在三角函數(shù)求值化簡(jiǎn)中

12、的應(yīng)用 典例：(1)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是 ． (2)在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，則C＝ . 思維點(diǎn)撥　(1)角中含有整數(shù)k，應(yīng)對(duì)k是奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行討論；(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的平方關(guān)系時(shí)，要對(duì)開(kāi)方的結(jié)果進(jìn)行討論． 解析　(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝＋＝2； k為奇數(shù)時(shí)，A＝－＝－2. ∴A的值構(gòu)成的集合是{2，－2}． (2)由已知得 ①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±， 當(dāng)cos A＝時(shí)，cos B＝， 又A、B是三角形的內(nèi)角， ∴A＝，B＝

13、， ∴C＝π－(A＋B)＝π. 當(dāng)cos A＝－時(shí)，cos B＝－. 又A、B是三角形的內(nèi)角，∴A＝π，B＝π，不合題意． 綜上，C＝π. 答案　(1){2，－2}　(2)π 溫馨提醒　(1)本題在三角函數(shù)的求值化簡(jiǎn)過(guò)程中，體現(xiàn)了分類討論思想，即使討論的某種情況不合題意，也不能省略討論的步驟；(2)三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題，要注意隱含條件的挖掘及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用. 方法與技巧 同角三角函數(shù)基本關(guān)系是三角恒等變形的基礎(chǔ)，主要是變名、變式． 1．同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式要注意象限角對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響，尤其是利用平方關(guān)系在求三角函數(shù)值時(shí)，進(jìn)行開(kāi)方時(shí)要根據(jù)角的象限或范圍，判斷符號(hào)

14、后，正確取舍． 2．三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝化成正弦、余弦函數(shù)；(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化；(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝…. 失誤與防范 1．利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳． 特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定． 2．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)． 3．注意求值與化簡(jiǎn)后的

15、結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化. A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：40分鐘) 1．α是第四象限角，tan α＝－，則sin α＝ . 答案　－ 解析　∵tan α＝＝－，∴cos α＝－sin α， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＋sin2α＝sin2α＝1. 又sin α<0，∴sin α＝－. 2．若sin＝，則cos＝ . 答案?。? 解析　∵＋＝， ∴sin＝sin ＝cos＝. 則cos＝2cos2－1＝－. 3．已知sin(π－α)＝－2sin(＋α)，則sin α·cos α＝ . 答案?。?

16、解析　由sin(π－α)＝－2sin(＋α)得sin α＝－2cos α， 所以tan α＝－2， 所以sin α·cos α＝＝＝－. 4．已知f(α)＝，則f的值為 ． 答案　 解析　∵f(α)＝＝cos α， ∴f＝cos ＝cos＝cos ＝. 5．函數(shù)y＝3cos(x＋φ)＋2的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則φ的取值是 ． 答案　kπ－(k∈Z) 解析　∵y＝cos x＋2的對(duì)稱軸為x＝kπ(k∈Z)， ∴x＋φ＝kπ(k∈Z)，即x＝kπ－φ(k∈Z)，令＝kπ－φ(k∈Z)得φ＝kπ－(k∈Z)． 6．如果sin α＝，且α為第二象限

17、角，則sin＝ . 答案　 解析　∵sin α＝，且α為第二象限角， ∴cos α＝－＝－＝－， ∴sin＝－cos α＝. 7．已知α為鈍角，sin(＋α)＝，則sin(－α)＝ . 答案　－ 解析　由題意可得cos(＋α)＝±，又因?yàn)棣翞殁g角，所以cos(＋α)＝－，所以sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)＝－. 8．化簡(jiǎn)：＝ . 答案　1 解析　原式＝＝＝1. 9．已知sin θ＝，<θ<π. (1)求tan θ的值； (2)求的值． 解　(1)∵sin2

18、θ＋cos2θ＝1，∴cos2θ＝. 又<θ<π，∴cos θ＝－. ∴tan θ＝＝－. (2)由(1)知，＝＝－. 10．已知sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個(gè)根，求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值．(已知：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)) 解　由已知原方程的判別式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0， ∴a≥4或a≤0. 又∵ ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 則a2－2a－1＝0，從而a＝1－或a＝1＋(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－. ∴cos3(－θ)

19、＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ) ＝(1－)[1－(1－)]＝－2. B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘) 1．已知sin θ＝－，θ∈(－，)，則sin(θ－5π)sin(π－θ)的值是 ． 答案?。? 解析　∵sin θ＝－，θ∈(－，)， ∴cos θ＝＝. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ ＝－×＝－. 2．已知2tan α·sin α＝3，－<α<0，則sin α＝ . 答案?。? 解析　由2tan α·sin

20、α＝3得，＝3， 即2cos2α＋3cos α－2＝0， 又－<α<0， 解得cos α＝(cos α＝－2舍去)， 故sin α＝－. 3．已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則＝ . 答案　2 解析　由題意可得tan θ＝2， 原式＝＝＝2. 4．已知cos＝a (|a|≤1)，則cos＋sin的值是 ． 答案　0 解析　cos＝cos ＝－cos＝－a. sin＝sin＝cos＝a， ∴cos＋sin＝0. 5．(1)已知tan α＝，求的值； (2)化簡(jiǎn)：. 解　(1)因?yàn)閠an α＝， 所以＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 6．已知f(x)＝(n∈Z)． (1)化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式； (2)求f()＋f()的值． 解　(1)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時(shí)， f(x)＝ ＝ ＝ ＝sin2x； 當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時(shí)， f(x)＝ ＝ ＝ ＝ ＝sin2x， 綜上得f(x)＝sin2x. (2)由(1)得f()＋f() ＝sin2＋sin2 ＝sin2＋sin2(－) ＝sin2＋cos2＝1.