（江蘇專版）2018年高考數學二輪復習 第2部分 八大難點突破 難點3 以構建函數模型、解三角形、動點軌跡為背景的實際問題學案

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1、 難點三　以構建函數模型、解三角形、動點軌跡為背景的實際問題 (對應學生用書第66頁) 高考實際應用題一直是高考當中的重點與難點，雖有較為清晰的數學概念分析，但是如果學生對應用題當中的數學公式的基本應用沒有一個較為清晰的理解，往往會陷入到應用的“陷阱”當中．因此良好的解題思路，以及正確的解題方式，是高考數學應用解題的重點．高考實際應用問題常常在函數、三角函數和三角形、解析法中體現．因此對于高考數學應用題的解題方向來看，我們應當從構建具體的思維應用模式出發(fā)． 1．與函數相關的實際應用問題 函數是高中數學的主干和核心知識，以函數知識為背景的應用題一直活躍在高考的舞臺上，引人關注，隨著知

2、識的更新，函數應用問題中的模型也越來越新穎．高考函數應用問題的熱點模型主要有：一次、二次函數型，三次函數型，指數、對數函數型，分段函數型等．解函數應用問題的步驟(四步八字)：(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)解模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將數學問題還原為實際問題的意義． 【例1】　(2016·江蘇高考)現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖1所

3、示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍． (1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？ (2)若正四棱錐的側棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？ 【導學號：56394095】 圖1 [解]　(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8. 因為A1B1＝AB＝6， 所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積 V錐＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)； 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積 V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)． 所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)． (2)設

4、A1B1＝a m，PO1＝h m， 則00，V是單調增函數； 當2

5、面積、利潤、產量等)，可根據已知條件確定二次函數模型，結合二次函數的圖象、單調性、零點解決，解題中一定注意函數的定義域． 2．與解三角形相關的實際應用問題 三角函數既是解決生產實際問題的工具，又是進一步學習的基礎，高考中常會考察與三角函數有關的實際問題，需要建立三角函數模型將實際問題轉化為數學問題．解決三角實際問題的關鍵有三點：一是仔細審題，準確理解題意，分析條件和結論，明確問題的實際背景，理清問題中各個量之間的數量關系；二是合理選取參變量，設定變元，尋找它們之間的內在聯系，選用恰當的代數式表示問題中的關系；三是建立與求解相應的三角函數模型．將文字語言、圖形語言、符號語言轉化為數學語言，利

6、用數學知識建立相應的數學模型，求解數學模型，得出數學結論． 【例2】　(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)如圖2，某城市有一條公路正西方AO通過市中心O后轉向北偏東α角方向的OB，位于該市的某大學M與市中心O的距離OM＝3 km，且∠AOM＝β，現要修筑一條鐵路L，L在OA上設一站A，在OB上設一站B，鐵路在AB部分為直線段，且經過大學M，其中tan α＝2，cos β＝，AO＝15 km. (1)求大學M與A站的距離AM； (2)求鐵路AB段的長． 圖2 [解]　(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β，且cos β＝，OM＝3， 由余弦定理可得：AM2＝OA2＋OM

7、2－2OA·OM·cos∠AOM＝(3)2＋152－2×3×15×＝72. 所以可得：AM＝6，大學M與A站的距離AM為6 km. (2)∵cos β＝，且β為銳角，∴sin β＝， 在△AOM中，由正弦定理可得：＝，即＝， ∴sin∠MAO＝，∴∠MAO＝，∴∠ABO＝α－， ∵tan α＝2，∴sin α＝，cos α＝， ∴sin∠ABO＝sin＝， 又∵∠AOB＝π－α， ∴sin∠AOB＝sin(π－α)＝. 在△AOB中，AO＝15，由正弦定理可得：＝，即＝， ∴解得AB＝30，即鐵路AB段的長為30 km. [點評]　解三角形應用題常有以下兩種情形：(1)實

8、際問題經抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)實際問題經抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 3．以動點軌跡為背景的實際應用問題 近年江蘇高考將直線與圓的位置關系隱含到實際問題中進行考查，利用解析幾何中最值與范圍問題的解法求實際問題中的最值與范圍問題，這是一個高考新方向，也是高考的一個熱點．解析幾何中的最值與范圍問題往往需建立求解目標函數，通過函數的最值研究幾何中的最值與范圍． 【例

9、3】　(南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)如圖3所示，某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心，其中AE＝30米．活動中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米，其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足tan θ＝. 圖3 (1)若設計AB＝18米，AD＝6米，問能否保證上述采光要求？ (2)在保證上述采光要求的前提下，如何設計AB與AD的長度，可使得活動中心的截面面積最大？(注：計算

10、中π取3) [解]　如圖所示，以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系． (1)因為AB＝18，AD＝6，所以半圓的圓心為H(9,6)， 半徑R＝9.設太陽光線所在直線方程為y＝－x＋b， 即3x＋4y－4b＝0， 則由＝9， 解得b＝24或b＝(舍)． 故太陽光線所在直線方程為y＝－x＋24， 令x＝30，得EG＝1.5米＜2.5米． 所以此時能保證上述采光要求． (2)設AD＝h米，AB＝2r米，則半圓的圓心為H(r，h)，半徑為r. 法一：設太陽光線所在直線方程為y＝－x＋b， 即3x＋4y－4b＝0，由＝r， 解得b＝h＋2r或b＝h－(舍

11、)． 故太陽光線所在直線方程為y＝－x＋h＋2r， 令x＝30，得EG＝2r＋h－，由EG≤，得h≤25－2r. 所以S＝2rh＋πr2＝2rh＋×r2≤2r(25－2r)＋×r2 ＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250. 當且僅當r＝10時取等號． 所以當AB＝20米且AD＝5米時，可使得活動中心的截面面積最大． 法二：欲使活動中心截面面積盡可能大，則影長EG恰為2.5米，則此時點G為(30,2.5)， 設過點G的上述太陽光線為l1，則l1所在直線方程為y－＝－(x－30)， 即3x＋4y－100＝0. 由直線l1與半圓H相切，得 r＝. 而點H(r，h)在直線l1的下方，則3r＋4h－100＜0， 即r＝－，從而h＝25－2r. 又S＝2rh＋πr2＝2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250. 當且僅當r＝10時取等號． 所以當AB＝20米且AD＝5米時，可使得活動中心的截面面積最大． [點評]　解與動點軌跡為背景的實際應用問題常需建立恰當的直角坐標系，將實際問題轉化為對應直線與圓位置關系問題，再結合解幾何方法求最值與范圍． 6