（江蘇專版）2018年高考數(shù)學二輪復習 第2部分 八大難點突破 難點4 解析幾何中的范圍、定值和探索性問題學案

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1、 難點四　解析幾何中的范圍、定值和探索性問題 (對應學生用書第68頁) 解析幾何中的范圍、定值和探索性問題仍是高考考試的重點與難點，主要以解答題形式考查，一般以橢圓為背景，考查范圍、定值和探索性問題，試題難度較大．復習時不能把目標僅僅定位在知識的掌握上，要在解題方法、解題思想上深入下去．解析幾何中基本的解題方法是使用代數(shù)方程的方法研究直線、曲線的某些幾何性質，代數(shù)方程是解題的橋梁，要掌握一些解方程(組)的方法，掌握一元二次方程的知識在解析幾何中的應用，掌握使用根與系數(shù)的關系進行整體代入的解題方法；其次注意分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想等的應用，如解析幾何中的最值問題往往需建

2、立求解目標函數(shù)，通過函數(shù)的最值研究幾何中的最值．下面對這些難點一一分析： 1．圓錐曲線中的定點、定值問題 該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定值等問題的證明，難度較大．定點、定值問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．化解這類問題的關鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． 【例1】　(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)設橢圓C：＋＝1(a

3、＞b＞0)的離心率e＝，直線y＝x＋與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切． (1)求橢圓C的方程； (2)設直線x＝與橢圓C交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓D，若圓D與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABD的面積； (3)如圖1，A1，A2，B1，B2是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線B2P交x軸于點F，直線A1B2交A2P于點E，設A2P的斜率為k，EF的斜率為m，求證：2m－k為定值. 【導學號：56394098】 圖1 [解]　(1)∵直線y＝x＋與以原點為圓心、橢圓C的短半軸長為半徑的圓O相切， ∴＝b，化為b＝1. ∵離心率

4、e＝＝，b2＝a2－c2＝1，聯(lián)立解得a＝2，c＝. ∴橢圓C的方程為＋y2＝1； (2)把x＝代入橢圓方程可得：y2＝1－，解得y＝±. ∴⊙D的方程為：2＋y2＝. 令x＝0，解得y＝±， ∴|AB|＝，∴S△ABD＝|AB|·|OD|＝××＝. (3)證明：由(1)知：A1(－2,0)，A2(2,0)，B2(0,1)， ∴直線A1B2的方程為y＝x＋1， 由題意，直線A2P的方程為y＝k(x－2)，k≠0，且k≠±， 由解得E. 設P(x1，y1)，則由得(4k2＋1)x2－16k2x＋16k2－4＝0. ∴2x1＝，∴x1＝，y1＝k(x1－2)＝. ∴P.

5、設F(x2,0)，則由P，B2，F(xiàn)三點共線得，kB2P＝kB2F. 即＝，∴x2＝，∴F. ∴EF的斜率m＝＝. ∴2m－k＝－k＝為定值． [方法總結]　定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解思想是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題． (1)求定值問題常見的方法有兩種 ①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關． ②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值． (2)定點的探索與證明問題 ①探索直線過定點時，可設出直線方程為y＝kx＋m，然后

6、利用條件建立k，m等量關系進行消元，借助于直線系的思想找出定點． ②從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關． 2．圓錐曲線中的最值、范圍問題 圓錐曲線中參數(shù)的范圍及最值問題，由于其能很好地考查學生對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的能力，有利于提高學生綜合運用所學知識分析、解決問題的能力．該類試題設計巧妙、命題新穎別致，常求特定量、 特定式子的最值或范圍．常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式等知識交匯，成為近年高考熱點．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關系，根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關系．建立目標函數(shù)或

7、不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變 量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理． 圖2 【例2】　(蘇北四市(徐州、淮安、連云港、宿遷)2017屆高三上學期期末)如圖2，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且右焦點F到左準線的距離為6. (1)求橢圓C的標準方程； (2)設A為橢圓C的左頂點，P為橢圓C上位于x軸上方的點，直線PA交y軸于點M，過點F作MF的垂線，交y軸于點N. (ⅰ)當直線的PA斜率為時，求△FMN的外接圓的方程； (ⅱ)設直線AN交橢圓C于另一點Q，求

8、△APQ的面積的最大值． [解]　(1)由題意，得解得 則b＝2， 所以橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)由題可設直線PA的方程為y＝k(x＋4)，k＞0，則M(0,4k)， 所以直線FN的方程為y＝(x－2)，則N . (ⅰ)當直線PA的斜率為，即k＝時，M(0,2)，N(0，－4)，F(xiàn)(2，0)，＝(2，－2)，＝(－2，－4)，·＝－8＋8＝0. 所以MF⊥FN，所以圓心為(0，－1)，半徑為3， 所以△FMN的外接圓的方程為x2＋(y＋1)2＝9. (ⅱ)聯(lián)立消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋16k2x＋32k2－16＝0， 解得x1＝－4或x2＝，所以P， 直

9、線AN的方程為y＝－(x＋4)，同理可得，Q， 所以P，Q關于原點對稱，即PQ過原點． 所以△APQ的面積S＝OA·(yP－yQ)＝2×＝≤8，當且僅當2k＝，即k＝時，取“＝”． 所以△APQ的面積的最大值為8. [方法總結]　這類問題在題目中往往沒有給出不等關系，需要我們去尋找．求最值或范圍常見的解法：(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用圖形性質來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求最值，求函數(shù)最值常用的方法有配方法、判別式法、導數(shù)法、基本不等式法及函數(shù)的單調性、有界性法等．用這種方法求解圓錐曲線

10、的最值與范圍問題時，除了重視建立函數(shù)關系式這個關鍵點外，還要密切注意所建立的函數(shù)式中的變量是否有限制范圍，這些限制范圍恰好制約了最值的取得，因此在解題時要予以高度關注． 3．圓錐曲線中的探索性問題 探索性問題主要考查學生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學科特點，將數(shù)學知識有機結合并賦予新的情境創(chuàng)設而成的，要求學生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運用所學知識和方法解決問題，它能很好地考查數(shù)學思維能力以及科學的探索精神．因此越來越受到高考命題者的青睞．探索性問題實質上是探索結論的開放性問題．相對于其他的開放性問題來說，由于這類問題的結論較少(只有存在、 不存在兩個結論有時候需討論)

11、，因此，思考途徑較為單一，難度易于控制，受到各類考試命題者的青睞．解答這一類問題，往往從承認結論、變結論為條件出發(fā)，然后通過特例歸納，或由演繹推理證明其合理性．探索過程要充分挖掘已知條件，注意條件的完備性，不要忽略任何可能的因素． 圖3 【例3】　(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期中)如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)． (1)若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，MN＝AB，求直線l的方程； (2)在圓C上是否存在點P滿足條件，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求點P的個數(shù)；若不存在，說

12、明理由． 【導學號：56394099】 [解]　(1)圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝4，所以圓心C(2,0)，半徑為2. 因為l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直線l的斜率為＝1， 設直線l的方程為x－y＋m＝0， 則圓心C到直線l的距離為d＝＝. 因為MN＝AB＝＝2， 而CM2＝d2＋2，所以4＝＋2， 解得m＝0或m＝－4， 故直線l的方程為x－y＝0或x－y－4＝0. (2)假設圓C上存在點P滿足條件，設P(x，y)，則(x－2)2＋y2＝4， PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12， 即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4， 因為|2－2|＜＜2＋2， 所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交， 所以點P的個數(shù)為2. [方法總結]　(1)解決存在性問題的解題步驟：第一步：先假設存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無解則不存在；第三步：得出結論．(2)解決存在性問題應注意以下幾點：①當條件和結論不唯一時要分類討論；②當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；③當條件和結論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要思維開放，采取另外的途徑． 6