2022年人教A版高中數學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》

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1、2022年人教A版高中數學 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-3 圓的方程《教案》 【教學目標】 1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程．　 2.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想. 【重點難點】 1.教學重點：掌握確定圓的幾何要素及圓的標準方程與一般方程； 2.教學難點：學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力； 【教學策略與方法】 自主學習、小組討論法、師生互動法 【教學過程】 教學流程 教師活動 學生活動 設計意圖

2、 環(huán)節(jié)二： 考綱傳真: 1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程．　 2.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想. 真題再現; 1.(xx·全國Ⅰ，14)一個圓經過橢圓＋＝1的三個 頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程 為________. 解析　由題意知圓過(

3、4，0)，(0，2)，(0，－2)三點，(4，0)，(0，－2)兩點的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)，令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為.故圓的標準方程為＋y2＝. 答案?。珁2＝ 2.(xx·全國Ⅱ，4)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A.－ B.－ C. D.2 解析　由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圓心坐標為(1，4)，由點到直線的距離公式得d＝＝1，解之得a＝－. 答案　A 3.(xx·全國Ⅱ，7)過三點A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN|＝(

4、　　) A.2 B.8 C.4 D.10 解析　由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，則·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故過三點A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，選C. 答案　C 知識梳理： 知識點　圓的定義與方程 定義 平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r>0) 圓心(a，b) 半徑為r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝

5、0 充要條件：D2＋E2－4F>0 圓心坐標： 半徑r＝ 1．必會結論 點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2>r2. (2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內，則(x0－a)2＋(y0－b)20時，表示圓，因此在求參數的值或范圍時，應注意條件的使用． 考

6、點分項突破 考點一：求圓的方程 1．若圓C經過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3 C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4 【解析】　因為圓C經過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x＝2上，又圓C與y軸相切，所以圓的半徑r＝2，設圓心坐標為(2，b)，則(1－2)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±.故選D.【答案】　D 2．(xx·山東高考)圓心在直線x－2y＝0上的圓C 與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2 則圓C的標準方程為____

7、__________________． 【解析】　因圓C的圓心在直線x－2y＝0上，且與y軸的正半軸相切，所以設圓心C(2b，b)(b>0)，半徑r＝2b.又圓C截x軸所得弦的長為2，圓心C到x軸的距離為b，所以由勾股定理＝，解得b＝1.因此圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4. 【答案】　(x－2)2＋(y－1)2＝4 3．圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)的圓的方程為________． 【解析】　由題意設圓的方程為(x－a)2＋(y＋4a)2＝r2(r>0)，由圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)得 解得故所求圓的方程為

8、(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 【答案】　(x－1)2＋(y＋4)2＝8 歸納；1．求圓的方程的兩種方法 (1)直接法：根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程． (2)待定系數法 ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值． 2．確定圓心位置的方法 (1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上． (2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上． (3)兩圓相切時，切點與兩圓

9、圓心共線． 考點二: 與圓有關的軌跡問題 (1)已知點A(－1,0)，點B(2,0)，動點C滿足|AC|＝|AB|，則點C與點P(1,4)所連線段的中點M的軌跡方程為________． (2)(xx·全國卷Ⅰ)已知點P(2,2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點． ①求M的軌跡方程； ②當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積． 【解析】　(1)由題意|AC|＝|AB|＝3，則動點C的軌跡方程為(x＋1)2＋y2＝9，設C(x0，y0)，M(x，y)， 則即 又(x0＋1)2＋y＝9，所以4x2＋(2y

10、－4)2＝9.即x2＋(y－2)2＝.【答案】　x2＋(y－2)2＝ (2)①圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由題設知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于點P在圓C的內部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. ②由①可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心，為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上．又P在圓N上，從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－，故l的方程為y＝－x＋.又|OM|＝|O

11、P|＝2，O到l的距離為，|PM|＝，所以△POM的面積為. 跟蹤訓練： 1.設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM、ON為兩邊作平行四邊形MONP(O是坐標原點)，求點P的軌跡． 【解】　設P(x，y)，N(x0，y0)，則＝(x，y)，＝(x0，y0)，＝(－3,4)，由＝＋得;(x，y)＝(－3,4)＋(x0，y0)，所以所以又x＋y＝4，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以點P的軌跡是以(－3,4)為圓心，2為半徑的圓，因為O，M，P三點不共線，所以應除去兩點和. 歸納：求與圓有關的軌跡問題的四種方法 —— | —— | —— |

12、—— 考點三: 與圓有關的最值問題 1.已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 【解】　(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(2,0)為圓心，以為半徑的圓． 設＝k，即y＝kx，則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值． 由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－. (2)設y－x＝b，則y＝x＋b，僅當直線y＝x＋b與圓切于第四象限時，截距b取最小值，由點到直線的距離公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－

13、2－. (3)x2＋y2是圓上點與原點的距離的平方，故連接OC， 與圓交于B點，并延長交圓于C′，則 (x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4， (x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4. 跟蹤訓練：1．設P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為(　　) A．6 B．25 C．26 D．36 【解析】　(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到點(5，－4)的距離的平方．點(5，－4)到圓心(2,0)的距離d＝＝5.則點P(x，y)到點(5，－4)的距離最大值為6，從而(x－5)2＋(y

14、＋4)2的最大值為36，故選D. 【答案】　D 2．已知兩點A(－1,0)，B(0,2)，點P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是(　　) A．2，(4－) B.(4＋)，(4－) C.，4－ D.(＋2)，(－2) 【解析】　直線AB的方程為＋＝1，即2x－y＋2＝0，圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝，則點P到直線AB的距離最大值為＋1，最小值為－1，又|AB|＝，則△PAB面積的最大值Smax＝××＝(4＋)，△PAB面積的最小值Smin＝××＝(4－)，故選B. 【答案】　B 歸納：與圓有關的最值問題的常見解法 1．形如

15、μ＝形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題． 2．形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題． 3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題． 。 學生通過對高考真題的解決，發(fā)現自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。

16、 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 引導學生通過對基礎知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習奠定基礎. 在解題中注意引導學生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興趣。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成

17、完整的認知結構。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢

18、 由常見問題的解決和總結，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 引導學生對所學的知識進行小結，由利于學生對已有的知識結構進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。 環(huán)節(jié)三： 課堂小結： 1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程．　 2.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想. 學生回顧，總結. 引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行有效調控打下良好的基礎。 環(huán)節(jié)四： 課后作業(yè)：學生版練與測 學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。