江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 應(yīng)用題講義(含解析)
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1、應(yīng)用題 [江蘇卷5年考情分析] “在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),側(cè)重考查能力”是高考的重要意向,而應(yīng)用能力的考查又是近幾年能力考查的重點(diǎn).江蘇卷一直在堅(jiān)持以建模為主.所以如何由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模過程的探索應(yīng)是復(fù)習(xí)的關(guān)鍵. 應(yīng)用題的載體很多,前幾年主要考函數(shù)建模,以三角、導(dǎo)數(shù)、不等式知識(shí)解決問題.2014年應(yīng)用考題(2)可以理解為一次函數(shù)模型,也可以理解為條件不等式模型,這樣在建模上增添新意,還是有趣的;2015、2016年應(yīng)用考題(2)都先構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解;2016、2017年應(yīng)用考題是立體幾何模型,2017年應(yīng)用考題需利用空間中的垂直關(guān)系和解三角形的知識(shí)求解;2018年應(yīng)用考
2、題是三角模型,需利用三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解. 題型(一) 函數(shù)模型的構(gòu)建及求解 主要考查以構(gòu)建函數(shù)模型為背景的應(yīng)用題,一般常見于經(jīng)濟(jì)問題或立體幾何表面積和體積最值問題中. [典例感悟] [例1] (2016·江蘇高考)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍. (1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少? (2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m,則當(dāng)PO1為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大? [解] (1)
3、由PO1=2知O1O=4PO1=8. 因?yàn)锳1B1=AB=6, 所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積 V錐=·A1B·PO1=×62×2=24(m3); 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積 V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3). 所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312(m3). (2)設(shè)A1B1=a m,PO1=h m, 則0<h<6,O1O=4h.連結(jié)O1B1. 因?yàn)樵赗t△PO1B1中, O1B+PO=PB, 所以2+h2=36, 即a2=2(36-h(huán)2). 于是倉(cāng)庫(kù)的容積V=V柱+V錐=a2·4h+a2·h=a2h=(36h
4、-h(huán)3),0<h<6, 從而V′=(36-3h2)=26(12-h(huán)2). 令V′=0,得h=2或h=-2(舍去). 當(dāng)0<h<2時(shí),V′>0,V是單調(diào)增函數(shù); 當(dāng)2<h<6時(shí),V′<0,V是單調(diào)減函數(shù). 故當(dāng)h=2時(shí),V取得極大值,也是最大值. 因此,當(dāng)PO1=2 m時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大. [方法技巧] 解函數(shù)應(yīng)用題的四步驟 [演練沖關(guān)] 1.(2018·蘇錫常鎮(zhèn)二模)某科研小組研究發(fā)現(xiàn):一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量w(單位:百千克)與肥料費(fèi)用x(單位:百元)滿足如下關(guān)系:w=4-,且投入的肥料費(fèi)用不超過5百元.此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費(fèi)等)2x百元.已知這種水蜜桃的
5、市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克(即16 百元/百千克),且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求.記該棵水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)(單位:百元). (1)求利潤(rùn)函數(shù)L(x)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域; (2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí),該水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少? 解:(1)由題意可得,L(x)=16-x-2x=64--3x(0≤x≤5). (2)法一:L(x)=64--3x=67-≤67-2=43. 當(dāng)且僅當(dāng)=3(x+1),即x=3時(shí)取等號(hào). 故L(x)max=43. 答:當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí),種植水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是4 300元. 法二:由(1)可得L′(x
6、)=-3(0≤x≤5), 由L′(x)=0,得x=3. 故當(dāng)x∈(0,3)時(shí),L′(x)>0,L(x)在(0,3)上單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(3,5)時(shí),L′(x)<0,L(x)在(3,5)上單調(diào)遞減. 所以當(dāng)x=3時(shí),L(x)取得極大值,也是最大值, 故L(x)max=L(3)=43. 答:當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí),種植水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是4 300元. 2.(2018·江蘇六市二調(diào))將一鐵塊高溫熔化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮(如圖),并沿虛線l1,l2裁剪成A,B,C三個(gè)矩形(B,C全等),用來制成一個(gè)柱體.現(xiàn)有兩種方案: 方案①
7、:以l1為母線,將A作為圓柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個(gè)圓作為圓柱的兩個(gè)底面; 方案②:以l1為側(cè)棱,將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個(gè)正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個(gè)底面. (1)設(shè)B,C都是正方形,且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面,求底面半徑; (2)設(shè)l1的長(zhǎng)為x dm,則當(dāng)x為多少時(shí),能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大? 解:(1)設(shè)所得圓柱的底面半徑為r dm, 則(2πr+2r)×4r=100,解得r=. (2) 設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a dm, 則即 法一:所得正四棱柱的體積V=a2x≤ 記函數(shù)p(
8、x)= 則p(x)在(0,2 ]上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時(shí),p(x)max=20. 所以當(dāng)x=2,a=時(shí),Vmax=20 dm3. 答:當(dāng)x為2時(shí),能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大. 法二:由2a≤x≤,得a≤. 所得正四棱柱的體積V=a2x≤a2=20a≤20. 所以當(dāng)a=,x=2時(shí),Vmax=20 dm3. 答:當(dāng)x為2時(shí),能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大. 題型(二) 與三角形、多邊形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題 主要考查與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題,所建立函數(shù)模型多為三角函數(shù)模型. [典例感悟] [例2] (2018·江蘇高
9、考)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米,點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP,要求A,B均在線段MN上,C,D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ. (1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積,并確定sin θ的取值范圍; (2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大. [解] (1)如圖,設(shè)PO的延長(zhǎng)線交MN于點(diǎn)H,
10、則PH⊥MN, 所以O(shè)H=10. 過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E, 則OE∥MN,所以∠COE=θ, 故OE=40cos θ,EC=40sin θ, 則矩形ABCD的面積為2×40cos θ·(40sin θ+10) =800(4sin θcos θ+cos θ), △CDP的面積為×2×40cos θ(40-40sin θ) =1 600(cos θ-sin θcos θ). 過點(diǎn)N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G和K,則GK=KN=10. 連結(jié)OG,令∠GOK=θ0,則sin θ0=,θ0∈. 當(dāng)θ∈時(shí),才能作出滿足條件的矩形ABCD, 所以sin θ的取值范
11、圍是. 答:矩形ABCD的面積為800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP的面積為1 600(cos θ-sin θcos θ)平方米,sin θ的取值范圍是. (2)因?yàn)榧住⒁覂煞N蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3, 設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k(k>0),乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0), 則年總產(chǎn)值為4k×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k×1 600(cos θ-sin θcos θ) =8 000k(sin θ cos θ +cos θ),θ∈. 設(shè)f(θ)=sin θcos θ+cos θ,θ∈, 則f′(θ)=cos2θ-sin2
12、θ-sin θ=-(2sin2θ+sin θ-1) =-(2sin θ-1)(sin θ+1). 令f′(θ)=0,得θ=, 當(dāng)θ∈時(shí),f′(θ)>0,所以f(θ)為增函數(shù); 當(dāng)θ∈時(shí),f′(θ)<0,所以f(θ)為減函數(shù). 所以當(dāng)θ=時(shí),f(θ)取到最大值. 答:當(dāng)θ=時(shí),能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大. [方法技巧] 三角應(yīng)用題的解題策略 (1)解三角應(yīng)用題是數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用,要想解決好,就要把實(shí)際問題抽象概括,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,然后求解. (2)解三角應(yīng)用題常見的兩種情況: ①實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理
13、或余弦定理求解. ②實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解. (3)三角函數(shù)的值域或最值的求解方法一般有化歸法、換元法、導(dǎo)數(shù)法. [演練沖關(guān)] 如圖,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M,N(異于村莊A),要求PM=PN=MN=2(單位:千米).記∠AMN=θ. (1)將AN,AM用含θ的關(guān)系式表示出來; (2)如何設(shè)計(jì)(即AN,A
14、M為多長(zhǎng)),使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離AP最大)? 解:(1)由已知得∠MAN=60°,∠AMN=θ,MN=2, 在△AMN中, 由正弦定理得==, 所以AN=sin θ, AM=sin(120°-θ)=sin(θ+60°). (2)在△AMP中,由余弦定理可得 AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP =sin2(θ+60°)+4-sin(θ+60°)cos(θ+60°) =[1-cos(2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4 =-[sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)]+ =-sin(2θ+150°),0
15、<θ<120°, 當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°=270°,即θ=60°時(shí),工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小,此時(shí)AN=AM=2. 題型(三) 與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題 主要考查與直線和圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題,在航海與建筑規(guī)劃中的實(shí)際 問題中常見. [典例感悟] [例3] 一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l(一條南北方向的直線)3.8海里的A處,發(fā)現(xiàn)在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑,緝私艇立即追擊.已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍.假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行. (1)若走私船沿正東方向逃離,試確定緝私艇的追擊方向,使其用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔
16、截成功;(參考數(shù)據(jù):sin 17°≈,≈5.744 6) (2)問:無論走私船沿何方向逃跑,緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截?并說明理由. [解] (1)設(shè)緝私艇在C處與走私船相遇(如圖①), 依題意,AC=3BC. 在△ABC中,由正弦定理得, sin∠BAC=sin∠ABC ==. 因?yàn)閟in 17°≈,所以∠BAC=17°. 從而緝私艇應(yīng)向北偏東47°方向追擊. 在△ABC中,由余弦定理得, cos 120°=, 解得BC=≈1.686 15. 又B到邊界線l的距離為3.8-4sin 30°=1.8. 因?yàn)?.686 15<1.8,所以能在領(lǐng)海上成功攔截走私船
17、. 答:緝私艇應(yīng)向北偏東47°方向追擊. (2)法一: 如圖②,設(shè)走私船沿BC方向逃跑,∠ABC=α, 緝私艇在C處截獲走私船,并設(shè)BC=a,則AC=3a. 由余弦定理得(3a)2=a2+16-8acos α.即cos α=, 所以sin α=,1≤a≤2. 所以BCcos(α-120°)=a =-(2-a2)+· =(a2-2)+·. 令t=a2-,-≤t≤, 再令t=cos θ,0°≤θ≤180°. 則BCcos(α-120°)=t++· =cos θ+sin θ+ =sin(θ+30°)+≤1.75<1.8, 所以無論走私船沿何方向逃跑,緝私艇總能在領(lǐng)海
18、內(nèi)成功攔截. 法二:如圖③,以A為原點(diǎn),正北方向所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 則B(2,2),設(shè)緝私艇在P(x,y)處(緝私艇恰好截住走私船的位置)與走私船相遇,則=3, 即=3. 整理得,2+2=, 所以點(diǎn)P(x,y)的軌跡是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓. 因?yàn)閳A心到領(lǐng)海邊界線l:x=3.8的距離為1.55,大于圓的半徑, 所以緝私艇能在領(lǐng)海內(nèi)截住走私船. 答:緝私艇總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截走私船. [方法技巧] 與圓有關(guān)應(yīng)用題的求解策略 (1)在與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題中,有些時(shí)候,在條件中沒有直接給出圓方面的信息,而是隱藏在題目中的,要通過分析和轉(zhuǎn)化,發(fā)現(xiàn)圓(
19、或圓的方程), 從而最終可以利用圓的知識(shí)來求解,如本例,需通過條件到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值3來確定動(dòng)點(diǎn)(攔截點(diǎn))的軌跡是圓. (2)與直線和圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題一般都可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系或者轉(zhuǎn)化為直線和圓中的最值問題. [演練沖關(guān)] 如圖,半圓AOB是某愛國(guó)主義教育基地一景點(diǎn)的平面示意圖,半徑OA的長(zhǎng)為1百米.為了保護(hù)景點(diǎn),基地管理部門從道路l上選取一點(diǎn)C,修建參觀線路C-D-E-F,且CD,DE,EF均與半圓相切,四邊形CDEF是等腰梯形.設(shè)DE=t百米,記修建每1百米參觀線路的費(fèi)用為f(t)萬元,經(jīng)測(cè)算f(t)= (1)用t表示線段EF的長(zhǎng); (2)求修建該參觀
20、線路的最低費(fèi)用.
解:(1)法一:設(shè)DE與半圓相切于點(diǎn)Q,則由四邊形CDEF是等腰梯形知OQ⊥l,DQ=QE,以O(shè)F所在直線為x軸,OQ所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.
由題意得,點(diǎn)E的坐標(biāo)為,
設(shè)直線EF的方程為y-1=k(k<0),
即kx-y+1-tk=0.
因?yàn)橹本€EF與半圓相切,
所以圓心O到直線EF的距離為=1,
解得k=.
代入y-1=k可得,點(diǎn)F的坐標(biāo)為.
所以EF= =+,
即EF=+(0 21、
所以Rt△EHF≌Rt△OGF,
所以HF=FG=EF-t.
由EF2=1+HF2=1+2,
解得EF=+(0 22、值為24.5.
答:修建該參觀線路的最低費(fèi)用為24.5萬元.
A組——大題保分練
1.在一個(gè)矩形體育館的一角MAN內(nèi)(如圖所示),用長(zhǎng)為a的圍欄設(shè)置一個(gè)運(yùn)動(dòng)器材儲(chǔ)存區(qū)域,已知B是墻角線AM上的一點(diǎn),C是墻角線AN上的一點(diǎn).
(1)若BC=a=10,求儲(chǔ)存區(qū)域△ABC面積的最大值;
(2)若AB=AC=10,在折線MBCN內(nèi)選一點(diǎn)D,使DB+DC=a=20,求儲(chǔ)存區(qū)域四邊形DBAC面積的最大值.
解:(1)設(shè)AB=x,則AC= ,
所以S△ABC=x=≤ =×50=25, 23、
當(dāng)且僅當(dāng)x2=100-x2,即x=5時(shí)取等號(hào),
所以S△ABC取得最大值為25.
(2)由DB+DC=20知點(diǎn)D在以B,C為焦點(diǎn)的橢圓上.
因?yàn)镾△ABC=×10×10=50,所以要使四邊形DBAC的面積最大,只需△DBC的面積最大,此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離最大,即D必為橢圓短軸頂點(diǎn).
由BC=10得短半軸長(zhǎng)為5,所以S△DBC的最大值為×10×5=50.
因此四邊形DBAC面積的最大值為100.
2.某地?cái)M建一座長(zhǎng)為640米的大橋AB,假設(shè)橋墩等距離分布,經(jīng)設(shè)計(jì)部門測(cè)算,兩端橋墩A,B造價(jià)總共為100萬元,當(dāng)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米時(shí)(其中64 24、價(jià)為 萬元,橋面每1米長(zhǎng)的平均造價(jià)為萬元.
(1)試將橋的總造價(jià)表示為x的函數(shù)f(x);
(2)為使橋的總造價(jià)最低,試問這座大橋中間(兩端橋墩A,B除外)應(yīng)建多少個(gè)橋墩?
解:(1)由橋的總長(zhǎng)為640米,相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米,知中間共有個(gè)橋墩,于是橋的總造價(jià)
f(x)=640++100,
即f(x)=x+x--x+1 380
=x+x--x+1 380(64 25、;
當(dāng)x∈(80,100)時(shí),f′(x)>0,
所以當(dāng)x=80時(shí),橋的總造價(jià)最低,此時(shí)橋墩數(shù)為-1=7.
3.如圖所示,有兩條道路OM與ON,∠MON=60°,現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道OA,OB,AB(其中A,B分別在OM,ON上),若下水管道的總長(zhǎng)度為3 km.設(shè)OA=a km,OB=b km.
(1)求b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式,并指出a的取值范圍;
(2)已知點(diǎn)P處有一個(gè)污水總管的接口,點(diǎn)P到OM的距離PH為 km,到點(diǎn)O的距離PO為 km,問下水管道AB能否經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)P?若能,求出a的值,若不能,請(qǐng)說明理由.
解:(1)∵OA+OB+AB=3,∴AB=3-a-b.
∵∠M
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