江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 隨機(jī)變量、空間向量(理)7.1 隨機(jī)變量與分布列講義(含解析)

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1、7.1 隨機(jī)變量與分布列 [江蘇卷5年考情分析] 這兩部分內(nèi)容的教學(xué)課時(shí)都較多,但高考并非是年年都考,通常是交叉式的隔年考一個(gè)內(nèi)容.但2017年兩道必做題一改常規(guī),既考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,又考查概率分布與期望值;既考查運(yùn)算能力,又考查思維能力.2018年又只考查了空間向量.由于考題屬中檔題要求,所以不宜過(guò)難.立體幾何題應(yīng)當(dāng)容易建立空間直角坐標(biāo)系,以計(jì)算空間角為主;概率題是離散型隨機(jī)變量及其分布列的均值與方差、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布這幾個(gè)基本知識(shí)交叉考查.   第一講 隨機(jī)變量與分布列 題型(一) 離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望             

2、         主要考查特殊事件的概率求解以及分布列與期望的求解. [典例感悟] [例1]  (2018·無(wú)錫期末)某公司有A,B,C,D四輛汽車,其中A車的車牌尾號(hào)為0,B,C兩輛車的車牌尾號(hào)為6,D車的車牌尾號(hào)為5,已知在非限行日,每輛車都有可能出車或不出車.其中A,D兩輛汽車每天出車的概率為,B,C兩輛汽車每天出車的概率為,且四輛汽車是否出車是相互獨(dú)立的.該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下: 汽車車牌尾號(hào) 車輛限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9 星期五 (1)求該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率; (2)設(shè)

3、X表示該公司在星期一和星期二兩天出車的車輛數(shù)之和,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. [解]  (1)記該公司在星期四至少有兩輛汽車出車為事件A,則為該公司在星期四最多有一輛汽車出車. P()=22+C2+C·2=. 所以P(A)=1-P()=. 所以該公司在星期四至少有兩輛汽車出車的概率為. (2)由題意,X的可能值為0,1,2,3,4. P(X=0)=22=; P(X=1)=C2+C·2=; P(X=2)=22+22+C·C=; P(X=3)=2C+2C·=; P(X=4)=22=. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P E(X)=+

4、2×+3×+4×=. 所以X的數(shù)學(xué)期望為. [方法技巧] 求離散型隨機(jī)變量分布列及期望的關(guān)鍵和步驟 由于離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是根據(jù)其分布列運(yùn)用相應(yīng)公式求解,因而解決這種問(wèn)題的關(guān)鍵是求離散型隨機(jī)變量的分布列,而分布列是由隨機(jī)變量及其相應(yīng)的概率值構(gòu)成的,所以這類問(wèn)題主要就是求隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率.具體步驟如下: [演練沖關(guān)] (2018·揚(yáng)州考前調(diào)研)某校舉辦校園科技文化藝術(shù)節(jié),在同一時(shí)間安排《生活趣味數(shù)學(xué)》和《校園舞蹈賞析》兩場(chǎng)講座.已知A,B兩學(xué)習(xí)小組各有5位同學(xué),每位同學(xué)在兩場(chǎng)講座任意選聽(tīng)一場(chǎng).若A組1人選聽(tīng)《生活趣味數(shù)學(xué)》,其余4人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》;B組2人

5、選聽(tīng)《生活趣味數(shù)學(xué)》,其余3人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》. (1)若從此10人中任意選出3人,求選出的3人中恰有2人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》的概率; (2)若從A,B兩組中各任選2人,設(shè)X為選出的4人中選聽(tīng)《生活趣味數(shù)學(xué)》的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 解:(1)設(shè)“選出的3人中恰有2人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》”為事件M,則P(M)==,故選出的3人中恰有2人選聽(tīng)《校園舞蹈賞析》的概率為. (2)X可能的取值為0,1,2,3, P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 所以X的分布列為: X 0 1 2 3 P

6、所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. 題型(二) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布                       主要考查對(duì)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型的識(shí)別以及二項(xiàng)分布模型公式的應(yīng)用. [典例感悟] [例2] (2018·南京、鹽城一模)某年級(jí)星期一至星期五每天下午排3節(jié)課,每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課(上午不排該課程),張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐課程. (1)求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率; (2)設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X,求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望E(X). [解] (1)

7、這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率為P=1-=. (2)由題意得X~B, P(X=k)=Ck·5-k,k=0,1,2,3,4,5. 所以X的概率分布為: X 0 1 2 3 4 5 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=5×=. [方法技巧] 二項(xiàng)分布的分布列及期望問(wèn)題求解三步驟 第一步 判斷 二項(xiàng) 分布 先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,即若滿足:①對(duì)立性:即一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果“成功”和“不成功”,而且有且僅有一個(gè)發(fā)生;②重復(fù)性:試驗(yàn)在相同條件下獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次,保證每一次試驗(yàn)中成功的概率和不成功的概率都保持不變,則該隨

8、機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,否則不服從二項(xiàng)分布 第二步 求概率 若該隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,還需要通過(guò)古典概型或相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算出試驗(yàn)中“成功”“不成功”的概率分別是多少 第三步 求期望 根據(jù)二項(xiàng)分布的分布列列出相應(yīng)的分布列,再根據(jù)期望公式或二項(xiàng)分布期望公式求期望即可 [演練沖關(guān)] (2018·蘇北四市三調(diào))將4本不同的書隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)抽屜中. (1)求4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中的概率; (2)設(shè)隨機(jī)變量X表示放在2號(hào)抽屜中書的本數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X). 解:(1)將4本不同的書放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)抽屜中,共有44=

9、256種不同放法. 記“4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中”為事件A, 則事件A共包含A=24個(gè)基本事件, 所以P(A)==, 所以4本書恰好放在四個(gè)不同抽屜中的概率為. (2)法一:X的所有可能取值為0,1,2,3,4, P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, P(X=4)==. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1. 法二:每本書放入2號(hào)抽屜的概率為P(B)=,P()=1-=. 根據(jù)題意X~B, 所以P(X=k)=Ck·4-k,k=

10、0,1,2,3,4, 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4×=1. 題型(三) 概率與其他知識(shí)的綜合 主要考查與概率或期望有關(guān)的綜合問(wèn)題或在復(fù)雜背景下的概率與期望的綜合問(wèn)題. [典例感悟] [例3] (2018·南通調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,共比賽2n(n∈N*)局.根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道,每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人,則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P(n). (1)求P(2)與P(3)的值; (2)試比較P(n)與P(n+1)的大小,并證明你的

11、結(jié)論. [解] (1)若甲、乙比賽4局甲贏,則甲在4局比賽中至少勝3局, 所以P(2)=C4+C4=, 同理P(3)=C6+C6+C6=. (2)在2n局比賽中甲贏,則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為n+1局, 故P(n)=C2n+C2n+…+C2n =·2n =·2n =·2n =, 所以P(n+1)=. 又== ==>1, 所以>,所以P(n)<P(n+1). [方法技巧] 二項(xiàng)分布與二項(xiàng)式定理的交匯問(wèn)題,其求解的一般思路是先利用二項(xiàng)分布求其P(n)和P(n+1),然后利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求得,概率還常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、立體幾何等知識(shí)交匯命題. [演練沖關(guān)]

12、 1.(2018·常州期末)已知正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)相等,在這個(gè)正四棱錐的8條棱中任取兩條,按下列方式定義隨機(jī)變量ξ的值: 若這兩條棱所在的直線相交,則ξ的值是這兩條棱所在直線的夾角大小(弧度制);若這兩條棱所在的直線平行,則ξ=0;若這兩條棱所在的直線異面,則ξ的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制). (1)求P(ξ=0)的值; (2)求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ). 解:根據(jù)題意,該四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為等邊三角形,底面為正方形,容易得到△PAC,△PBD為等腰直角三角形.ξ的可能取值為0,,,共C=28種情況,其中,ξ=0時(shí),有2種; ξ=時(shí),兩條

13、棱所在直線相交時(shí),4個(gè)側(cè)面三角形,共4×3種,兩條棱所在直線異面時(shí),底面一條邊與不相鄰的兩條側(cè)棱,共4×2種,共有3×4+2×4=20(種); ξ=時(shí),兩個(gè)等腰直角三角形,2種,底面正方形,4種,共有2+4=6(種). (1)P(ξ=0)==. (2)P==, P==. 再根據(jù)(1)的結(jié)論,隨機(jī)變量ξ的分布列為: ξ 0 P E(ξ)=0×+×+×=π. 2.(2017·江蘇高考)已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出,并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3,…,m+n的抽屜內(nèi),其中第k

14、次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n). 1 2 3 … m+n (1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p; (2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學(xué)期望,證明:E(X)<. 解:(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p為: p==. (2)證明:隨機(jī)變量X的概率分布為: X … … P … … 隨機(jī)變量X的期望為: E(X)=· =·. 所以E(X)< = =(1+C+C+…+C) =(C+C+C+…+C) =(C+C+…+C) =…=

15、(C+C) ==, 即E(X)<. A組——大題保分練 1.(2018·南京學(xué)情調(diào)研)袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球,每種顏色的小球各有4個(gè),分別編號(hào)為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球. (1)若兩個(gè)球顏色不同,求不同取法的種數(shù); (2)在(1)的條件下,記兩球編號(hào)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望. 解:(1)兩個(gè)球顏色不同的情況共有C·42=96(種). (2)隨機(jī)變量X所有可能的值為0,1,2,3. P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. 所以隨機(jī)變量X的概率分布列為 X

16、0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 2.某射擊小組有甲、乙兩名射手,甲的命中率為p1=,乙的命中率為p2.在射擊比賽活動(dòng)中,每人射擊兩發(fā)子彈,則完成一次檢測(cè).在一次檢測(cè)中,若兩人命中次數(shù)相同且都不少于一發(fā),則稱該射擊小組為“和諧組”. (1)若p2=,求該小組在一次檢測(cè)中榮獲“和諧組”的概率; (2)若計(jì)劃在2019年每月進(jìn)行1次檢測(cè),記這12次檢測(cè)中該小組獲得“和諧組”的次數(shù)為X,如果E(X)≥5,求p2的取值范圍. 解:(1)記該小組在一次檢測(cè)中榮獲“和諧組”的概率為P, 則P=+×·×=.即該小組在一次檢測(cè)中榮獲“和諧組”的概

17、率為. (2)該小組在一次檢測(cè)中榮獲“和諧組”的概率為 P=×Cp2(1-p2)+p =p2-p. 因?yàn)樵撔〗M在這12次檢測(cè)中獲得“和諧組”的次數(shù)X~B(12,P),所以E(X)=12P. 由E(X)≥5得12≥5, 解得≤p2≤. 因?yàn)閜2≤1,所以p2的取值范圍為. 3.從集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三個(gè)元素構(gòu)成子集{a,b,c}. (1)求a,b,c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2的概率; (2)記a,b,c三個(gè)數(shù)中相鄰自然數(shù)的組數(shù)為ξ(如集合{3,4,5}中3和4相鄰,4和5相鄰,ξ=2),求隨機(jī)變量ξ的概率分布及其數(shù)學(xué)期望E(ξ). 解:

18、(1)從9個(gè)不同的元素中任取3個(gè)不同元素,其基本事件總數(shù)為n=C. 記“a,b,c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2”為事件A. 由題意,a,b,c均不相鄰,可利用插空法.假設(shè)有6個(gè)元素排成一列,則6個(gè)元素之間和兩端共有7個(gè)空位,現(xiàn)另取3個(gè)元素插入空位,共有C種插法,然后將這9個(gè)元素,從左到右編號(hào),依次為1,2,3,…,9,則插入的這3個(gè)元素中任意兩者之差的絕對(duì)值均不小于2,所以事件A包含的基本事件數(shù)m=C. 故P(A)==. 所以a,b,c中任意兩數(shù)之差的絕對(duì)值均不小于2的概率為. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2. P(ξ=0)=,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==. 所

19、以ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×+1×+2×=. 4.已知某種植物的種子每粒發(fā)芽的概率都為,某實(shí)驗(yàn)小組對(duì)該種植物的種子進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn),若該實(shí)驗(yàn)小組共種 植四粒該植物的種子(每粒種子的生長(zhǎng)因素相同且發(fā)芽與否相互獨(dú)立),用ξ表示這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)與未發(fā)芽的種子數(shù)的差的絕對(duì)值. (1)求隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望; (2)求不等式ξx2-ξx+1>0的解集為R的概率. 解:(1)由題意知,這四粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)可能為0,1,2,3,4,對(duì)應(yīng)的未發(fā)芽的種子數(shù)為4,3,2,1,0, 所以ξ的所有可能取值為0,2,4, P(ξ=0

20、)=C×2×2=, P(ξ=2)=C×3×1+C×1×3=, P(ξ=4)=C×4×0+C×0×4=. 所以隨機(jī)變量ξ的概率分布為 ξ 0 2 4 P 數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×+2×+4×=. (2)由(1)知ξ的所有可能取值為0,2,4, 當(dāng)ξ=0時(shí),代入ξx2-ξx+1>0,得1>0,對(duì)x∈R恒成立,即解集為R; 當(dāng)ξ=2時(shí),代入ξx2-ξx+1>0,得2x2-2x+1>0, 即22+>0,對(duì)x∈R恒成立,即解集為R; 當(dāng)ξ=4時(shí),代入ξx2-ξx+1>0,得4x2-4x+1>0,其解集為x≠,不滿足題意. 所以不等式ξx2-ξx+1>0的解

21、集為R的概率P=P(ξ=0)+P(ξ=2)=. B組——大題增分練 1.(2018·鎮(zhèn)江期末)某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測(cè)試,每門得A等級(jí)的概率都是,該學(xué)生各學(xué)科等級(jí)成績(jī)彼此獨(dú)立.規(guī)定:有一門學(xué)科獲A等級(jí)加1分,有兩門學(xué)科獲A等級(jí)加2分,有三門學(xué)科獲A等級(jí)加3分,四門學(xué)科獲A等級(jí)則加5分.記X1表示該生的加分?jǐn)?shù),X2表示該生獲A等級(jí)的學(xué)科門數(shù)與未獲A等級(jí)學(xué)科門數(shù)的差的絕對(duì)值. (1)求X1的數(shù)學(xué)期望; (2)求X2的分布列. 解:(1)記該學(xué)生有i門學(xué)科獲得A等級(jí)為事件Ai,i=0,1,2,3,4. X1的可能取值為0,1,2,3,5. 則P(Ai)=Ci4-i, 即P(

22、A0)=,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=,則X1的分布列為 X1 0 1 2 3 5 P 所以E(X1)=0×+1×+2×+3×+5×=. (2)X2的可能取值為0,2,4,則 P(X2=0)=P(A2)=; P(X2=2)=P(A1)+P(A3)=+=; P(X2=4)=P(A0)+P(A4)=+=. 所以X2的分布列為 X2 0 2 4 P 2.(2018·南京、鹽城、連云港二模)甲、乙兩人站在點(diǎn)P處分別向A,B,C三個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊,每人向三個(gè)目標(biāo)各射擊一次.每人每次射擊每個(gè)目標(biāo)均相互獨(dú)立,且

23、兩人各自擊中A,B,C的概率分別為,,. (1)設(shè)X表示甲擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)求甲、乙兩人共擊中目標(biāo)數(shù)為2個(gè)的概率. 解:(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X=0)=××=, P(X=1)=××+××+××=, P(X=2)=××+××+××=, P(X=3)=××=. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. (2)設(shè)Y表示乙擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù), 由(1)可知,P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=. 則P(X=0,Y=2

24、)=×=, P(X=1,Y=1)=×=, P(X=2,Y=0)=×=, 所以P(X+Y=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=0)=. 所以甲、乙兩人共擊中目標(biāo)的個(gè)數(shù)為2的概率為. 3.如圖,設(shè)P1,P2,…,P6為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn),現(xiàn)任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形,記該三角形的面積為隨機(jī)變量S. (1)求S=的概率; (2)求S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(S). 解:(1)從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形共有C種不同選法,其中S=的為有一個(gè)角是30°的直角三角形(如△P1P4P5),共6×2=12種, 所以P==. (2)S

25、的所有可能取值為,,.S=的為頂角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3),共6種, 所以P==. S=的為等邊三角形(如△P1P3P5),共2種, 所以P==. 又由(1)知P==, 故S的分布列為 S P 所以E(S)=×+×+×=. 4.一個(gè)摸球游戲,規(guī)則如下:在一不透明的紙盒中,裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球.參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲,從中有放回地摸球3次.參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球,然后摸球.當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí),游戲費(fèi)被沒(méi)收;當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次,2次,3次時(shí),參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍,1倍,k倍的獎(jiǎng)勵(lì)(k∈

26、N*),且游戲費(fèi)仍退還給參加者.記參加者玩1次游戲的收益為X元. (1)求概率P(X=0)的值; (2)為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元,求k的最小值. 解:(1)事件“X=0”表示“有放回的摸球3回,所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次”, 則P(X=0)=3××2=. (2)依題意得,X的可能值為k,-1,1,0, 且P(X=k)=3=,P(X=-1)=3=,P(X=1)=3×2×=, 結(jié)合(1)知,參加游戲者的收益X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)=k×+(-1)×+1×=, 為使收益X的數(shù)學(xué)期望不小于0元, 所以k≥110,即kmin=110. 故k的最小值為110. 16

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