2022高考數學一輪復習 第2章 函數與基本初等函數 第4課時 函數的奇偶性與周期性練習 理

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1、2022高考數學一輪復習 第2章 函數與基本初等函數 第4課時 函數的奇偶性與周期性練習 理 1．函數f(x)＝x＋(x≠0)是(　　) A．奇函數，且在(0，3)上是增函數 B．奇函數，且在(0，3)上是減函數 C．偶函數，且在(0，3)上是增函數 D．偶函數，且在(0，3)上是減函數 答案　B 解析　因為f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)，所以函數f(x)＝x＋為奇函數．當x1，x2∈(0，3)(x10，x1x2<9，所以(x1－x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所

2、以函數f(x)在(0，3)上是減函數，故選B. 2．(2018·黑龍江大慶模擬)下列函數中，在(0，＋∞)上單調遞減，并且是偶函數的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　 B．y＝－x3 C．y＝－ln|x| D．y＝2x 答案　C 解析　A項，y＝x2是偶函數，在(0，＋∞)上單調遞增，不合題意；B項，y＝－x3是奇函數，不合題意；C項，y＝－ln|x|是偶函數，在(0，＋∞)上單調遞減，符合題意；D項，y＝2x不是偶函數，不合題意．故選C. 3．若函數f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函數，則g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是(　　) A．奇函數 B．偶函數

3、C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數 答案　A 解析　由于f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函數，所以b＝0，所以g(x)＝2ax3＋9x(a≠0)，所以g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax3＋9x)＝－g(x)，所以g(x)＝2ax3＋9x是奇函數．故選A. 4．(2015·陜西)設f(x)＝x－sinx，則f(x)(　　) A．既是奇函數又是減函數 B．既是奇函數又是增函數 C．是有零點的減函數 D．是沒有零點的奇函數 答案　B 解析　易得f(x)是奇函數，由f′(x)＝1－cosx≥0恒成立，可知f(x)是增函數，故選B. 5．函數f(x)是定義域為

4、R的偶函數，又是以2為周期的周期函數，若f(x)在[－1，0]上是減函數，則f(x)在[2，3]上是(　　) A．增函數 B．減函數 C．先增后減的函數 D．先減后增的函數 答案　A 6．(2018·山東臨沭一中月考)已知定義在R上的函數f(x)的滿足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，則f(2 019)＝(　　) A．－3 B．0 C．1 D．3 答案　B 解析　用－x換x，可將f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)， ∴T＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3)． ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0. 7．(2

5、017·課標全國Ⅰ)函數f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，且為奇函數．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．[－1，1] C．[0，4] D．[1，3] 答案　D 解析　∵f(x)為奇函數，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等價于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故選D. 8．若定義在R上的奇函數f(x)滿足對任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，則f(2 015)，f(2 016)，f(2 017

6、)的大小關系是(　　) A．f(2 015)f(2 016)>f(2 017) C．f(2 016)>f(2 015)>f(2 017) D．f(2 016)

7、(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝8，即f(2 015)

8、＝1－e.故選A. 10．設函數y＝f(x)(x∈R)為偶函數，且?x∈R，滿足f(x－)＝f(x＋)，當x∈[2，3]時，f(x)＝x，則當x∈[－2，0]時，f(x)等于(　　) A．|x＋4| B．|2－x| C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1| 答案　D 解析　因為?x∈R，滿足f(x－)＝f(x＋)， 所以?x∈R，滿足f(x＋－)＝f(x＋＋)， 即f(x)＝f(x＋2)． 若x∈[0，1]時，則x＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x＋2)＝x＋2， 若x∈[－1，0]，則－x∈[0，1]． 因為函數y＝f(x)(x∈R)為偶函數，所以f(－x)＝－x＋

9、2＝f(x)，即f(x)＝－x＋2. 若x∈[－2，－1]，則x＋2∈[0，1]，則f(x)＝f(x＋2)＝x＋2＋2＝x＋4. 綜上f(x)＝故選D. 11．(2018·安徽合肥一模)已知函數f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．0 答案　A 解析　設t＝x－1，則f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2，2]．記g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，則函數y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函數．由已知得y

10、＝g(t)－2的最大值為M－2，最小值為m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故選A. 12．如果函數g(x)＝是奇函數，那么f(x)＝________． 答案　2x＋3 解析　令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x－3.因為g(x)是奇函數，所以g(x)＝－g(－x)＝2x＋3， 所以f(x)＝2x＋3. 13．已知y＝f(x)＋x2是奇函數，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________． 答案?。? 解析　令H(x)＝f(x)＋x2，則H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1

11、)＋2＝－1. 14．已知函數f(x)＝x3＋x，對任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，則x的取值范圍為________． 答案　(－2，) 解析　易知原函數在R上單調遞增，且為奇函數，故f(mx－2)＋f(x)<0?f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，此時應有mx－2<－x?mx＋x－2<0對所有m∈[－2，2]恒成立． 令g(m)＝xm＋x－2，此時只需即可， 解得－2

12、解析　∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化簡為xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數，從而函數f(x)的大致圖像如圖所示，則不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為{x|－1

13、)＜0? f(x)＜－f(x－)＝f(－x)? ?－＜x＜. ∴不等式f(x)＋f(x－)＜0的解集為{x|－＜x＜}． 17．已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且當x∈[0，2)時，f(x)＝log2(x＋1)，求： (1)f(0)與f(2)的值； (2)f(3)的值； (3)f(2 013)＋f(－2 014)的值． 答案　(1)f(0)＝0，f(2)＝0　(2)f(3)＝－1　(3)1 解析　(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1. (3)依題意得，x≥0時，f(x＋4)＝－f(x＋2

14、)＝f(x)，即x≥0時，f(x)是以4為周期的函數． 因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1. 18．已知函數f(x)＝是奇函數． (1)求實數m的值； (2)若函數f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍． 答案　(1)m＝2　(2)(1，3] 解析　(1)設x<0，則－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又因為f(x)為奇函數，所以f(

15、－x)＝－f(x)， 于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增， 結合f(x)的圖像知 所以1

16、－1]，得到f(－m)＝－(2－1)＋1＝0. 2．(2017·安徽蚌埠質檢)函數y＝f(x)是R上的奇函數，滿足f(3＋x)＝f(3－x)，當x∈(0，3)時，f(x)＝2x，當x∈(－6，－3)時，f(x)等于(　　) A．2x＋6 B．－2x－6 C．2x－6 D．－2x＋6 答案　D 解析　由函數f(x)是奇函數，得f(－x)＝－f(x)，當x∈(－6，－3)時，x＋6∈(0，3)，由f(3＋x)＝f(3－x)，得f(x)＝－f(－x)＝－f[3－(3＋x)]＝－f[3＋(3＋x)]＝－f(6＋x)＝－26＋x. 3．[x]表示不超過x的最大整數，已知函數f(x)＝

17、|x|－[x]，有下列結論： ①f(x)的定義域為R；②f(x)的值域為[0，1]；③f(x)是偶函數；④f(x)不是周期函數；⑤f(x)的單調增區(qū)間為(k，k＋1)(k∈N)． 其中正確的個數是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　A 解析　顯然①正確．x＝－2.1時，f(－2.1)＝2.1－(－3)＝5.1.②錯誤；f(x)圖像關于y軸不對稱，③錯誤；f(x)在x>0上是周期變化，在x<0上不是周期變化，④正確；k∈N，則在(k，k＋1)(k∈N)上f(x)＝x－[x]，因為當x>0時x－[x]表示x的小數部分，所以f(x)在(k，k＋1)(k∈N)上單調遞增

18、，當x<0時，f(x)＝－x－[x]，y＝－x是減函數，y＝－[x]也是減函數，故f(x)的單調增區(qū)間只有(k，k＋1)(k∈N)，⑤正確．故①④⑤正確，故選A. 4.設f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數，如圖表示該函數在區(qū)間(－2，1]上的圖像，則f(2 013)＋f(2 014)＝(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　C 解析　f(2 013)＝f(3×671)＝f(0)＝0，f(2 014)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1，所以f(2 013)＋f(2 014)＝1. 5．(2017·湖北黃岡調研)定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝

19、0，f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)＝(　　) A．1 B. C．－1 D．－ 答案　C 解析　∵f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， ∴定義在R上的函數f(x)是奇函數． ∵4＝log216

20、sinx B．y＝x2cosx C．y＝|lnx| D．y＝2－x 答案　B 解析　A中函數為奇函數，B中函數為偶函數，C與D中函數均為非奇非偶函數，故選B. 7．已知定義在R上的函數f(x)，對任意的x1，x2∈R都有f(x1＋x2)－f(x1)＝f(x2)＋5，則下列命題正確的是(　　) A．f(x)是奇函數 B．f(x)是偶函數 C．f(x)＋5是奇函數 D．f(x)＋5是偶函數 答案　C 解析　取x1＝x2＝0，得f(0＋0)－f(0)＝f(0)＋5，所以f(0)＝－5，令x1＝x，x2＝－x，則f[x＋(－x)]－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(0)

21、－f(x)＝f(－x)＋5，所以f(－x)＋5＝－[f(x)＋5]，所以函數f(x)＋5是奇函數，故選C. 8．(2017·唐山一中月考)f(x)是定義在R上的奇函數，滿足f(x＋1)＝，當x∈(0，1)時，f(x)＝2x－2，則f(log6)＝________． 答案　 解析　∵f(x＋1)＝，∴f(x)＝f(x＋2)． f(log6)＝－f(－log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)＝－(2log26－2－2)＝－(－2)＝. 9.設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區(qū)間[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.若f(－)＝f()，則f(5a)的值是______

22、__． 答案　－ 解析　由題意可得f(－)＝f(－)＝－＋a，f()＝f()＝|－|＝，則－＋a＝，a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－. 10．定義在(－∞，＋∞)上的函數y＝f(x)在(－∞，2)上是增函數，且函數y＝f(x＋2)為偶函數，則f(－1)，f(4)，f(5)的大小關系是__________． 答案　f(5)0時，f(x)≤8. ∵f(x)，g(x)都是奇函數，且當x<0時，－x>0. ∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8. ∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4. ∴f(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－4.