2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2課時(shí) 不等式的證明與柯西不等式練習(xí) 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2課時(shí) 不等式的證明與柯西不等式練習(xí) 理 1．設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是(　　) A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11 B．a(chǎn)2＋≥a＋ C．|a－b|＋≥2 D.－<－ 答案　C 解析　(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0， 故A恒成立； 在B項(xiàng)中不等式的兩側(cè)同時(shí)乘以a2，得a4＋1≥a3＋a?(a4－a3)＋(1－a)≥0?a3(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B項(xiàng)中的不等式恒成立； 對C項(xiàng)中的不等式，當(dāng)a>b時(shí)，恒成立，當(dāng)a

2、恒成立，知D項(xiàng)中的不等式恒成立．故選C. 2．已知a，b，m，n均為正數(shù)，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________． 答案　2 解析　(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)m＝m＝時(shí)等號成立)． 3．(2018·滄州七校聯(lián)考)若logxy＝－2，則x＋y的最小值為________． 答案　 解析　由logxy＝－2，得y＝. 而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝，當(dāng)且僅

3、當(dāng)＝即x＝時(shí)取等號．所以x＋y的最小值為. 4．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最大值為________． 答案　 解析　方法一：(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號成立． 方法二：柯西不等式：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3. 5．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________． 答案　12 解析　由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c

4、2≥12，當(dāng)a＝2b＝3c＝2時(shí)等號成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值為12. 6．(2018·江蘇南通聯(lián)考)已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求證：()2≤. 答案　略 證明　因?yàn)閤>0，y>0，所以x＋y>0. 所以要證()2≤， 即證(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)， 即證xy(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立．故()2≤. 7．(2014·江蘇)已知x>0，y>0，證明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 答案　略 證明　因?yàn)閤>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0，1＋x2＋y≥3>0.故(1＋x

5、＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy. 8．(2018·福建質(zhì)量檢查)若a，b，c∈R＋，且滿足a＋b＋c＝2. (1)求abc的最大值； (2)證明：＋＋≥. 答案　(1)　(2)略 解析　(1)因?yàn)閍，b，c∈R＋， 所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號成立． 所以abc的最大值為. (2)證明：因?yàn)閍，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根據(jù)柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)·(＋＋)＝[()2＋()2＋()2]×[()2＋()2＋()2]≥(×＋×＋×)2＝. 所以＋＋≥. 9．(2016·課標(biāo)全國Ⅱ，理)已知函數(shù)f(x)＝|x－

6、|＋|x＋|，M為不等式f(x)<2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|<|1＋ab|. 答案　(1){x|－1－1； 當(dāng)－

7、理)設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝＋.證明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時(shí)成立． 答案　(1)略　(2)略 解析　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1. (1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. (2)假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時(shí)成立，則由a2＋a<2及a>0得0

8、R，求證：f(x)≥2. 答案　(1)(－，)　(2)見解析 解析　(1)因?yàn)閒(1)<3，所以|a|＋|1－2a|<3. ①當(dāng)a≤0時(shí)，得－a＋(1－2a)<3，解得a>－，所以－－2，所以0

9、. (1)若不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)設(shè)m>0，n>0，且m＋n＝1，求證：＋≤2. 答案　(1)[－1，3]　(2)略 解析　(1)方法一：依題意，f(x)＝ ∴f(x)min＝2. ∵不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立， ∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，3]． 方法二：∵f(x)＝|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，∴f(x)min＝2. ∵不等式f(x)≥a2－2a－1恒成立，∴a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，3]． (2)由

10、(1)知f(x)≥2，∴2≥2. ∵(＋)2＝2(m＋n)＋2＋2≤4＋(2m＋1)＋(2n＋1)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)等號成立． ∴＋≤2， ∴＋≤2. 1．(2017·武漢4月調(diào)研)(1)求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集； (2)若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝，求證：＋≤1. 答案　(1){x|－7≤x≤}　(2)略 解析　(1)當(dāng)x≤－時(shí)，－x＋5＋2x＋3≥1， 解得x≥－7，∴－7≤x≤－； 當(dāng)－

11、的解集為{x|－7≤x≤}． (2)要證＋≤1，只需證a＋b＋2≤1， 即證2≤，即證≤. 而a＋b＝≥2，∴≤成立， ∴原不等式成立． 2．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1，1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. 答案　(1)1　(2)略 解析　(1)因?yàn)閒(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等價(jià)于|x|≤m， 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1，1]，故m＝1. (2)證明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋， 由柯西不等式，得 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋) ≥(·＋·＋·)2＝9.