2022高考數學一輪復習 第9章 解析幾何 第7課時 雙曲線（一）練習 理

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1、2022高考數學一輪復習 第9章 解析幾何 第7課時 雙曲線（一）練習 理 1．雙曲線－＝1(00)的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B. C. D．1 答案　D 解析　因為雙曲線的方程

2、為－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1.選D. 4．(2017·北京西城期末)mn<0是方程＋＝1表示實軸在x軸上的雙曲線的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　當mn<0時，分m<0，n>0和m>0，n<0兩種情況． ①當m<0，n>0時，方程＋＝1表示焦點在y軸上的雙曲線；②當m>0，n<0時，方程＋＝1表示焦點在x軸上的雙曲線．因此，當mn<0時，方程＋＝1不一定表示實軸在x軸上的雙曲線．方程＋＝1表示實軸在x軸上的雙曲線時，m>0，n<0，必定有mn<0.由此可得：mn<0是方程

3、＋＝1表示實軸在x軸上的雙曲線的必要而不充分條件．故選B. 5．(2017·河北邢臺摸底)雙曲線x2－4y2＝－1的漸近線方程為(　　) A．x±2y＝0 B．y±2x＝0 C．x±4y＝0 D．y±4x＝0 答案　A 解析　依題意，題中的雙曲線即－x2＝1，因此其漸近線方程是－x2＝0，即x±2y＝0，選A. 6．(2018·湖北孝感一中月考)設點P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)上一點，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，已知PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線的一條漸近線方程是(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝2x D．y＝4x

4、答案　C 解析　由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4c2＝16a2＋4a2，即c2＝5a2，則b2＝4a2，即b＝2a，則雙曲線－＝1的一條漸近線方程為y＝2x.故選C. 7．(2018·安徽屯溪一中模擬)已知雙曲線的離心率為，且其頂點到其漸近線的距離為，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1或－＝1 D.－＝1或－＝1 答案　D 解析　當焦點在x軸上時，設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．雙曲線的離心率為e＝

5、＝＝＝， ∴＝，漸近線方程為y＝±x＝±x. 由題意，頂點到漸近線的距離為＝，解得a＝2， ∴b＝，∴雙曲線的方程為－＝1. 當焦點在y軸上時，設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．雙曲線的離心率為e＝＝＝， ∴＝，漸近線方程為y＝±x＝±x，由題意可知：頂點到漸近線的距離為＝，解得a＝2，∴b＝， ∴雙曲線的方程為－＝1. 綜上可知，雙曲線的方程為－＝1或－＝1.故選D. 8．已知點F1，F2分別是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1，)

6、B．(，2) C．(1＋，＋∞) D．(1，1＋) 答案　D 解析　依題意，0<∠AF2F1<，故00，n>0)的離心率為2，則橢圓mx2＋ny2＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知雙曲線的離心率為2，得＝2. 解得m＝3n.又m>0，n>0，∴m>n，即>. 故由橢圓mx2＋ny2＝1，得＋＝1. ∴所求橢圓的離心率為e＝＝＝. 10．已知雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>

7、0)，雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為c(c為雙曲線的半焦距長)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　雙曲線－＝1的漸近線為±＝0，焦點A(c，0)到直線bx－ay＝0的距離為＝c，則c2－a2＝c2，得e2＝，e＝，故選B. 11．(2018·成都市高三二診)設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以OF1(O為坐標原點)為直徑的圓與PF2相切，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如圖，在圓O中，F1F2為直徑，P

8、是圓O上一點，所以PF1⊥PF2，設以OF1為直徑的圓的圓心為M，且圓M與直線PF2相切于點Q，則M(－，0)，MQ⊥PF2，所以PF1∥MQ，所以＝，即＝，可得|PF1|＝，所以|PF2|＝＋2a，又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以＋(＋2a)2＝4c2，即7e2－6e－9＝0，解得e＝，e＝(舍去)．故選D. 12．(2018·貴陽市高三檢測)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2，1)在“右”區(qū)域內，則雙曲線離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，) B．(，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞)

9、 答案　B 解析　依題意，注意到題中的雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，且“右”區(qū)域是不等式組所確定，又點(2，1)在“右”區(qū)域內，于是有1<，即>，因此題中的雙曲線的離心率e＝∈(，＋∞)，選B. 13．已知曲線方程－＝1，若方程表示雙曲線，則λ的取值范圍是________． 答案　λ<－2或λ>－1 解析　∵方程－＝1表示雙曲線，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ<－2或λ>－1. 14．(2016·北京)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(，0)，則a＝________；b＝________． 答案　1　2 解析　由題意知，漸近線方

10、程為y＝－2x，由雙曲線的標準方程以及性質可知＝2，由c＝，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1. 15．(2015·課標全國Ⅱ，文)已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標準方程為________． 答案?。瓂2＝1 解析　方法一：因為雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y＝±x，故點(4，)在直線y＝x的下方．設該雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，所以解得故雙曲線方程為－y2＝1. 方法二：因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故可設雙曲線為－y2＝λ(λ>0)，又雙曲線過點(4，)，所以－()2＝λ，所以λ＝1，故雙曲線方程為－y2＝1. 16．(20

11、18·湖南長沙模擬)P是雙曲線C：－y2＝1右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F1是雙曲線C的左焦點，則|PF1|＋|PQ|的最小值為________． 答案　2＋1 解析　設右焦點為F2，∵|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝|PF2|＋2，∴|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋2＋|PQ|.當且僅當Q，P，F2三點共線，且P在F2，Q之間時，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值為F2到l的距離． 由題意得l的方程為y＝±x，F2(，0)，F2到l的距離d＝1，∴|PQ|＋|PF1|的最小值為2＋1. 17.如圖所示，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x

12、軸上，F1，F2分別為左、右焦點，雙曲線的左支上有一點P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面積為2，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程． 答案?。? 解析　設雙曲線的方程為－＝1， ∴F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x0，y0)． 在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|. 即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|. 又∵S△PF1F2＝2， ∴|PF1|·|PF2|·sin＝2. ∴|PF1|·|PF2|＝8. ∴4c2＝4a2＋8，即b

13、2＝2. 又∵e＝＝2，∴a2＝. ∴所求雙曲線方程為－＝1. 18．(2018·上海崇明一模)已知點F1，F2為雙曲線C：x2－＝1的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，∠MF1F2＝30°. (1)求雙曲線C的方程； (2)過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為P1，P2，求·的值． 答案　(1)x2－＝1　(2) 解析　(1)設F2，M的坐標分別為(，0)，(，y0)(y0>0)， 因為點M在雙曲線C上，所以1＋b2－＝1，則y0＝b2， 所以|MF2|＝b2. 在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|

14、＝b2，所以|MF1|＝2b2. 由雙曲線的定義可知：|MF1|－|MF2|＝b2＝2， 故雙曲線C的方程為x2－＝1. (2)由條件可知：兩條漸近線分別為l1：x－y＝0，l2：x＋y＝0. 設雙曲線C上的點P(x0，y0)兩條漸近線的夾角為θ，由題意知cosθ＝.則點P到兩條漸近線的距離分別為|PP1|＝，|PP2|＝. 因為P(x0，y0)在雙曲線C：x2－＝1上，所以2x02－y02＝2. 所以·＝·cosθ＝·＝. 1．(2015·廣東，理)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.

15、－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　因為雙曲線C的右焦點為F2(5，0)，所以c＝5. 因為離心率e＝＝，所以a＝4. 又a2＋b2＝c2，所以b2＝9. 故雙曲線C的方程為－＝1. 2．若雙曲線－＝1的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　B 解析　由離心率為，可知c＝a，∴b＝a.∴漸近線方程為y＝±x＝±x，故選B. 3．(2015·天津，文)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F(2，0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1

16、B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 答案　D 解析　雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，即bx－ay＝0. 由題意，得解得a2＝1，b2＝3， 從而雙曲線的方程為x2－＝1. 4．設F1，F2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D．3 答案　B 解析　由雙曲線的定義，得||PF1|－|PF2||＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4

17、|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2.又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9－－4＝0，則＝0，解得＝，則雙曲線的離心率e＝＝. 5．(2015·廣東改編)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3，0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由曲線C的右焦點為F(3，0)，知c＝3. 由離心率e＝，知＝，則a＝2. 故b2＝c2－a2＝9－4＝5. 所以雙曲線C的方程為－＝1. 6．(2016·天津)已知雙曲線－＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的

18、兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　根據圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設交點A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的雙曲線方程為－＝1，選D. 7．(2017·邯鄲調研)已知F為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點，c為雙曲線的半焦距，定點G(0，c)，若雙曲線上存在一點P滿足|PF|＝|PG|，則雙

19、曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．(1，) C．[，＋∞) D．(1，) 答案　A 解析　若雙曲線上存在點P滿足|PF|＝|PG|，則必須滿足FG的中垂線與雙曲線有交點，則P是線段FG中垂線與雙曲線的交點，因為直線FG的方程為y＝x＋c，所以線段FG中垂線的方程為y＝－x，又雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則－<－1，即>1，所以e＝>，所以雙曲線的離心率的取值范圍為(，＋∞)． 8．(2018·遼寧撫順重點高中協(xié)作校一模)當雙曲線M：－＝1(－2≤m<0)的焦距取得最小值時，雙曲線M的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x

20、 D．y＝±x 答案　C 解析　c2＝m2＋2m＋6＝(m＋1)2＋5≥5，當且僅當m＝－1時取等號，此時a2＝m2＝1，b2＝2m＋6＝4，所以＝2，即雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，故選C. 9．(2018·遼寧師大附中期中)如圖，F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點．若直線y＝x與雙曲線C交于P，Q兩點，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為(　　) A．2＋ B．2＋ C. D. 答案　C 解析　將y＝x代入－＝1，可得x＝±.由矩形的對角線長相等，得·＝c，∴2a2b2＝(b2－a2)c2，∴2a2(c2－a2)＝(c2－2a

21、2)c2，∴2(e2－1)＝e4－2e2，∴e4－4e2＋2＝0，又∵e>1，∴e2＝2＋，e＝.故選C. 10．(2018·河南八市重點高中模擬)已知F1，F2分別是雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點，P為雙曲線上的一點，若∠F1PF2＝120°，且△F1PF2的三邊長成等差數列，則雙曲線的漸近線的斜率是(　　) A．± B．± C．± D．± 答案　D 解析　不妨設P點在第一象限，|PF1|＝m，|PF2|＝n，則由已知得所以c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2(舍去)，由b2＝c2－a2得b＝3，則雙曲線的漸近線的斜率是±，故選D. 11．(2018·天津一中模擬

22、)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x＋2y＋5＝0，且雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：x＋2y＋5＝0，且雙曲線的一個焦點在直線l上，所以得所以雙曲線的方程為－＝1. 12．(2018·蘭州市高考診斷)已知F1，F2為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P為雙曲線C右支上一點，直線PF1與圓x2＋y2＝a2相切，且|PF2|＝|F1F2|，則雙曲線C的離心率為(　　) A. B. C.

23、 D．2 答案　C 解析　設直線PF1與圓相切于點M，∵|PF2|＝|F1F2|，∴△PF1F2為等腰三角形，∴|F1M|＝|PF1|，∵在Rt△F1MO(O為坐標原點)中，|F1M|2＝|F1O|2－a2＝c2－a2，∴|F1M|＝b＝|PF1|①，又|PF1|＝|PF2|＋2a＝2c＋2a②，c2＝a2＋b2③，故由①②③得，e＝＝.故選C. 13．(2018·福建漳州一中期中)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，若雙曲線右支上存在一點P，使得F2關于直線PF1的對稱點恰在y軸上，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為(　　) A．1

24、 C．e> D．10，即有3b2＝3c2－3a2>a2，即c>a，則有e＝>.故選B. 14．(2016·課標全國Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1，3

25、) B．(－1，) C．(0，3) D．(0，) 答案　A 解析　由題意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2

26、(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　C 解析　∵e＝＝，∴e2＝＝＝. ∴a2＝4b2，＝.∴漸近線方程為y＝±x. 17．(2018·山東滕州月考)已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，若雙曲線的左支上有一點M到右焦點F2的距離為18，N是MF2的中點，O為坐標原點，則|NO|等于(　　) A. B．1 C．2 D．4 答案　D 解析　由雙曲線－＝1，知a＝5，由雙曲線定義|MF2|－|MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8，∴|NO|＝|MF1|＝4. 18．(

27、2018·湖南六校聯考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3，4)，則此雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　由已知可得交點(3，4)到原點O的距離為圓的半徑，則半徑r＝＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又雙曲線的一條漸近線y＝x過點(3，4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，故選C. 19．(2018·杭州學軍中學模擬)過雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的左焦點F作圓C2：x2＋y2＝a2的切線，設切點為M，延長FM交雙曲線C1于點N.若點

28、M為線段FN的中點，則雙曲線C1的離心率為(　　) A. B. C.＋1 D. 答案　A 解析　設雙曲線C1的右焦點為F1.根據題意，得|FN|＝2b，|F1N|＝2a.根據雙曲線的定義得|FN|－|F1N|＝2a?b＝2a，則e＝. 20．(2018·遼寧五校協(xié)作體月考)已知F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，2] C．(1，] D．(1，3] 答案　D 解析　設|PF2|＝m(m≥c－a)， 則根據雙曲線的定義，得|PF1|＝2a＋m. 所

29、以＝＝＋4a＋m≥8a，當且僅當m＝2a時等號成立．所以c－a≤2a，解得e≤3，所以1

30、 B. C. D. 答案　A 解析　直角三角形斜邊為c， 斜邊上的高為＝c，4ab＝c2. 結合00，b>0)的兩條漸近線所截得線段的長度恰好等于其一個焦點到漸近線的距離，則此雙曲線的離心率為________． 答案　2 解析　由已知可得＝，∴c＝2a，∴e＝＝2. 24．(2015·山東，文)過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為________． 答案　2＋ 解析　設直線方程為y＝(x－c)，由得x＝，由＝2a，e＝，解得e＝2＋(e＝2－舍去)．