2022年高中數(shù)學(xué)必修二（人教B版）：1-2-3《空間中的平行關(guān)系》教案

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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修二（人教B版）：1-2-3《空間中的平行關(guān)系》教案 教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)與技能 （1）認(rèn)識(shí)和理解空間平行線的傳遞性，會(huì)證明空間等角定理. （2）通過(guò)直觀感知，歸納直線和平面平行及平面和平面平行的判定定理. （3）掌握直線和平面平行，平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用這些定理解決空間中的平行關(guān)系問(wèn)題. 2、過(guò)程與方法 通過(guò)類比和轉(zhuǎn)換的思維方法，將空間中的某些立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題，從而化難為易，化繁為簡(jiǎn)，帶未知為已知，使問(wèn)題得到很好的解決（線∥線 線∥面 面∥面）.教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)與推論以及它們的應(yīng)用；線線平行及平行線的傳遞

2、性和面面平行的定義與判定. 難點(diǎn)：自然語(yǔ)言與數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用；如何由平行公理以及其他基本性質(zhì)推出空間線、線，線、面和面、面平行的判定和性質(zhì)定理，并掌握這些定理的應(yīng)用. 教學(xué)過(guò)程 一、導(dǎo)入 看圖觀察，圖中的關(guān)系是什么？ 二、平面中的平行關(guān)系 1. 平行直線 （1）空間兩條直線的位置關(guān)系 ①相交：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； ②平行：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn). （2）初中幾何中的平行公理： 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行. 【說(shuō)明】此結(jié)論在空間中仍成立． （3）公理4（空間平行線的傳遞性）： 平行于同一條直線的兩條直線互相平行．

3、即：如果直線a // b,c // b，那么a // c. 【說(shuō)明】此公理是判定兩直線平行的重要方法：尋找第三條直線分別與前兩條直線平行. 2. 等角定理 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等. 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等. 需要說(shuō)明的是：對(duì)于等角定理中的條件：“方向相同”. （1）若僅將它改成“方向相反”，則這兩個(gè)角也相等. （2）若僅將它改成“一邊方向相同，而另一邊方向相反”，則這兩個(gè)角互補(bǔ).此定理及推論是證明角相等問(wèn)題的常用方法. 3. 空間圖形的平移 如果

4、空間圖形F的所有點(diǎn)都沿同一方向移動(dòng)相同的距離到F＇的位置，則說(shuō)圖形F在空間做了一次平移. 注意：圖形平移后與原圖形全等，即對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間的距離保持不變. 圖形平移有如下性質(zhì)： （1）平移前后的兩個(gè)圖形全等； （2）對(duì)應(yīng)角的大小平移前后不變； （3）對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的距離平移前后不變； （4）對(duì)應(yīng)兩平行直線的位置關(guān)系在平移前后不變； （5）對(duì)應(yīng)兩垂直直線的位置關(guān)系在平移前后不變. 4. 證明空間兩直線平行的方法 （1）利用定義 用定義證明兩條直線平行，需證兩件事：一是兩直線在同一平面內(nèi)；二是兩直線沒有公共點(diǎn). （2）利用公理4 用公理4證明兩條直線平行，只需證一件事：就是需

5、找到直線c，使得a // c，同時(shí)b//c，由公理4得a // b. 5. 直線與平面平行 （1）直線和平面的位置關(guān)系有三種，用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)歸納為 （2）線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行. 符號(hào)表示為： （Ⅰ）該定理常表述為：“線線平行，則線面平行.” （Ⅱ）用該定理判斷直線a和平面α平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件： ①直線a不在平面α內(nèi)，即 . ②直線b在平面α內(nèi)，即. ③兩直線a、b平行，即a // b. 這三個(gè)條件缺一不可. （3）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和

6、這個(gè)平面相交，那么這條直線和兩平面的交線平行. 符號(hào)表示：若 ,則a // b, 即“線面平行，則線線平行”. 【說(shuō)明】 a. 此定理可以作為直線與直線平行的判定定理 b. 定理中有3個(gè)條件： ①直線a和平面α平行，即a //α； ②平面α、β相交，即α∩β＝b； ③直線a在平面β內(nèi)，即 . 三者缺一不可. （4）線面平行定理的應(yīng)用 應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與平面外相互平行的直線. 應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理解題的關(guān)鍵是利用已知條件作輔助平面，然后把已知中的線面平行轉(zhuǎn)化為直線和交線平行. 6. 兩個(gè)平面的位置關(guān)系 同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似

7、；可以從有無(wú)公共點(diǎn)來(lái)區(qū)分： ① 如果兩個(gè)平面有不共線的三個(gè)公共點(diǎn)，那么由公理3可知：這兩個(gè)平面必然重合； ② 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么由公理2可知：這兩個(gè)平面相交于過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線； ③ 如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)平面相互平行. 由此可知兩個(gè)不重合的平面的位置關(guān)系： （1）平行——沒有公共點(diǎn)； （2）相交——至少有一個(gè)公共點(diǎn)（或有一條公共直線）. 7. 面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行. 已知：、，，∥，∥（如圖所示） 求證：∥ 證明：用反證法 假設(shè) ∥，，∥ 同理有∥ 由公理4

8、知∥，這與相矛盾. ∥ 注意：（1）此定理用符號(hào)表示為 （2）應(yīng)用本定理的關(guān)鍵是：要證面面平行，轉(zhuǎn)化為證線面平行，即在內(nèi)找兩條相交直線、都平行于. （3）這個(gè)定理有推論：“若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行.” 8. 面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行. 已知：，平面，（如圖所示） 求證： 證明： 沒有公共點(diǎn)，而，，、沒有公共點(diǎn) 又、， 注意：（1）本定理可作為線線平行的判定定理使用. （2）面面平行的性質(zhì)還有： ① 這條性質(zhì)同時(shí)是線面平行的一種判定方法

9、. ②夾在兩平行平面間的兩條平行線段相等. ③對(duì)三個(gè)平面 這是平面平行的傳遞性. 三、典例解析 例1．已知：如圖，空間四邊形中，分別是邊的中點(diǎn). 求證：四邊形是平行四邊形. 證明：在中，分別是中點(diǎn)， 則. 同理，. 所以. 所以四邊形是平行四邊形. 例2．已知：空間四邊形中，分別是的中點(diǎn). 求證：. 證明：連接.在中， 因?yàn)? 分別是的中點(diǎn)， 所以 . 又因 . 所以 . 例3．求證：如果過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)的直線平行于與該平面平行的一條直線，則這條直線在這個(gè)平面內(nèi). 已知：. 求證：. 證明：設(shè)與確定的平面為，且，則. 又知，，由平行公理可知，與重合. 所以. 四、課后小結(jié) 應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與平面外相互平行的直線. 應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理解題的關(guān)鍵是利用已知條件作輔助平面，然后把已知中的線面平行轉(zhuǎn)化為直線和交線平行. 兩平面平行問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可以轉(zhuǎn)化為線線平行.所以注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，兩平面平行的性質(zhì)定理是證明空間兩直線平行的重要依據(jù)，故應(yīng)切實(shí)掌握好. 五、課后作業(yè) 練習(xí)A、B. 六、板書設(shè)計(jì)