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1、
2022年高中數(shù)學蘇教版選修4-4教學案:4-4 4-4-3 參數(shù)方程的應(yīng)用 Word版含答案
[對應(yīng)學生用書P22]
1.中心在原點,焦點在x軸上的橢圓+=1(a>b>0)的一個參數(shù)方程是(φ為參數(shù)).
2.圓心為(a,b)、半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
3.過定點M(x0,y0)傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
4.利用曲線的參數(shù)方程可解決變量的范圍或最值問題;利用參數(shù)思想可解決求曲線、軌跡方程的問題.
[對應(yīng)學生用書P23]
利用參數(shù)方程研究最值或范圍問題
[例1] 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),P是橢圓+y2
2、=1上任意一點,求點P到直線l的距離的最大值.
[思路點撥] 化直線參數(shù)方程為普通方程,設(shè)出橢圓的參數(shù)方程后建立距離d的函數(shù)關(guān)系,利用三角知識求最值.
[精解詳析] 直線l的普通方程為x+2y=0.
因為P為橢圓+y2=1上任一點,
所以可設(shè)P(2cos θ,sin θ),其中θ∈R.
因此點P到直線l的距離是
d==,
所以當θ=kπ+,k∈Z時,dmax=.
由于橢圓或圓上點的坐標都能描述為參數(shù)θ的三角函數(shù),故涉及橢圓、圓有關(guān)的最值問題,可以利用參數(shù)方程設(shè)出曲線上點的坐標,進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題,利用三角函數(shù)的有界性求解.
1.(新課標全國卷Ⅰ)已知
3、曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)).
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;
(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.
解:(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).
直線l的普通方程為2x+y-6=0.
(2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到l的距離為d=|4cos θ+3sin θ-6|.
則|PA|==|5sin(θ+α)-6|,
其中α為銳角,且tan α=.
當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為.
當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為.
2.已知直線l
4、:(t為參數(shù),α為傾斜角,且α≠)與曲線+=1交于A,B兩點.
(1)寫出直線l的普通方程及直線l通過的定點P的坐標;
(2)求PA·PB的最大值.
解:(1)∵(t為參數(shù),α為傾斜角且α≠),
∴==tan α,
∴直線l的普通方程為xtan α-y-2tan α=0.
直線l通過的定點P的坐標為(2,0).
(2)把代入橢圓的方程+=1,
得3(2+tcos α)2+4(tsin α)2-48=0,
即(3+sin2α)t2+12cos α·t-36=0.
設(shè)A(2+t1cos α,t1sin α),B(2+t2 cos α,t2sin α),
則PA=|t1|,PB
5、=|t2|
∴PA·PB=|t1t2|=.
∵0≤α<π,且α≠,
∴0≤sin2α<1,∴PA·PB的最大值為12.
參數(shù)法求軌跡方程
[例2] 如圖,已知圓的方程為x2+y2=,橢圓的方程為+=1,過原點的射線交圓于A點,交橢圓于B點,過A、B分別作x軸和y軸的平行線,求所作兩直線交點P的軌跡方程.
[思路點撥] 根據(jù)A在圓上,B在橢圓上,設(shè)出A,B的坐標,得到P的坐標(用參數(shù)表示),消去參數(shù)得P的軌跡方程.
[精解詳析] 設(shè)A,B(5cos θ,4sin θ),P(x,y).
則
由O、A、B三點共線,知kOA=kOB,
從而得tan α=tan θ.③
6、
由①得tan2θ=.④
由②得tan2α=.⑤
將③兩邊平方得tan2α=tan2θ.⑥
把④⑤代入⑥化簡整理得所求軌跡方程為:8x2+9x2y2+400y2=200.
在求曲線的軌跡方程時,常根據(jù)需要引入一個中間變量即參數(shù),將x,y表示成關(guān)于該參數(shù)的函數(shù),這種方法是參數(shù)法.特別是當動點的軌跡由圓錐曲線上的點來決定時,則可以利用橢圓、圓的參數(shù)方程表示出這一點的坐標,從而建立動點與該點的聯(lián)系,求得動點的參數(shù)方程,最后消去參數(shù)即得動點的軌跡方程.
3.求由方程x2+y2-4tx-2ty+5t2-4=0(t為參數(shù))所表示的一組圓的圓心軌跡.
解:將方程變形為(x-2t)2+
7、(y-t)2=4,
∴這組圓的圓心坐標為(2t,t).
令?x-2y=0.
故軌跡為直線x-2y=0.
4.(新課標全國卷Ⅱ)已知動點P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點.
(1)求M的軌跡的參數(shù)方程.
(2)將M到坐標原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標原點.
解:(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
故M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù),0<α<2π).
(2)M點到坐標原點的距離d==(0
8、<α<2π).
當α=π時,d=0,故M的軌跡過坐標原點.
參數(shù)方程在實際問題中的應(yīng)用
[例3] 在一次軍事演習中,一轟炸機以150 m/s的速度作水平直線飛行,在離地面飛行高度為490 m時向目標投彈(不計空氣阻力,重力加速度g=9.8 m/s2,炸彈的初速度等于飛機的速度),
求炸彈離開飛機后飛行軌跡的參數(shù)方程.
[思路點撥] 炸彈離開飛機后作平拋運動,可以選擇時間作為參變數(shù),將炸彈的水平方向和豎直方向的運動表示出來.
[精解詳析] 如圖,建立平面直角坐標系,設(shè)A為投彈點,B為轟炸目標,由于已知炸彈運動的水平速度和垂直速度,所以可以以時間t為參數(shù),建立參數(shù)方程.設(shè)曲
9、線上任意一點的坐標為(x,y),其對應(yīng)的時刻為t,
則有
又由y≥0,得t≤10,
所以參數(shù)方程為
(t為參數(shù),0≤t≤10).
1.某些實際問題中,動點的坐標x,y之間的關(guān)系不易直接得到,但可發(fā)現(xiàn)x,y的變化受另一變量(如時間、速度、角度等)的制約,這時可選擇這一變量為參數(shù),求軌跡的參數(shù)方程,消去參數(shù)即可得普通方程.
2.對于實際問題中的有關(guān)計算,我們可以利用坐標法,建立曲線的參數(shù)(普通)方程,利用曲線的參數(shù)(普通)方程和幾何性質(zhì)進行推理、運算.解答中常采用“建模、運算、回答”三步走.
5.某隧道橫斷面由拋物線拱頂與矩形三邊組成,尺寸如圖.某卡車在空車時能過此隧
10、道,現(xiàn)載一集裝箱,箱寬3米,車與箱共高4.5米,此車能否通過此隧道,說明理由.
解:如圖建立平面直角坐標系,設(shè)拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
由于點(3,-3)在拋物線上,代入?yún)?shù)方程可解得
t=-1,p=-,
所以拋物線參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
又箱寬3米,故當x=1.5時,y=-0.75,
即B(1.5,-0.75),
那么B點到底的距離為5-0.75=4.25米,而車與箱的高為4.5米,故不能通過.
6.已知彈道曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)求炮彈從發(fā)射到落地所需的時間;
(2)求炮彈在運動中達到的最大高度.
解:(1)令y=0,即2tsin-gt2=0,
11、∴t1=0,
t2=≈0.204,即從發(fā)射到落地需0.204.
(2)y=2tsin -gt2=-x2+x,是開口向下的拋物線,∴ymax=≈0.051,
即最大高度為0.051.
[對應(yīng)學生用書P25]
1.已知點P(x,y)在橢圓+=1上,試求z=2x-y的最大值.
解:設(shè)點P(4cos θ,2sin θ),
則z=2x-y=8cos θ-6sin θ=10sin(θ+α)≤10,所以zmax=10.
2.直線與拋物線y2=4x交于兩個不同的點P,Q.已知A(2,4),求:
(1)AP+AQ的值;
(2)PQ的長.
解:已知直線的斜率為-1,故直線的傾斜角為135
12、°,故
(t′為參數(shù)),代入y2=4x,
得t′2+12t′+16=0.
故有t1′+t2′=-12,t1′t2′=16.
(1)AP+AQ=|t1′|+|t2′|=|t1′+t′2|=12.
(2)PQ=|t1′-t2′|==4.
3.已知A,B分別是橢圓+=1的右頂點和上頂點,動點C在該橢圓上運動,求△ABC的重心的軌跡方程.
解:由于動點C在橢圓上運動,
可設(shè)C的坐標為(6cos θ,3sin θ),
由于點C不與A,B重合,
故θ∈∪.
設(shè)△ABC的重心G的坐標為(x,y).
依題意,知A(6,0),B(0,3),由三角形的重心坐標公式,得
即(θ為參數(shù))
13、.
其中θ∈∪,這就是重心G的參數(shù)方程,消去參數(shù)θ,得+(y-1)2=1,點(4,1)及(2,2)除外,
所以△ABC的重心的軌跡方程為
+(y-1)2=1,點(4,1)及(2,2)除外.
4.當x2+y2=4時,求u=x2+2xy-y2的最值.
解:設(shè)(0≤θ≤2π),于是
u=x2+2xy-y2
=4cos2θ+8cos θsin θ-4sin2θ
=4cos 2θ+4sin 2θ
=8sin.
所以,當θ=,x=,y=1時,或θ=,x=-,y=-1時,umax=8;
當θ=,x=-1,y=時,或θ=,x=1,y=-時,umin=-8.
5.經(jīng)過點M(,0)作直線l
14、,交曲線C:(α為參數(shù))于A,B兩點,若MA,AB,MB成等比數(shù)列,求直線l的方程.
解:根據(jù)題意,設(shè)直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù)).
曲線C:化成普通方程得x2+y2=4,
將代入x2+y2=4得
(+tcos θ)2+t2sin2θ=4,
化簡整理得t2+2tcos θ+6=0,
設(shè)A(+t1cos θ,t1sin θ),B(+t2cos θ,t2sin θ),
則t1+t2=-2cos θ,t1t2=6.
由題意得AB2=MA·MB,
而AB2=(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=40cos2θ-24,
MA·MB=|t1t2|=6,
∴40cos2
15、θ-24=6,解得cos θ=±,
∴sin θ=±,k=tan θ=±,
所求直線l的方程為y=x-或y=-x+,即x-y-=0或x+y-=0.
6.已知橢圓+y2=1和點P,過點P作橢圓的弦AB,使點P是此弦的一個三等分點,求弦所在直線的方程.
解:設(shè)直線AB的方程為(t為參數(shù)),
代入方程+y2=1,化簡得(1+sin2α)t2+tcos α-=0.(*)
由t的幾何意義知,方程(*)的兩根t1,t2滿足
因為P是AB的一個三等分點,所以t1=-2t2.③
由①和③,解得t2=,
由②和③,得t1t2=-2t.
所以-=,
所以7(1+sin2α)=8cos2
16、α,
即7(sin2α+cos2α+sin2α)=8cos2α.
因為cos α≠0,所以tan2α=,所以k=tan α=±.
所以弦AB的方程為y=±.
7.已知橢圓的中心在原點,焦點在y軸上且長軸長為4,短軸長為2,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),當m為何值時,直線l被橢圓截得的弦長為?
解:由題知橢圓的標準方程為+x2=1.由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),得
令t′=t,則得直線的參數(shù)方程的標準形式(t′為參數(shù),其絕對值的幾何意義是直線上的點到點(0,m)的距離),將其代入橢圓方程并整理,得8t′2+4mt′+5m2-20=0.
設(shè)方程的兩根分別為t′1,t′2,則根據(jù)
17、根與系數(shù)的關(guān)系,有t′1+t′2=-,t′1·t′2=.
∴弦長為|t′1-t′2|= =,
∴m2=,解得m=±.
8.已知曲線C1:(t為參數(shù)),C2:(θ為參數(shù)).
(1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)t=,Q為C2上的動點,求PQ的中點M到C3:(t為參數(shù))距離的最小值.
解:(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1.
C1為圓心是(-4,3),半徑是1的圓.
C2為中心在坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓.
(2)當t=時,P(-4,4),設(shè)Q(8cos θ,3sin θ),
故M.
C3的參數(shù)方程化為普通方程是x-2y-7=0,C3是一條直線,則M到C3的距離
d=|4cos θ-3sin θ-13|
=|5cos(θ+φ)-13|.
從而當cos(θ+φ)=1時,d取最小值.