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2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第4章 拓展資料：數(shù)系擴(kuò)充性質(zhì)裁減
隨著數(shù)系的擴(kuò)充，我們的學(xué)習(xí)進(jìn)入了一個(gè)全新的領(lǐng)域，原來在實(shí)數(shù)中一些非?！帮L(fēng)光”的性質(zhì)或結(jié)論不再成立，不但性質(zhì)沒有擴(kuò)充，反而“裁減”．如果解題時(shí)不注意對(duì)比分析，往往會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．
一、性質(zhì)|x|＝±x，對(duì)虛數(shù)x不再成立
例1 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解的個(gè)數(shù)為（ ）．
（A） ?。˙） ?。–） ?。―）
錯(cuò)解：由，得，
那么，或，從而或，選（B）．
剖析：在實(shí)數(shù)中我們經(jīng)常用到，有時(shí)因?yàn)檫@種代換而產(chǎn)生巧解，但在復(fù)數(shù)中它是不成立的．還有及|a|＝±a及 a2＋b2＝0a＝0，b＝0，這此結(jié)論在虛數(shù)中
2、也是不成立的．
正解：設(shè)，那么原方程即為，得
故或或
所以正確答案為（C）．
二、性質(zhì)(m、n∈Q)，對(duì)虛數(shù)a不再適用
例2 求值．
錯(cuò)解：∵ ，
則＝1．
剖析：在復(fù)數(shù)集中，僅對(duì)有．此錯(cuò)解盲目的將實(shí)數(shù)集中的指數(shù)運(yùn)算的法則直接推廣到了復(fù)數(shù)集．
正解：
＝
＝1×＝－－i．
例3 化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)．
錯(cuò)解：由，選（A）．
剖析：在復(fù)數(shù)集中，僅對(duì)有．此錯(cuò)解盲目的將實(shí)數(shù)集中的指數(shù)運(yùn)算的法則直接推廣到了復(fù)數(shù)集．
正解：由于，
則．
三、虛系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c∈C)有實(shí)
3、根的充要條件，不再是b2－4ac≥0．
例4 關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的范圍。
錯(cuò)解：程有實(shí)根
剖析：判別式只能用來判定實(shí)系數(shù)一元二次方根的虛實(shí)，而該方程式中并非實(shí)數(shù)．此類題應(yīng)先設(shè)出實(shí)根，再由復(fù)數(shù)相等的充要條件建立方程組求得．
正解：設(shè)是其實(shí)根，代入原方程變形為
，解得a＝±1．．
四、對(duì)于實(shí)數(shù)a、b則必有a＞b，a＝b，a＜b三者之一成立．若a、b是虛數(shù)，則不再有此結(jié)論，也就是不能比較大小
例5求滿足條件－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i的實(shí)數(shù)a，b的取值范圍．
錯(cuò)解：由已知，得，解得a＞－3，b＜2．
剖析：想當(dāng)然的認(rèn)為大的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的實(shí)部和虛部都大，忽視了只有實(shí)數(shù)才能比較大小的前提．兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，則不能比較大?。杂龅綇?fù)數(shù)比較大小問題,可以確定該復(fù)數(shù)必定是實(shí)數(shù)．
正解：由－2＋a－(b－a)i＞－5＋(a＋2b－6)i，得a＋3＋(－3b＋6)i＞0，
所以，解得a＞－3，b＝2．
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