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1、
2022年高中數(shù)學(北師大版)選修1-2教案:第4章 拓展資料:數(shù)系擴充性質裁減
隨著數(shù)系的擴充,我們的學習進入了一個全新的領域,原來在實數(shù)中一些非?!帮L光”的性質或結論不再成立,不但性質沒有擴充,反而“裁減”.如果解題時不注意對比分析,往往會出現(xiàn)錯誤.
一、性質|x|=±x,對虛數(shù)x不再成立
例1 在復數(shù)范圍內,方程的解的個數(shù)為( ?。?
(A) (B) ?。–) ?。―)
錯解:由,得,
那么,或,從而或,選(B).
剖析:在實數(shù)中我們經(jīng)常用到,有時因為這種代換而產(chǎn)生巧解,但在復數(shù)中它是不成立的.還有及|a|=±a及 a2+b2=0a=0,b=0,這此結論在虛數(shù)中
2、也是不成立的.
正解:設,那么原方程即為,得
故或或
所以正確答案為(C).
二、性質(m、n∈Q),對虛數(shù)a不再適用
例2 求值.
錯解:∵ ,
則=1.
剖析:在復數(shù)集中,僅對有.此錯解盲目的將實數(shù)集中的指數(shù)運算的法則直接推廣到了復數(shù)集.
正解:
=
=1×=--i.
例3 化簡復數(shù).
錯解:由,選(A).
剖析:在復數(shù)集中,僅對有.此錯解盲目的將實數(shù)集中的指數(shù)運算的法則直接推廣到了復數(shù)集.
正解:由于,
則.
三、虛系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈C)有實
3、根的充要條件,不再是b2-4ac≥0.
例4 關于的方程有實根,求實數(shù)的范圍。
錯解:程有實根
剖析:判別式只能用來判定實系數(shù)一元二次方根的虛實,而該方程式中并非實數(shù).此類題應先設出實根,再由復數(shù)相等的充要條件建立方程組求得.
正解:設是其實根,代入原方程變形為
,解得a=±1..
四、對于實數(shù)a、b則必有a>b,a=b,a<b三者之一成立.若a、b是虛數(shù),則不再有此結論,也就是不能比較大小
例5求滿足條件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的實數(shù)a,b的取值范圍.
錯解:由已知,得,解得a>-3,b<2.
剖析:想當然的認為大的復數(shù)所對應的實部和虛部都大,忽視了只有實數(shù)才能比較大小的前提.兩個復數(shù),如果不全是實數(shù),則不能比較大?。杂龅綇蛿?shù)比較大小問題,可以確定該復數(shù)必定是實數(shù).
正解:由-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i,得a+3+(-3b+6)i>0,
所以,解得a>-3,b=2.