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1、2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題10 系列4選講 第2講 不等式選講增分強(qiáng)化練 理
1．請(qǐng)考生在下面兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．
[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．曲線C2：x2＋y2－4y＝0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，－)．
(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；
(2)若C1與C2相交于M、N兩點(diǎn)，求＋的值．
解析：(1)因?yàn)?
所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ.
(2)把曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2的方程得
(2－t)2
2、＋(－2＋t)2－4(－2＋t)＝0，
化簡(jiǎn)得t2－t＋16＝0，
t1＋t2＝，t1·t2＝16，∴t1>0，t2>0.
又點(diǎn)P(2，－)的直角坐標(biāo)為(2，－2)，故＋＝＋＝＝＝.
[選修4－5：不等式選講]
已知f(x)＝|2x＋m|(m∈R)．
(1)當(dāng)m＝0時(shí)，求不等式f(x)＋|x－2|<5的解集；
(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式|2x－2|－f(x)
3、＋2|，
若|2x－2|－f(x)2.
2．請(qǐng)考生在下面兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．
[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ－)＝，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(θ－)．
(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的參數(shù)方程；
(2)設(shè)M，N分別是曲線C1，C2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值．
解析：(1)依題意，ρsin(θ－)＝ρsin θ－ρcos θ＝，所以曲線C1
4、的普通方程為x－y＋2＝0.
因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程為
ρ2＝2ρcos(θ－)＝ρcos θ＋ρsin θ，
所以x2＋y2－x－y＝0，
即(x－)2＋(y－)2＝1，
所以曲線C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù))．
(2)由(1)知，圓C2的圓心(，)圓心到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝.
又半徑r＝1，所以|MN|min＝d－r＝－1.
[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝|x－m|＋|x＋1|(m∈R)的最小值為4.
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋2b＋3c＝m，求證：＋＋≥3.
解析：(1)f(x)＝|x－m|＋|x＋1|≥|
5、(x－m)－(x＋1)|＝|m＋1|，
所以|m＋1|＝4，解得m＝－5或m＝3.
(2)證明：由題意，a＋2b＋3c＝3.
于是＋＋＝(a＋2b＋3c)(＋＋)
＝(3＋＋＋＋＋＋)
≥(3＋2 ＋2 ＋2 )＝3，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c時(shí)等號(hào)成立，即a＝1，b＝，c＝時(shí)等號(hào)成立．
3．(2018·廈門第二次質(zhì)檢)請(qǐng)考生在下面兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．
[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：＋y2＝1，曲線C2：(φ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求C1，C2的
6、極坐標(biāo)方程；
(2)射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ≥0)，若l分別與C1，C2交于異于極點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，求的最大值．
解析：(1)C1：x2＋4y2＝4，∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
故C1的極坐標(biāo)方程：ρ2(3sin2θ＋1)＝4.
C2的直角坐標(biāo)方程：(x－2)2＋y2＝4，
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，故C2的極坐標(biāo)方程：
ρ＝4cos θ.
(2)直線l分別與曲線C1，C2聯(lián)立，得到
則|OA|2＝，
則|OB|2＝16cos2α，
∴＝4cos2α(3sin2α＋1)＝(4－4sin2α)(3sin2α＋1)，
令t＝sin2α，則＝(4－4
7、t)(3t＋1)＝－12t2＋8t＋4，∴t＝，即sin α＝±時(shí)，
有最大值.
[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋a|，其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的值域；
(2)對(duì)于滿足b2＋c2＋bc＝1的任意實(shí)數(shù)b，c，關(guān)于x的不等式f(x)≥3(b＋c)恒有解，求a的取值范圍．
解析：(1)∵a>0，∴－a<2，
∴f(x)＝
故f(x)∈[－a－2，a＋2]．
(2)∵()2－bc＝(b－c)2≥0，
∴bc≤()2，
∵(b＋c)2＝bc＋1，
∴(b＋c)2≤()2＋1，
∴－≤b＋c≤.
當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝時(shí)，(b＋c)max＝，
8、
∴[3(b＋c)]max＝2
關(guān)于x的不等式f(x)≥3(b＋c)恒有解?[f(x)]max≥[3(b＋c)]max
即a＋2≥2，故a≥2－2，
又a>0，所以a≥2－2.
4．請(qǐng)考生在下面兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)．
[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－)＝2.已知點(diǎn)Q為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OQ上，且滿足|OQ|·|OP|＝4.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C2.
(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)，點(diǎn)B
9、在曲線C2上，求△AOB面積的最大值．
解析：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，Q的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)，
由題設(shè)知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝，
由|OQ|·|OP|＝4得C2的極坐標(biāo)方程
ρ＝2cos(θ－)(ρ>0)，
因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－)2＋(y－)2＝1，但不包括點(diǎn)(0,0)．
(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)，
由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝2cos(α－)，
于是△AOB面積為S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝2cos(α－)·|sin(α－)|＝2|sin2α－|≤，
當(dāng)α＝0時(shí)，S取得最大值.
所以△A
10、OB面積的最大值為.
[選修4－5：不等式選講]
已知函數(shù)f(x)＝x2－|x|＋1.
(1)求不等式f(x)≥2x的解集；
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥|＋a|在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．
解析：(1)不等式f(x)≥2x等價(jià)于x2－|x|－2x＋1≥0， ①
當(dāng)x≥0時(shí)，①式化為x2－3x＋1≥0，
解得x≥或0≤x≤；
當(dāng)x<0時(shí)，①式化為x2－x＋1≥0，
解得x<0，綜上所述，不等式f(x)≥2x的解集為
{x|x≤或x≥}．
(2)不等式f(x)≥|＋a|在[0，＋∞)上恒成立，
?－f(x)≤＋a≤f(x)在[0，＋∞)上恒成立，
?－x2＋x－1≤＋a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，
?－x2＋x－1≤a≤x2－x＋1在[0，＋∞)上恒成立，
由－x2＋x－1＝－(x－)2－≤－(當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào))，
x2－x＋1＝(x－)2＋≥(當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào))，
所以－≤a≤，
綜上所述，a的取值范圍是[－，]．
2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題10 系列4選講 第2講 不等式選講增分強(qiáng)化練 理
