2022高考數學二輪復習 專題提能三 數列的創(chuàng)新考法與學科素養(yǎng)能力訓練 理

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1、2022高考數學二輪復習 專題提能三 數列的創(chuàng)新考法與學科素養(yǎng)能力訓練 理 一、選擇題 1．在數列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數)，則稱{an}為“等差比數列”，下列是對“等差比數列”的判斷： ①k不可能為0； ②等差數列一定是“等差比數列”； ③等比數列一定是“等差比數列”； ④“等差比數列”中可以有無數項為0. 其中所有正確判斷的序號是(　　) A．①③　　　 B．②④ C．①④ D．②③ 解析：由等差比數列的定義可知，k不為0，所以①正確，當等差數列的公差為0，即等差數列為常數列時，等差數列不是等差比數列，所以②錯誤；當{an}是等比數列，且公比q＝1時，

2、{an}不是等差比數列，所以③錯誤；數列0,1,0,1，…是等差比數列，該數列中有無數多個0，所以④正確． 答案：C 2．《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)這個問題中，甲所得為(　　) A.錢 B.錢 C.錢 D.錢 解析：設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，依題意有解得故選D. 答案：D 3．宋元時期杰出的數學家朱世杰在其數學巨

3、著《四元玉鑒》中提出了一個“茭草形段”問題：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，問底子幾何？”他在這一問題中探討了“垛積術”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上一束，下一層3束，再下一層6束……)成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示從上往下第二層開始的每層茭草束數，則本問題中三角垛倒數第二層茭草總束數為(　　) A．91 B．105 C．120 D．210 解析：由題意得，從上往下第n層茭草束數為1＋2＋3＋…＋n＝. ∴1＋3＋6＋…＋＝680， 即＝n(n＋1) ·(n＋2)＝680， ∴n(n＋1)(n＋2)＝15×16×17，∴n＝15. 故倒數第二層為

4、第14層，該層茭草總束數為＝105. 答案：B 4．(2018·成都聯考)等差數列{an}中的a3，a2 017是函數f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，則a1 010的值為(　　) A．－2 B．－ C．2 D． 解析：由題易得f′(x)＝3x2－12x＋4，因為a3，a2 017是函數f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，所以a3，a2 017是方程3x2－12x＋4＝0的兩個不等實數根，所以a3＋a2 017＝4.又數列{an}為等差數列，所以a3＋a2 017＝2a1 010，即a1 010＝2，從而a1 010＝2＝－，故選B. 答案：B

5、5．已知數列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數y＝3×2x的圖象上，等比數列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項和為Tn，則下列結論正確的是(　　) A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1 C．Tn＞an D．Tn＜bn＋1 答案：D 6．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，則第二天走了(　　) A．192里 B．96里

6、 C．48里 D．24里 解析：設等比數列{an}的首項為a1，公比q＝，依題意有＝378，解得a1＝192，則a2＝192×＝96，即第二天走了96里，故選B. 答案：B 7．我國古代數學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為： 第一步：構造數列1，，，，…，.① 第二步：將數列①的各項乘以n，得數列(記為)a1，a2，a3，…，an. 則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于(　　) A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1) 解析：a1a2＋a2a3＋…＋an－1an ＝·＋·＋…＋· ＝n2 ＝n2 ＝n2·

7、＝n(n－1)． 答案：C 8．(2018·衡水中學期末改編)已知函數f(x)在R上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，當x＞0時，f(x)＜2，對任意的x，y∈R，f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2成立，若數列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝f()，n∈N*，則a2 018的值為(　　) A．2 B． C． D． 解析：令x＝y＝0得f(0)＝2，所以a1＝2. 設x1，x2是R上的任意兩個數，且x1＜x2，則x2－x1＞0， 因為當x＞0時，f(x)＜2， 所以f(x2－x1)＜2， 即f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－2＜2＋f(

8、x1)－2＝f(x1)， 所以f(x)在R上是減函數． 因為f(an＋1)＝f()， 所以an＋1＝，即＝＋1， 所以＋＝3(＋)， 所以{＋}是以1為首項，3為公比的等比數列， 所以＋＝3n－1，即an＝. 所以a2 018＝.故選C. 答案：C 二、填空題 9．意大利著名數學家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現有這樣的一列數：1,1,2,3,5,8，…，該數列的特點是：前兩個數均為1，從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和，人們把這樣的一列數組成的數列{an}稱為斐波那契數列，則iai＋2－的值為________． 解析：由題意，得a1a3－a＝1×2－1＝1

9、，a2a4－a＝1×3－4＝－1，a3a5－a＝2×5－9＝1，a4a6－a＝3×8－25＝－1，…，a8a10－a＝21×55－342＝－1，a9a11－a＝34×89－552＝1，所以iai＋2－＝(aiai＋2－a)＝1. 答案：1 10．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現有這樣一個整除問題：將1到2 016這2 016個數中能被3除余1且被5除余1的數按從小到大的順序排成一列，構成數列{an}，則此數列的項數為________． 解析：能被3除余1且被5除余1的數就是能被15除余1的數，故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2 0

10、16，解得n≤，又n∈N*，故此數列的項數為135. 答案：135 11．已知冪函數f(x)＝xα的圖象過點(9,3)，令an＝(n∈N*)，記數列{an}的前n項和為Sn，則S2 018＝________. 解析：由冪函數f(x)＝xα的圖象過點(9,3)，可得9α＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，則an＝＝＝－.所以S2 018＝a1＋a2＋…＋a2 018＝－1＋－＋…＋－＝－1. 答案：－1 12．定義：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個列叫作等差列，這個常數叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝(1,3)為首項，公差為d＝(1,

11、0)的等差向量列，若向量an與非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，則＝________. 解析：易知an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因為向量an與非零向量bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－. 答案：－ 三、解答題 13．(2018·臨川模擬)若數列{bn}對于任意的n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常數)，則稱數列{bn}是公差為d的準等差數列．如數列cn＝則數列{cn}是公差為8的準等差數列．設數列{an}滿足a1＝a，對于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n. (1)求證：{an}是準等差數列

12、； (2)求{an}的通項公式及前20項和S20. 解析：(1)證明：∵an＋an＋1＝2n(n∈N*)，① ∴an＋1＋an＋2＝2(n＋1)(n∈N*)，② ②－①，得an＋2－an＝2(n∈N*)． ∴{an}是公差為2的準等差數列． (2)∵a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，∴a1＋a2＝2×1，即a2＝2－a. 其奇數項與偶數項都為等差數列，公差為2， 當n為偶數時，an＝2－a＋(－1)×2＝n－a； 當n為奇數時，an＝a＋(－1)×2＝n＋a－1. ∴an＝ ∵an＋an＋1＝2n， ∴S20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a2

13、0) ＝2×(1＋3＋…＋19) ＝2× ＝200. 14．(2018·孝感七校聯盟)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，n∈N*，且a2＝3，S5＝25. (1)求數列{an}的通項公式； (2)若數列{bn}滿足bn＝，記數列{bn}的前n項和為Tn，證明：Tn＜1. 解析：(1)設等差數列{an}的公差為d. 因為a2＝3，S5＝25，所以解得 所以an＝2n－1. (2)證明：由(1)知，an＝2n－1，所以Sn＝＝n2. 所以bn＝＝＝－. 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－＜1. 15．已知數列{an}滿足a1＝，an＋1＝3an－1(n∈N*)． (1)求數列{an}的通項公式； (2)求證：og3a＞n2－n. 解析：(1)由題可知an＋1－＝3(an－)， 又a1＝，所以a1－＝1，所以數列{an－}是以1為首項，3為公比的等比數列． 所以an－＝3n－1，即an＝3n－1＋. (2)證明：由(1)知an＝3n－1＋，則log3a＝2 log3(3i－1＋)＞2 log33i－1＝2(i－1)， 所以og3a＞2×(0＋1＋2＋…＋n－1)＝2×＝n2－n.