2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案：第二講 二 綜合法與分析法

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1、2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5教學(xué)案：第二講 二 綜合法與分析法 　　　　　　　　　　　　　 對應(yīng)學(xué)生用書P21 1．綜合法 (1)定義：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ? (2)特點(diǎn)：由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”? (3)證明的框圖表示： 用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為 →→→……→ 2．分析法 (1)定義：證明題時，常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋

2、求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種“執(zhí)果索因”的思考和證明方法． (2)特點(diǎn)：執(zhí)果索因，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”． (3)證明過程的框圖表示： 用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為→→→……→ 　　　　　　　　　　　　 　對應(yīng)學(xué)生用書P21 用綜合法證明不等式 [例1]　已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求證： ·≥9. [思路點(diǎn)撥]　可將所證不等式左邊展開，運(yùn)用已知和基本不等式

3、可得證，也可以用x＋y取代“1”，化簡左邊，然后再用基本不等式． [證明]　法一：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2. ∴xy≤. ∴＝1＋＋＋ ＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時等號成立． 法二：∵x＋y＝1，x>0，y>0， ∴＝ ＝＝5＋2≥5＋2×2＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時， 等號成立． 綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． 1．已知a，b，c∈R＋，證明不明式： a＋b＋c≥＋＋，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號

4、． 證明：因為a>0，b>0，c>0，故有 a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號； b＋c≥2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取等號； c＋a≥2，當(dāng)且僅當(dāng)c＝a時取等號． 三式分邊相加，得a＋b＋c≥＋＋.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號． 2．已知a，b，c都是實數(shù)，求證： a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 證明：∵a，b，c∈R， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc. c2＋a2≥2ca 將以上三個不等式相加得： 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)① 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.② 在不等式①的兩邊同時加上“a2＋b2＋c2”得：

5、 3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2 即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③ 在不等式②的兩端同時加上2(ab＋bc＋ca)得： (a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca) 即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④ 由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 用分析法證明不等式 　　 [例2]　已知x>0，y>0，求證(x2＋y2)>(x3＋y3). [思路點(diǎn)撥]　不等式兩邊是根式，可等價變形后再證明．分析每一步成立的充分條件． [證明]　要證明(x2＋y2)>(x3＋y3)， 只需證(x2＋y2)3>(x3＋y3)2. 即證x6＋3x

6、4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6. 即證3x4y2＋3x2y4>2x3y3. ∵x>0，y>0，∴x2y2>0. 即證3x2＋3y2>2xy. ∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy. ∴3x2＋3y2>2xy成立． ∴(x2＋y2)>(x3＋y3). (1)當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時，可用分析法來尋找證明途徑． (2)分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆． 3．求證：＋<2. 證明：分析法： ∵＋>0,2>0，∴要證 ＋<2. ∴只需證明：(＋)2<(2)2. 展開得：10＋

7、2<20. 即證2<10， 即證21<25(顯然成立)． ∴＋<2. 4．a(chǎn)，b∈R＋，且2c>a＋b. 求證：c－0，b>0，且a＋b＝1，求證：＋≤. [思路點(diǎn)撥]　所證不等式含有開方運(yùn)算且兩邊都為正數(shù)，可考慮兩邊平方，用分析法轉(zhuǎn)化為一個不含開

8、方運(yùn)算的不等式，再用綜合法證明． [證明]　要證：＋≤， 只需證(＋)2≤6， 即證(a＋b)＋2＋2≤6. 由a＋b＝1得只需證≤， 即證：ab≤. 由a0，a＋b＝1， 得ab≤2＝，即ab≤成立． ∴原不等式成立． (1)通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明． (2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法，如本例，這種方法充分表明了分析法與綜合法之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系． 5．已知a，b，c都是正數(shù)， 求證：2≤3. 證明：法一：

9、要證2≤3， 只需證a＋b－2≤a＋b＋c－3， 即－2≤c－3. 移項，得c＋2≥3. 由a，b，c為正數(shù)，得c＋2＝c＋＋≥3成立． ∴原不等式成立． 法二：∵a，b，c是正數(shù)， ∴c＋＋≥3＝3. 即c＋2≥3. 故－2≤c－3. ∴a＋b－2≤a＋b＋c－3. ∴2≤3. 　　　　　　　　　　　　 　對應(yīng)學(xué)生用書P23 1．設(shè)a，b∈R＋，A＝＋，B＝，則A，B的大小關(guān)系是(　　) A．A≥B　　　　　　　 　B．A≤B C．A＞B D．A＜B 解析：A2＝(＋)2＝a＋2＋b，B2＝a＋b， 所以A2>

10、B2. 又A＞0，B＞0， ∴A＞B. 答案：C 2．a(chǎn)，b∈R＋，那么下列不等式中不正確的是(　　) A.＋≥2 B.＋≥a＋b C.＋≤ D.＋≥ 解析：A滿足基本不等式；B可等價變形為(a－b)2(a＋b)≥0正確；C選項中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項不正確；D選項是A選項中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確． 答案：C 3．設(shè)a＝，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．ba 解析：由已知，可得出a＝，b＝，c＝， ∵＋>＋>2. ∴b

11、答案：B 4．設(shè)1. ∴ab0. ∴a<1.∴aa

12、知a>0，b>0，若P是a，b的等差中項，Q是a，b的正的等比中項，是，的等差中項，則P，Q，R按從大到小的排列順序為________． 解析：∵P＝，Q＝，＝＋， ∴R＝≤Q＝≤P＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． 答案：P≥Q≥R 7．設(shè)a>b>c，且＋≥恒成立，則m的取值范圍是________． 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0. 又(a－c)·＝[(a－b)＋(b－c)]·≥2·2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c時取等號． ∴m∈(－∞，4]． 答案：(－∞，4] 8．若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c

13、. 證明：法一：(綜合法) ∵a，b，c∈R＋， ∴≥＞0，＞≥0，≥＞0. 又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)， ∴··＞abc. ∴l(xiāng)g＞lg abc， 即lg ＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 法二：(分析法) 要證lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c， 即證lg＞lg abc成立． 只需證··＞abc成立． 又∵≥＞0，≥＞0，≥＞0. ∴··≥abc＞0.(*) 又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴(*)式等號不成立． ∴原不等式成立． 9．已知x，y，z均為正數(shù)．求證：＋＋≥＋＋. 證明：因為x，y，z均為正數(shù)． 所以＋＝(＋)≥， 同理可得＋≥， ＋≥， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時，以上三式等號都成立． 將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得 ＋＋≥＋＋. 10．設(shè)實數(shù)x，y滿足y＋x2＝0,00，ay>0， 所以ax＋ay≥2 ＝2 . 因為x－x2＝x(1－x)≤2＝， 又因為0a. 所以ax＋ay＞2a，又∵0