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1、2022中考數學一輪復習 第一部分 教材同步復習 第三章 函數 第14講 二次函數的綜合與應用權威預測
1．已知，拋物線y＝－x2＋bx＋c經過點A(－1,0)和C(0,3)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使PA＋PC的值最?。咳绻嬖?，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
(3)設點M在拋物線的對稱軸上，當△MAC是直角三角形時，求點M的坐標．
解：(1)將A(－1,0)，C(0,3)代入y＝－x2＋bx＋c中，
得解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3.
(2)連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時PA＋PC取最小值，如答圖
2、1所示．
當y＝0時，有－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴點B的坐標為(3,0)．
∵拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.
設直線BC的解析式為y＝kx＋d(k≠0)，
將B(3,0)，C(0,3)代入y＝kx＋d中，
得解得
∴直線BC的解析式為y＝－x＋3.
∵當x＝1時，y＝－x＋3＝2，
∴當PA＋PC的值最小時，點P的坐標為(1,2)．
(3)設點M的坐標為(1，m)，
則CM2＝1＋(m－3)2，
AC2＝10，
AM2＝4＋m2，
分三種情況討論：
①當∠AMC＝90°時，
3、有AC2＝AM2＋CM2，即10＝4＋m2＋1＋(m－3)2，
解得m1＝1，m2＝2，
∴點M的坐標為(1,1)或(1,2)；
②當∠ACM＝90°時，有AM2＝AC2＋CM2，即4＋m2＝10＋1＋(m－3)2，解得m＝，
∴點M的坐標為(1，)；
③當∠CAM＝90°時，有CM2＝AM2＋AC2，即1＋(m－3)2＝4＋m2＋10，
解得m＝－，
∴點M的坐標為(1，－)．
綜上所述：當△MAC是直角三角形時，點M的坐標為(1,1)，(1,2)，(1，)或(1，－)．
答圖
2．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)與x軸交于A(－3,0)，B(
4、1,0)兩點，D是拋物線頂點，E是對稱軸與x軸的交點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點F和點D關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，過點P作PQ∥OF交拋物線于點Q，是否存在以點O，F，P，Q為頂點的平行四邊形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．
解：(1)根據題意，得解得
∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.
(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴頂點坐標D(－1,4)，
∴F(－1，－4)，
若以點O，F，P，Q為頂點的平行四邊形存在，則點Q(x，y)滿足|y|＝EF＝4，
①當y＝－4時，－x2－2x＋3＝－4，
解得x＝－1±2，
∴Q1(－1－2，－4)，Q2(－1＋2，－4)，
∴P1(－2，0)，P2(2，0)；
②當y＝4時，－x2－2x＋3＝4，解得x＝－1，
∴Q3(－1,4)，∴P3(－2,0)．
綜上所述，符合條件的點P的坐標為(－2，0)或(2，0)或(－2,0)．
答圖
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