2022高考數(shù)學(xué) 選擇題 專題04 不等式的證明 文

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1、2022高考數(shù)學(xué) 選擇題 專題04 不等式的證明 文 知識通關(guān) 1．基本不等式 （1）定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a，b>0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立. 用語言可以表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù). （3）定理3：如果a，b，c為正數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立． 用語言可以表述為：三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù). （4）算術(shù)平均—幾何平均定理(基本不等式的推廣)：對于n個正數(shù)a1，a2，···，an，它們的算術(shù)平均數(shù)

2、不小于(即大于或等于)它們的幾何平均數(shù)，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=···=an時，等號成立. 2．柯西不等式 （1）二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時，等號成立. （2）柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)α是零向量或β是零向量或存在實(shí)數(shù)k使α=kβ時，等號成立. （3）二維形式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么. （4）一般形式的柯西不等式：設(shè)是實(shí)數(shù),則()() ≥，當(dāng)且僅當(dāng)ai=0或bi=0(i=1,2,···,n)或存在一個數(shù)k使得ai=kbi(i=1,2,···,n)時，等號成立. 3．不等式證明的方法

3、 （1）比較法 比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種. 名稱 作差比較法 作商比較法 理論依據(jù) a＞b?a－b＞0 a＜b?a－b＜0 a＝b?a－b＝0 b＞0，＞1?a＞b b＜0，＞1?a＜b （2）綜合法與分析法 ①綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? ②分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫分析法．即“執(zhí)果

4、索因”的方法． （3）反證法和放縮法 ①反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是間接證明的一種基本方法． ②放縮法：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到到證明的目的.我們把這種方法稱為放縮法. 基礎(chǔ)通關(guān) 1．比較法證明不等式最常用的是差值比較法，其基本步驟是：作差—變形—判斷差的符號—下結(jié)論.其中“變形”是證明的關(guān)鍵，一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個因式的積或配成幾個代數(shù)式平方和的形式，當(dāng)差式是二次三項(xiàng)式時，有

5、時也可用判別式來判斷差值的符號. 2．綜合法證明的實(shí)質(zhì)是由因?qū)Ч?，其證明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)式是“∵，∴”或“?”．解題時，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． 3．當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆． 題組一 比較法證明不等式 作差(商)證明不等式，關(guān)鍵是對差(商)式進(jìn)行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應(yīng)同號．在使用作商比較

6、法時，要注意說明分母的符號． 【例1】已知函數(shù)，M為不等式的解集. （1）求M； （2）證明：當(dāng)a，b時，. 【解析】（1） 當(dāng)時，由得解得； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，由得解得. 所以的解集. （2）由（1）知，當(dāng)時，， 從而， 因此 題組二 分析法證明不等式 分析法證明的思路是“執(zhí)果索因”，具體過程如下：→→→···→得到一個明顯成立的條件. 【例2】已知函數(shù). （1）求不等式的解集A； （2）若，試證明：. 【解析】（1）若，則，解得，無解； 若，則，解得，故； 若，則，解得，故. 綜上所述，不等式的解集A為. 題組三 反證法證明不等式 反證法的

7、關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、公認(rèn)的簡單事實(shí)矛盾等．矛盾是在推理過程中發(fā)現(xiàn)的，不是推理之前設(shè)計(jì)的． 【例3】設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝.證明： （1）a＋b≥2； （2）a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立． 【解析】由a＋b＝＝，a>0，b>0，得ab＝1. （1）由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2. （2）假設(shè)a2＋a<2與b2＋b<2同時成立， 則由a2＋a<2及a>0，得0

8、. 能力通關(guān) 1．使用基本不等式時易忽視等號成立的條件． 利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題．若不等式恒等變形之后與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法． 2．個別題目也可用柯西不等式來證明，注意柯西不等式使用的條件. 基本不等式——綜合法證明不等式 【例1】已知且．證明： （1）； （2）． 【解析】（1） ， ． （2）因?yàn)? 所以 即即. 【例2】已知函數(shù)的最大值為. （1）求的值； （2）若（，），求證：. 【解析】（1）由于 所

9、以的最大值為，即. （2）由（1）得. 因?yàn)?，? 所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立. 柯西不等式及其應(yīng)用 【例3】已知函數(shù),且對任意,都有. （1）求及的值； （2）若, 且,求的最大值及的最大值. 【解析】（1）, 其中取等號的條件是,即, 取等號的條件是, 所以,. 【名師點(diǎn)睛】本題考查絕對值三角不等式的應(yīng)用,基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用,意在考查分類討論思想方法,以及分析問題、解決問題的能力． 不等式證明的綜合問題 【例4】已知在中，角，，所對的邊分別為，，． （1）證明：； （2）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值． 【解析】（1）因?yàn)椋?，為正?shí)數(shù)， 所

10、以由均值不等式可得，即， 所以， 又， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號． 【例5】已知函數(shù). （1）解不等式：； （2）若函數(shù)的最小值為，正實(shí)數(shù)滿足，證明：. 【解析】（1）依題意，； 當(dāng)時，原式化為，解得； 當(dāng)時，原式化為，解得，故不等式無解； 當(dāng)時，原式化為，解得. 綜上所述，不等式的解集為. （2）由題意，可得， 所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值10，即. 故， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時. 高考通關(guān) 1．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|. （1）求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M； （2）設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)＞f(a)－f(－b)． （2）因

11、為f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|， 所以，要證f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需證|ab＋1|＞|a＋b|， 即證|ab＋1|2＞|a＋b|2， 即證a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2， 即證a2b2－a2－b2＋1＞0，即證(a2－1)(b2－1)＞0. 因?yàn)閍，b∈M， 所以a2＞1，b2＞1， 所以(a2－1)(b2－1)＞0成立， 所以原不等式成立. 2．已知為任意實(shí)數(shù). （1）求證： ; （2）求函數(shù)的最小值. 【解析】（1） . 因?yàn)? 所以. （2）= = =, 即. 3．設(shè)函

12、數(shù). （1）當(dāng)時，解不等式； （2）若的解集為，，求證：. 【解析】（1）當(dāng)a=2時，不等式為， 若，則，解得； 若，則，即，無解； 若，則，解得. 所以不等式的解集為. （2）即，解得， 而的解集是，所以，解得a=1， 所以， 所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號. 4．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a. （1）求a的值； （2）若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3. 【解析】（1）因?yàn)閨x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時，等號成立， 所以f(x)的最

13、小值等于3，即a＝3. （2）方法一：由（1）知p＋q＋r＝3，且p，q，r大于0， ∴(p＋q＋r)2＝9. 又易知p2＋q2＋r2≥pq＋pr＋qr， 故9＝(p＋q＋r)2＝p2＋q2＋r2＋2pq＋2pr＋2qr≤3(p2＋q2＋r2)， 因此，p2＋q2＋r2≥3. 方法二：由（1）知p＋q＋r＝3， 又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)， 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9， 故p2＋q2＋r2≥3. 5．已知不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立． （1）求實(shí)數(shù)的最小值； （2）若，且滿足，求證：． 【解析】（1）不等式等價于． 令，則不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立等價于． 而 作出函數(shù)的圖象，由圖可知，函數(shù)的最小值為，即， 所以，即， 故． （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）， （當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）． 三式相加得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）， 所以，即． 【名師點(diǎn)睛】本題考查含有絕對值的不等式恒成立問題、不等式的證明、函數(shù)圖象的應(yīng)用，意在考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力．