2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——推理與證明：直接證明與間接證明學(xué)案

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1、2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——推理與證明：直接證明與間接證明學(xué)案 【考點(diǎn)梳理】 1．直接證明 內(nèi)容 綜合法 分析法 定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立 從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件 思維過(guò)程 由因?qū)Ч? 執(zhí)果索因 框圖表示 →→…→ →→…→ 書寫格式 因?yàn)椤浴蛴伞?，得? 要證…，只需證…，即證… 2．間接證明 反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立

2、，這樣的證明方法叫做反證法． 【考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)一、綜合法 【例1】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求證：a，b，c成等差數(shù)列． (2)若C＝，求證：5a＝3b. [解析] (1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B， 因?yàn)閟in B≠0， 所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理，有a＋c＝2b， 即a，b，c成等差數(shù)列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得 (2b－a)2＝a2＋b2＋ab， 即有5ab－3b2＝0， 所以5

3、a＝3b. 【類題通法】 掌握綜合法證明問(wèn)題的思路 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列． [解析] (1)由Sn＝，得a1＝S1＝1， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，當(dāng)n＝1時(shí)也適合． 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2. (2)證明：要使得a1，an，am成等比數(shù)列， 只需要a＝a1·am， 即(3n－2)2＝1·(3m－2)， 即m＝3n2－4n＋2，而此時(shí)m∈N*，且m>n. 所以對(duì)任意的n>1，都存

4、在m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列． 考點(diǎn)二、分析法 【例2】已知a>0，求證：－≥a＋－2. [解析] 要證－≥a＋－2， 只需要證＋2≥a＋＋. 因?yàn)閍>0，故只需要證2≥2， 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 從而只需要證2≥， 只需要證4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立. 【類題通法】 1．利用分析法證明問(wèn)題的思路 分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證． 2．分析法證明問(wèn)題的適用范圍 當(dāng)已知

5、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過(guò)程中所需用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，?？紤]用分析法． 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 若a，b∈(1，＋∞)，證明<. [解析] 要證<， 只需證()2<()2， 只需證a＋b－1－ab<0， 即證(a－1)(1－b)<0. 因?yàn)閍>1，b>1， 所以a－1>0，1－b<0， 即(a－1)(1－b)<0成立， 所以原不等式成立． 考點(diǎn)三、反證法 【例3】(1)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”時(shí)，假設(shè)為(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根

6、 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 (2)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1. [答案] (1) A [解析] (1)“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”的否定是“一個(gè)實(shí)數(shù)根也沒(méi)有”，即“沒(méi)有實(shí)數(shù)根”． (2)假設(shè)a，b，c均小于1， 即a<1，b<1，c<1， 則有a＋b＋c<3， 而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3， 兩者矛盾，所以假設(shè)不成立， 故a，b，c至少有一個(gè)不小于1. 【類題通法】 1．反證法證明問(wèn)題的

7、3步驟 2．反證法的適用范圍 (1)否定性命題； (2)命題的結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等詞語(yǔ)的； (3)當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說(shuō)明，而其逆否命題又是非常容易證明的； (4)要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況很少． 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1．①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下正確的是(　　) A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤

8、B．①與②的假設(shè)都正確 C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤 D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確 [答案] D [解析] 反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對(duì)于①，其結(jié)論的反面是p＋q＞2，所以①不正確；對(duì)于②，其假設(shè)正確. 2．設(shè)x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個(gè)數(shù)(　　) A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2 [答案] C [解析] 假設(shè)a，b，c都小于2，則a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，與a＋b＋c＜6矛盾， ∴a，b，c都小于2不成立． ∴a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.故選C.