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1、2022年高中數(shù)學 矩陣與變換（二）課后練習二 新人教版選修4-2
題1
已知矩陣A＝，B＝，求滿足AX＝B的二階矩陣X．
題2
設是把坐標平面上點的橫坐標不變、縱坐標沿軸方向伸長為原來5倍的伸壓變換．
（1）求直線在作用下的方程；
（2）求的特征值與特征向量．
題3.
已知a∈R，矩陣A＝，對應的線性變換把點P(1,1)變成點P′(3,3)，求矩陣A的特征值以及每個特征值的一個特征向量．
題4.
在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．設k為非零實數(shù)，矩陣M＝，N＝，點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得
2、到的點分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC的面積的2倍，求k的值．
題5
已知矩陣，若矩陣對應的變換把直線：變?yōu)橹本€，求直線的方程.
課后練習詳解
題1
答案：．
詳解：由題意得A－1＝，
∵AX＝B，∴X＝A－1B＝＝.
題2
答案：（1）；（2）；．
詳解：（1）．設是所求曲線上的任一點，，
所以 所以代入得，，
所以所求曲線的方程為．
（2）矩陣的特征多項式，
所以的特征值為．
當時，由，得特征向量；
當時，由，得特征向量．
題3.
答案：特征值為λ1＝－1，λ2＝3；特征向量為和．
3、
詳解：由題意 ＝＝，
得a＋1＝3，即a＝2，矩陣A的特征多項式為
f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，
令f(λ)＝0，所以矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝3.
①對于特征值λ1＝－1，解相應的線性方程組，
得一個非零解，
因此，α＝是矩陣A的屬于特征值λ1＝－1的一個特征
向量；
②對于特征值λ2＝3，解相應的線性方程組，得一個非零解，
因此，β＝是矩陣A的屬于特征值λ2＝3的一個特征向量．
題4.
答案：－2或2.
詳解：由題設得MN＝ ＝.
由＝，＝，＝，
可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．
計算得△ABC的面積是1，△A1B1C1的面積是|k|，
由題設知|k|＝2×1＝2，所以k的值為－2或2.
題5
答案：．
詳解：易得,
在直線上任取一點，經(jīng)矩陣變換為點，
則，∴，
即代入中得,
∴直線的方程為
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