2022高考數(shù)學(xué) 30分鐘拿下選擇、填空題 專題03 特例法 文

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1、2022高考數(shù)學(xué) 30分鐘拿下選擇、填空題 專題03 特例法 文 方法探究 特例法對(duì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)題目是一種非常獨(dú)特且十分有效的方法，它可以使繁雜的問(wèn)題處理簡(jiǎn)易化，收到事半功倍的效果. 特例法也就是我們常說(shuō)的特殊值驗(yàn)證法，有時(shí)也用特殊數(shù)值、特殊圖形、特殊位置代替題設(shè)中普遍條件，得出特殊結(jié)論，再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而做出正確的選擇．特別是對(duì)于一些比較棘手的高考選擇題或填空題，若能注意到其特殊情況，從特殊性入手，也許就可以簡(jiǎn)捷快速地解決問(wèn)題. 常用的特例有特殊數(shù)值、特殊點(diǎn)、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答選擇題的最佳方法之一，具體是通過(guò)特例的方式提高解題速度，題

2、中的一般情況必須滿足我們?nèi)≈档奶厥馇闆r，從而我們選取適當(dāng)?shù)奶刂祹椭覀兊玫秸_的結(jié)論.比如，某個(gè)數(shù)列，可以考慮等差數(shù)列或等比數(shù)列的情形；某個(gè)三角形，可以考慮直角三角形或等邊三角形；橢圓上某點(diǎn)，可以考慮長(zhǎng)軸或短軸的端點(diǎn)等，但考慮的前提是一定要滿足這種情況適合題中所有條件. 特例法具有簡(jiǎn)化運(yùn)算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題或填空題，但使用時(shí)一定要注意：（1）取特例盡可能簡(jiǎn)單，有利于計(jì)算和推理；（2）若在不同的特殊情況下有兩個(gè)或兩個(gè)以上的結(jié)論相符，則應(yīng)選另一特例情況再檢驗(yàn)，或改用其他方法求解；（3）當(dāng)正確的選擇對(duì)象，在題設(shè)普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得越簡(jiǎn)

3、單越好）進(jìn)行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過(guò)對(duì)特殊情況的研究來(lái)判斷一般規(guī)律，這是解答本類選擇、填空題的最佳策略. 近年來(lái)高考選擇、填空題中可用或結(jié)合用特例法解答的試題能占到30%左右，所以要想快速準(zhǔn)確地贏得時(shí)間獲取高分，一定要學(xué)會(huì)、會(huì)用并且靈活使用特例法！ 經(jīng)典示例 【例1】（利用特殊值）若實(shí)數(shù)，則下列不等式中一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不成立，所以是錯(cuò)誤的； 對(duì)于B，取時(shí)，不成立，所以是錯(cuò)誤的； 對(duì)于C，取時(shí)，不成立，所以是錯(cuò)誤的； 對(duì)于D，由，所以是正確的，故選D． 【名

4、師點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，其中熟記不等式的基本性質(zhì)的使用條件和推理方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力.通過(guò)不等式的性質(zhì)的推理和舉出反例，即可作出判斷. 【備考警示】本題在選取a，b的值時(shí)，一定要滿足條件，才可以正確求解. 【例2】（利用特殊函數(shù)）下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說(shuō)法，不正確的是 A．若f(x)為增函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)＋g(x)為增函數(shù) B．若f(x)為減函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)＋g(x)為減函數(shù) C．若f(x)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)，則f(x)＋g(x)為增函數(shù) D．若f(x)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)，則f(x)－g(x)為減

5、函數(shù) 【答案】C 方法二： 設(shè)任意實(shí)數(shù)，根據(jù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，則，，設(shè)，當(dāng)時(shí)， ，由于，，所以的符號(hào)不確定，即的單調(diào)性不確定，故選C． 【方法點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，可以進(jìn)行證明并得到下面結(jié)論：在公共的定義域內(nèi)，增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù).在解選擇題、填空題時(shí)我們可以根據(jù)此結(jié)論直接對(duì)常見(jiàn)函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的判斷. 【備考警示】很明顯，方法一要比方法二更簡(jiǎn)潔，比利用結(jié)論更直觀. 【例3】（利用特殊數(shù)列）已知數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列“的” A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C

6、．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】一般地，等比數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是或．等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是公差． 【備考警示】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故其單調(diào)性不僅取決于的符號(hào)，還要考慮還是．所以本題直接求解比較困難，而選取特殊值，構(gòu)造特殊數(shù)列會(huì)簡(jiǎn)單快捷得多. 【例4】（利用特殊位置）在三棱錐中，底面為直角三角形，且，斜邊上的高為，三棱錐的外接球的直徑是，若該外接球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】如圖所示， 由外接球的表面積為，可得外接球的半徑為，則， 設(shè)，則，又邊上

7、的高， 當(dāng)平面時(shí)，棱錐的體積最大，此時(shí)，易知當(dāng)時(shí)，體積最大，且最大值為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)球的組合體問(wèn)題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，把球的體積表示成關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力. 【備考警示】幾何問(wèn)題的特殊位置一般是垂直、平行、對(duì)稱或中點(diǎn)處等，做題時(shí)多往這幾方面考慮. 拓展變式 1．已知，則“，”是“”的 A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【名師點(diǎn)睛】在判斷充分、必要條件時(shí)

8、需要注意：(1)確定條件是什么、結(jié)論是什么；(2)嘗試從條件推導(dǎo)結(jié)論，從結(jié)論推導(dǎo)條件；(3)確定條件是結(jié)論的什么條件．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性問(wèn)題． 【方法技巧】熟練應(yīng)用找特殊值進(jìn)行驗(yàn)證是解決此類問(wèn)題的快速有效方法. 2．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向以為圓心，為半徑的圓作切線，其中切點(diǎn)為，則四邊形面積的最大值為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如圖所示， 【名師點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能

9、力和計(jì)算能力，屬于難題． 【規(guī)律總結(jié)】圓錐曲線中的最值問(wèn)題，如果涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，就要找點(diǎn)的特殊位置，比如本題，當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，|PF|取得最大值a+c． 終極押題 一、選擇題 1．已知集合，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解，即，得，所以，又，故.故選B. 2．已知復(fù)數(shù)滿足，則 A． B． C． D． 【答案】C 3．已知命題：，；命題：，，則下列命題為真命題的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)闀r(shí)，，，故不成立，

10、所以命題為假命題； 當(dāng)時(shí)，，故命題為真命題，所以為真命題.故選D. 4．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（），若，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意得（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），所以，解得，即，所以 ．故選B． 5．在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，若，則 A．496 B．469 C．4915 D．5000 【答案】C 6．已知，，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因?yàn)?，，? 所以，，所以.故選B．

11、7．如圖為某幾何體的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），則該幾何體的體積等于 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，其中上方是一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓錐，中間部分是一個(gè)半徑為1的半球，下方是一個(gè)正四棱柱，且該正四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為3，所以圓錐的體積，半球的體積，正四棱柱的體積，所以該幾何體的體積．故選A. 8．函數(shù)的大致圖象為 【答案】C 9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的數(shù)據(jù)依次為98,a,輸出的結(jié)果是a,則a的值不可能是 A．7

12、 B．14 C．28 D．49 【答案】C 【解析】由程序框圖可知,輸出的是98,a的最大公約數(shù),根據(jù)98,a的最大公約數(shù)是a,可知a是98的約數(shù),7,14,49都是98的約數(shù),28不是98的約數(shù),故選C. 10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若在雙曲線第一象限內(nèi)的漸近線上存在兩點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為 A． B． C． D． 【答案】A 11．已知函數(shù)（，）的最小正周期為，且圖象過(guò)點(diǎn)，要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象 A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向

13、右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 【答案】B 【解析】由函數(shù)的最小正周期為，得，解得.由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上可得，所以（），解得（）. 因?yàn)椋?，，所以，故要得到函?shù) 的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度即可.故選B． 12．若函數(shù)與滿足：存在實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)為的“友導(dǎo)”函數(shù).已知函數(shù)為函數(shù)的“友導(dǎo)”函數(shù)，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意得，，函數(shù)為函數(shù)的“友導(dǎo)”函數(shù)，即方程在上有解，所以方程在上有解，記，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.故由方程有解可得.故選D.

14、 二、填空題 13．設(shè)向量，，，若向量與垂直，則實(shí)數(shù) . 【答案】 14．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為 . 【答案】12 【解析】作出約束條件所表示的可行域如下圖中陰影部分所示， 目標(biāo)函數(shù)可化為，的幾何意義是直線在軸上的截距，故當(dāng)直線在軸上的截距取得最大值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由圖可知，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值.由，解得，即.故. 15．已知橢圓，離心率，拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，則橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 【答案】 16．在銳角中，已知角的對(duì)邊分別為，， ，且最短邊

15、，則 . 【答案】 【解析】由已知根據(jù)正弦定理得， 由余弦定理得. 于是，結(jié)合，即得. 由余弦定理得，又，，， 所以，即，解得或. 因?yàn)樽疃踢?，所? 你用了幾分鐘？ 有哪些問(wèn)題？

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